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三角函数型反常积分敛散性判别

整理三角函数型反常积分的统一处理方法：不背三角诱导公式，先找反常点，再用洛必达确定三角函数与端点距离的同量级关系，最后套 p 积分判别。

三角函数型反常积分敛散性判别

核心技巧

遇到三角函数型反常积分，不要硬背诱导公式，统一用“同量级 + p 积分”处理。

做题时按下面这条链走：

  1. 先找反常点：包括端点、内部瑕点和无穷远。
  2. 非零常数因子直接忽略：在某个反常点附近，如果某一因子趋于非零常数，它不影响敛散性。
  3. 三角函数为零时，判断它和端点距离的同量级关系：设三角函数与 (x−a)k(x-a)^k 或 (a−x)k(a-x)^k 同量级。
  4. 用洛必达确定 kk：因为三角函数在零点附近和端点距离都是趋于 00 的量，本质是在判断两个 00 型小量谁和谁同阶；所以自然想到对它们的比值用洛必达。
  5. 最后套 p 积分：瑕点处看 p<1p<1，无穷远处看 p>1p>1，广义对数型看对应的 p>1p>1。

一句话：

三角函数不用背，零点附近用洛必达看阶数；阶数出来以后，就是普通 p 积分。

例题

例题 1：例 3.92（2023 李艳芳六套卷）

三角函数的形式真题尚未考过，不需要去记忆三角函数诱导公式，按照下面的办法处理即可。遇见三角函数统一这么做，简单，也不容易出错。

选择题例题 1

设反常积分

∫0π41x∣ln⁡x∣acos⁡b2x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a\cos^b 2x}\,dx

收敛，则（\quad）

  • A a<1, b<1a<1,\ b<1
  • B a<1, b>1a<1,\ b>1
  • C a>1, b<1a>1,\ b<1
  • D a>1, b>1a>1,\ b>1
解答

反常点：

0,π4.0,\quad \frac{\pi}{4}.

1. 当 x→0+x \to 0^+ 时

1x∣ln⁡x∣acos⁡b2x∼1x(−ln⁡x)acos⁡b2x∼1x∣ln⁡x∣a.\frac{1}{x|\ln x|^a\cos^b 2x} \sim \frac{1}{x(-\ln x)^a\cos^b 2x} \sim \frac{1}{x|\ln x|^a}.

这里 cos⁡b2x\cos^b 2x 可忽略，因为

cos⁡2x→1.\cos 2x\to 1.

所以这是 0+0^+ 附近的广义 p 积分：

∫01x∣ln⁡x∣a dx.\int_0 \frac{1}{x|\ln x|^a}\,dx.

收敛要求

a>1.a>1.

2. 当 x→(π4)−x \to \left(\frac{\pi}{4}\right)^- 时

1x∣ln⁡x∣acos⁡b2x∼1cos⁡b2x.\frac{1}{x|\ln x|^a\cos^b 2x} \sim \frac{1}{\cos^b 2x}.

这里 x∣ln⁡x∣ax|\ln x|^a 可忽略，因为 x→π4x\to\dfrac{\pi}{4} 时它趋于非零常数。

下面只需要判断 cos⁡2x\cos 2x 和 π4−x\dfrac{\pi}{4}-x 的同量级关系。

设 x→π4x\to \dfrac{\pi}{4} 时，cos⁡2x\cos 2x 和 (π4−x)k\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)^k 同量级，则

lim⁡x→π4cos⁡2x(π4−x)k\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^k}

若结果为非零常数，就用洛必达：

lim⁡x→π4cos⁡2x(π4−x)k=lim⁡x→π4−2sin⁡2x−k(π4−x)k−1\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^k} = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{-2\sin 2x}{-k\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^{k-1}} =2klim⁡x→π4sin⁡2x(π4−x)k−1.= \frac{2}{k} \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^{k-1}}.

要得到非零常数，必须

k−1=0,k-1=0,

即

k=1.k=1.

