反常积分收敛性的几个概念误区

核心结论

由于 2024 考研中出现了反常积分的概念性问题，这里补充几个容易混淆的小知识。

这些内容不用太在意，主要用于理解概念，不需要掌握证明过程和反例构造。

重点记住下面几句话：

1. 反常积分收敛，不能推出函数极限一定为 $0$。
2. 如果反常积分收敛，且函数极限存在，那么这个极限一定是 $0$。
3. 反常积分中遇到奇函数，不能直接用“奇零”，必须先确认反常积分存在。
4. 区间内部有瑕点时，左右两边必须分别收敛，不能靠对称抵消。
5. 只有反常积分才谈敛散性；正常定积分只谈是否存在。

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一、反常积分收敛，不能推出函数极限一定为 $0$

若

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$$

收敛，不能推出

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0.$$

甚至

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)$$

可能不存在。

为什么不能类比数项级数

对于数项级数，若

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

收敛，则一定有

$$\lim_{n\to\infty} a_n=0.$$

但反常积分中不能直接类比这个结论。

反常积分收敛只说明“总面积”有限，并不一定说明函数值本身趋于 $0$。

一个反例思路

可以构造一个函数 $f(x)$，在每个整数点附近有一个很窄的尖峰：

• 尖峰高度为 $1$；
• 第 $n$ 个尖峰宽度很小，例如 $\dfrac{1}{2^n}$；
• 其余地方函数值为 $0$。

每个尖峰的面积大约为

$$\frac{1}{2^n}.$$

所以总面积为

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n},$$

它是收敛的。因此

$$\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$$

收敛。

但是函数在无穷远处不断出现高度为 $1$ 的尖峰，所以

$$\lim_{x\to+\infty} f(x)$$

不存在。

因此：

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 收敛} \not\Rightarrow \lim_{x\to+\infty} f(x)=0.$$

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二、如果函数极限存在，则这个极限必须是 $0$

若

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$$

收敛，且

$$\lim_{x\to+\infty} f(x)$$

存在，则

$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.$$

简单证明

设

$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=A.$$

下面证明 $A=0$。

假设

$$A\ne0.$$

则当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 与 $A$ 同号，并且

$$|f(x)|>\frac{|A|}{2}.$$

如果 $A>0$，则当 $x$ 充分大时，

$$f(x)>\frac{A}{2}>0.$$

于是

$$\int_M^{+\infty} f(x)\,dx \ge \int_M^{+\infty} \frac{A}{2}\,dx =+\infty.$$

这与反常积分收敛矛盾。

如果 $A<0$，同理可知

$$\int_M^{+\infty} f(x)\,dx$$

会发散到 $-\infty$，也矛盾。

因此只能有

$$A=0.$$

也就是：

$$\boxed{ \int_a^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 收敛，且 } \lim_{x\to+\infty} f(x) \text{ 存在} \Rightarrow \lim_{x\to+\infty} f(x)=0 }$$

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三、对称区间遇到奇函数，不能直接用“奇零”

正常定积分中，如果 $f(x)$ 是奇函数，且在 $[-a,a]$ 上可积，则

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0.$$

但反常积分中不能直接这么用。

如果区间内有瑕点，必须先判断反常积分是否收敛。

例子

不能直接说

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sin x}=0.$$

虽然

$$\frac1{\sin x}$$

是奇函数，但 $x=0$ 是瑕点，必须先判断左右两边是否分别收敛。

当 $x\to0$ 时，

$$\sin x\sim x,$$

所以

$$\frac1{\sin x}\sim \frac1x.$$

于是

$$\int_0^1\frac{dx}{\sin x}$$

与

$$\int_0^1\frac{dx}{x}$$

同敛散。

而

$$\int_0^1\frac{dx}{x}$$

发散，所以

$$\int_0^1\frac{dx}{\sin x}$$

发散。

同理，

$$\int_{-1}^0\frac{dx}{\sin x}$$

也发散。

因此

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sin x}$$

作为反常积分不存在，不能用奇函数对称性得到 $0$。

注意

“奇零”只能用于正常积分，或者已经证明反常积分收敛的情况。

不能用左右发散的量互相抵消。

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四、从 $-\infty$ 到 $+\infty$，也不能随便用“奇零”

