高等数学

整理反常积分计算的基本原则：端点取不到就取极限，无穷端点先改成字母再取极限，区间内部有奇点时必须拆开两边分别计算。

整理反常积分中容易混淆的几个概念：收敛不一定推出函数极限为 0，奇函数对称性不能直接用于发散的反常积分，内部瑕点必须左右分别收敛，以及正常积分与反常积分的区别。

整理三角函数型反常积分的统一处理方法：不背三角诱导公式，先找反常点，再用洛必达确定三角函数与端点距离的同量级关系，最后套 p 积分判别。

整理具体函数反常积分的做题步骤：先找瑕点和无穷远，再只看被积函数本身，在每个反常点处等价成 p 积分，并用比较判别法、极限比较判别法处理对数、指数和多反常点题目。

围绕反常积分的 p 积分判别整理逻辑链：先找反常点，再凑普通 p 积分或广义 p 积分，最后用对数与幂函数的阶数关系处理非临界型题目。

整理“雨露均沾”分部积分技巧，以及把变上限积分转化为二重积分再交换积分次序的方法，适用于已知 f'(x) 求 ∫f(x)dx、平均值和零点存在唯一性问题。

结合一阶线性微分方程周期解问题，说明为什么要把不定积分转化为变上限积分：固定积分下限后，才能清楚比较 x 与 x+T 处的函数值，并利用周期条件确定常数。

整理可积性与原函数存在性的常用结论：可积指能作定积分，原函数存在对应不定积分；二者通常没有直接关系，并总结连续、有界、第一类间断点、可去间断、跳跃间断与震荡间断等情形。

整理变上限积分函数 F(x)=∫[a,x]f(t)dt 的连续性与可导性结论：面积函数一定连续，f 连续时 F 是原函数，f 为可去间断点时 F 仍可导，f 为跳跃间断点时 F 连续但不可导。

总结华理士公式的积分递推、偶次与奇次幂结论、Wallis 乘积，以及在三角幂积分和极限估计中的常见用法。