所以

cos⁡2x∼C(π4−x)(x→π4−),\cos 2x \sim C\left(\frac{\pi}{4}-x\right) \qquad \left(x\to\frac{\pi}{4}^-\right),

其中 CC 是非零常数。

因此

1cos⁡b2x∼1(π4−x)b.\frac{1}{\cos^b 2x} \sim \frac{1}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^b}.

端点瑕点处收敛要求

b<1.b<1.

综上：

a>1,b<1.a>1,\quad b<1.

答案为

C\boxed{\text{C}}

例题 2：例 3.93（张宇 1000 题）

这一题同样不用记诱导公式，先找反常点，再判断三角函数在反常点附近的阶数。

解答题例题 2

求 pp 的取值范围，使得

∫1+∞sin⁡πx⋅dxln⁡px\int_1^{+\infty} \sin \frac{\pi}{x}\cdot \frac{dx}{\ln^p x}

收敛。

解答

反常点：

1,+∞.1,\quad +\infty.

1. 当 x→+∞x\to +\infty 时

sin⁡πx⋅1ln⁡px∼πx⋅1ln⁡px∼1xln⁡px.\sin \frac{\pi}{x}\cdot \frac{1}{\ln^p x} \sim \frac{\pi}{x}\cdot \frac{1}{\ln^p x} \sim \frac{1}{x\ln^p x}.

这是无穷远处的广义 p 积分，收敛要求

p>1.p>1.

2. 当 x→1+x\to 1^+ 时

因为

ln⁡x∼x−1,\ln x\sim x-1,

所以

sin⁡πx⋅1ln⁡px∼sin⁡πx⋅1(x−1)p.\sin \frac{\pi}{x}\cdot \frac{1}{\ln^p x} \sim \sin \frac{\pi}{x}\cdot \frac{1}{(x-1)^p}.

下面判断 sin⁡πx\sin\dfrac{\pi}{x} 和 x−1x-1 的同量级关系。

设 x→1x\to1 时，sin⁡πx\sin \dfrac{\pi}{x} 和 (x−1)k(x-1)^k 同量级，则

lim⁡x→1sin⁡πx(x−1)k.\lim_{x\to 1} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{(x-1)^k}.

若结果为非零常数，就用洛必达：

lim⁡x→1sin⁡πx(x−1)k=lim⁡x→1cos⁡πx⋅(−πx2)k(x−1)k−1\lim_{x\to 1} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{(x-1)^k} = \lim_{x\to 1} \frac{\cos \frac{\pi}{x}\cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right)} {k(x-1)^{k-1}} =−πklim⁡x→1cos⁡πxx2(x−1)k−1.= -\frac{\pi}{k} \lim_{x\to 1} \frac{\cos \frac{\pi}{x}}{x^2(x-1)^{k-1}}.

要得到非零常数，必须

k−1=0,k-1=0,

即

k=1.k=1.

所以

sin⁡πx∼C(x−1)(x→1+),\sin\frac{\pi}{x}\sim C(x-1) \qquad (x\to1^+),

其中 CC 是非零常数。

因此

sin⁡πx⋅1(x−1)p∼(x−1)⋅1(x−1)p=1(x−1)p−1.\sin \frac{\pi}{x}\cdot \frac{1}{(x-1)^p} \sim (x-1)\cdot \frac{1}{(x-1)^p} = \frac{1}{(x-1)^{p-1}}.

端点瑕点处收敛要求

p−1<1,p-1<1,

即

p<2.p<2.

两个反常点同时收敛，所以

1<p<2.\boxed{1<p<2}.

最终模板

三角函数型反常积分可以统一这样做：

  1. 先找反常点。
  2. 在每个反常点附近分别等价。
  3. 趋于非零常数的因子直接忽略。
  4. 三角函数趋于 00 时，设它和端点距离的 kk 次幂同量级。
  5. 用洛必达推出 kk，通常就是 k=1k=1。
  6. 最后套 p 积分结论。

核心记法：

sin⁡(小量)∼小量,cos⁡(靠近零点)∼到零点的距离.\sin(\text{小量})\sim \text{小量}, \qquad \cos(\text{靠近零点})\sim \text{到零点的距离}.

但做题时不需要硬背，只要会用洛必达把阶数算出来即可。

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