6.8 二重积分和其他题型的融合

设 $A=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$，则 $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{8}{\pi}A$。

两边在 $D$ 上积分：

$D$ 为上半圆 $x^2+(y-\frac{1}{2})^2\leq\frac{1}{4}$（$x\geq 0$），面积 $=\frac{\pi}{8}$。故

用极坐标计算 $\iint_D\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy$（$D: 0\leq\theta\leq\pi$，$0\leq r\leq\sin\theta$）：

故 $2A=\frac{\pi}{8}$，$A=\frac{\pi}{16}$，$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{1}{2}$。

设 $A=\iint_D f(x+y)\,d\sigma$，$B=\int_0^1 f(x)\,dx$，则 $f(x)=Ax+Bx^2+x^3$。

建立方程一（两边 $\int_0^1 dx$）：

建立方程二（利用 $A$ 的定义，将 $f(x+y)=A(x+y)+B(x+y)^2+(x+y)^3$ 代入二重积分）。

由 $D$ 关于原点对称，$\iint_D x\,d\sigma=\iint_D y\,d\sigma=0$，$\iint_D xy\,d\sigma=0$。

利用对称性化简后解方程组，最终 $A=\frac{3}{10}$，$B=\frac{3}{5}$。

分母 $1-e^{-x^3}\sim x^3$（$x\to 0^+$）。

分子中注意积分限：$t$ 从 $0$ 到 $x^2$，$u$ 从 $x$ 到 $\sqrt{t}$。当 $t<x^2$ 时 $\sqrt{t}<x$，上限小于下限！需加负号并交换积分次序。

交换积分次序后，对分子用洛必达法则（对 $x$ 求导），再利用积分中值定理：

当 $x\to 0^+$：$x^2 f(\xi,x)\to 0\cdot f(0,0)=0$，但需保留阶数。最终：

交换积分次序：区域 $0\leq x\leq y\leq t$，

当 $t\to 0^+$ 时，$\sin^2(xy)\sim x^2y^2$，故

交换积分次序： 区域 $1\leq y\leq x\leq t$，

答案：B。

极坐标化：$x^2+y^2\leq 4t^2$ 即 $0\leq r\leq 2t$，

令 $u=r/2$：$=8\pi\int_0^t uf(u)\,du$。故

两边对 $t$ 求导：

这是一阶线性 ODE。初始条件：$f(0)=e^0+0=1$。

解得 $f(t)=(4\pi t^2+1)e^{4\pi t^2}$。

左边： 令 $u=x+y$，

右边： $f(t)$ 为常数，$\iint_{D_t}f(t)\,dx\,dy=f(t)\cdot\frac{t^2}{2}$。

等式变为：

两边对 $t$ 求导：

化简：$(2-t)f'(t)=2f(t)$，分离变量：

由 $f(0)=1$：$C=4$。故 $f(x)=\dfrac{4}{(2-x)^2}$。

两次分部积分： 先对 $y$ 分部（$u=xy$，$dv=f''_{xy}\,dy$）：

由 $f(x,1)=0$ 对 $x$ 求导得 $f'_x(x,1)=0$；$y=0$ 时 $y\cdot f'_x=0$。故边界项为 $0$。

再对 $x$ 分部（$u=x$，$dv=f'_x\,dx$）：

由 $f(1,y)=0$，边界项为 $0$。故

手稿批注：$f''_{xy}$ 如何凑 $f(x,y)$？两次分部积分！先对 $y$ 积一次消去一个偏导，再对 $x$ 积一次消去另一个偏导。关键是边界条件 $f(1,y)=0$、$f(x,1)=0$ 使得所有边界项消失。