例如

$$\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx$$

不能直接说 $x$ 是奇函数，所以积分为 $0$。

正确做法

反常积分

$$\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx$$

应拆成

$$\int_{-\infty}^{0} x\,dx + \int_0^{+\infty} x\,dx.$$

其中

$$\int_0^{+\infty} x\,dx=+\infty,$$

而

$$\int_{-\infty}^{0} x\,dx=-\infty.$$

所以左右两部分都发散，原反常积分不存在。

注意：

$$(-\infty,+\infty)$$

不能直接当作普通意义下的对称区间。

必须按照反常积分定义拆开：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx + \int_0^{+\infty} f(x)\,dx.$$

只有左右两部分都收敛时，原积分才收敛。

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五、内部瑕点的反常积分定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除点 $c$ 外连续，其中

$$a<c<b,$$

点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。

如果反常积分

$$\int_a^c f(x)\,dx \quad\text{和}\quad \int_c^b f(x)\,dx$$

都收敛，则称反常积分

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

收敛，且

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$

如果

$$\int_a^c f(x)\,dx \quad\text{与}\quad \int_c^b f(x)\,dx$$

至少有一个发散，则称

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

发散。

这就是为什么内部瑕点不能靠左右抵消。

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六、只有反常积分才谈敛散性

最后说一个容易被忽略的地方：

只有反常积分才具有敛散性。

如果一个积分本身是正常定积分，就只说它是否存在，不需要按反常积分的敛散性去讨论。

例如

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx.$$

要讨论它是不是反常积分，必须看 $x=0$ 是否是瑕点。

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七、例题：讨论 $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$

解答题例题

讨论

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$$

的敛散性。

解答

1. 当 $p>0$ 时

此时 $x=0$ 是瑕点，所以该积分是反常积分。

因为

$$\frac1{x^p}=x^{-p},$$

所以当 $p\ne1$ 时，

$$\int_\varepsilon^1 x^{-p}\,dx = \left. \frac{x^{1-p}}{1-p} \right|_{\varepsilon}^{1} = \frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}.$$

令 $\varepsilon\to0^+$。

若

$$1-p>0,$$

即

$$p<1,$$

则

$$\varepsilon^{1-p}\to0,$$

所以积分收敛。

若

$$1-p<0,$$

即

$$p>1,$$

则

$$\varepsilon^{1-p}\to+\infty,$$

所以积分发散。

当 $p=1$ 时，

$$\int_\varepsilon^1 \frac1x\,dx = -\ln\varepsilon \to+\infty,$$

所以积分发散。

因此当 $p>0$ 时：

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & 0<p<1,\\ \text{发散}, & p\ge1. \end{cases}$$

2. 当 $p\le0$ 时

此时

$$\frac1{x^p}=x^{-p}.$$

因为

$$-p\ge0,$$

所以 $x^{-p}$ 在 $[0,1]$ 上连续。

因此

$$\int_0^1 \frac1{x^p}\,dx$$

是正常定积分，不是反常积分。

正常定积分存在，所以它收敛。

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最终结论

如果只问积分

$$\int_0^1 \frac1{x^p}\,dx$$

是否存在，则

$$\int_0^1 \frac1{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge1. \end{cases}$$

但如果题目强调它是“反常积分”，则默认需要 $p>0$，因为只有 $p>0$ 时 $x=0$ 才是瑕点。

因此作为反常积分讨论时：

$$\int_0^1 \frac1{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & 0<p<1,\\ \text{发散}, & p\ge1. \end{cases}$$

若 $p\le0$，它不是反常积分，而是正常定积分。