反常积分敛散性的判别

核心思想

反常积分的敛散性，关键看反常点附近的“阶数”；常数倍不影响敛散性。

最常用的做法不是硬算原函数，而是把被积函数在反常点附近化成熟悉的 p 积分：

1. 先找反常点：是 $x\to+\infty$，还是 $x\to a^+$、$x\to b^-$，或者 $x\to0^+$。
2. 再看主导阶数：幂函数优先，对数函数只在临界型里单独处理。
3. 最后套 p 积分：无穷远处看 $p>1$，瑕点处看 $p<1$。

一句话记忆：

无穷远处要“降得快”，所以 $p>1$ 收敛；瑕点附近要“爆得慢”，所以 $p<1$ 收敛。

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一、无穷远处的普通 p 积分

当 $a>0$ 时，

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}$$

逻辑是：$x\to+\infty$ 时，$\dfrac{1}{x^p}\to0$，但趋于 $0$ 不等于积分收敛。只有衰减速度快过 $\dfrac1x$，尾部面积才压得住。

其中 $p=1$ 是临界点：

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{A\to+\infty}\ln A-\ln a =+\infty.$$

所以无穷远处的判别线是：

形式	结论	直觉
$\dfrac1{x^p}$，$p>1$	收敛	衰减足够快
$\dfrac1{x}$	发散	对数型发散
$\dfrac1{x^p}$，$p<1$	发散	衰减太慢

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二、瑕点附近的普通 p 积分

当 $x\to a^+$ 时，

$$\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge 1. \end{cases}$$

当 $x\to b^-$ 时，

$$\int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge 1. \end{cases}$$

这里的直觉和无穷远处相反：瑕点处函数会爆到无穷大，$p$ 越大爆得越狠，越不容易收敛。

临界点仍然是 $p=1$：

$$\int_a^b\frac{1}{x-a}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b\frac{1}{x-a}\,dx =+\infty.$$

所以瑕点附近的判别线是：

形式	结论	直觉
$\dfrac1{(x-a)^p}$，$p<1$	收敛	爆得还不够快
$\dfrac1{x-a}$	发散	对数型发散
$\dfrac1{(x-a)^p}$，$p>1$	发散	爆得太快

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三、无穷远处的广义 p 积分

遇到

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^p x}\,dx \qquad (a>1)$$

不能把 $\ln x$ 直接当成某个 $x^\alpha$。因为前面已经有一个 $\dfrac1x$，它正好对应换元：

$$t=\ln x,\qquad dt=\frac1x\,dx.$$

于是

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^p x}\,dx = \int_{\ln a}^{+\infty}\frac{1}{t^p}\,dt.$$

所以它立刻变成无穷远处的普通 p 积分：

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^p x}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}$$

更复杂的嵌套对数也按同一条路走。例如

$$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x\ln x(\ln\ln x)^p}\,dx$$

先令 $t=\ln x$，再令 $u=\ln t$，最终仍然化为

$$\int \frac1{u^p}\,du.$$

结论仍是：

$$p>1\text{ 收敛},\qquad p\le1\text{ 发散}.$$

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四、趋于 $0^+$ 的广义 p 积分

趋于 $0^+$ 时，常见形式是

$$\int_0^{\frac12}\frac{1}{x|\ln x|^p}\,dx.$$

令

$$t=\ln x,\qquad dt=\frac1x\,dx.$$

当 $x\to0^+$ 时，$t\to-\infty$；当 $x=\dfrac12$ 时，$t=-\ln2$。因此

$$\int_0^{\frac12}\frac{1}{x|\ln x|^p}\,dx = \int_{-\infty}^{-\ln2}\frac{1}{|t|^p}\,dt.$$

再令 $u=-t$，得到

$$\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{1}{u^p}\,du.$$

于是

$$\int_0^{\frac12}\frac{1}{x|\ln x|^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}$$

如果题目写成 $\dfrac1{x(\ln x)^p}$，当 $p$ 为整数时只会多一个正负号问题；正负号不影响敛散性，核心仍然是 $p$ 与 $1$ 的比较。

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五、$\ln x$ 的等价处理

对数函数的核心地位是：它比任何正幂函数都慢。

当 $x\to+\infty$ 时，对任意 $\alpha>0$，

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0.$$

也就是说，在无穷远处，$\ln x$ 可以粗略理解成“比任意小的正幂都低阶”。

当 $x\to0^+$ 时，对任意 $a>0,b>0$，

$$\lim_{x\to0^+}x^a|\ln x|^b=0.$$

也就是说，靠近 $0^+$ 时，$|\ln x|^b$ 虽然趋于无穷，但比 $\dfrac1{x^a}$ 这类幂爆炸慢得多。

注意这一条只适合处理非临界型题目。若出现

$$\frac{1}{x\ln^p x}$$

这种前面正好有 $\dfrac1x$ 的广义 p 积分形式，不能用“把 $\ln x$ 当弱幂”的想法草草等价，必须按第三、四部分做换元。

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六、典型快判

例 1：无穷远处，幂次已经超过 1

解答题例 1

$$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x^{1.01}(\ln x)^{999}}\,dx$$

解答

因为 $x^{1.01}$ 已经比临界的 $x^1$ 更强，分母再乘上正的对数幂，只会衰减得更快，所以

$$\boxed{\text{收敛}}$$

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例 2：无穷远处，幂次还没到 1

解答题例 2

$$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x^{0.99}(\ln x)^{999}}\,dx$$

解答

这里虽然有 $(\ln x)^{999}$，但对数增长慢于任意正幂，无法弥补 $x^{0.99}$ 和临界 $x^1$ 的差距。因此

$$\boxed{\text{发散}}$$

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例 3：趋于 $0^+$，对数爆炸弱于幂爆炸

解答题例 3

$$\int_0^{\frac12}\frac{|\ln x|}{x^{0.99}}\,dx$$

解答

当 $x\to0^+$ 时，$|\ln x|$ 比 $\dfrac1{x^\alpha}$ 慢得多。取一个很小的 $\alpha>0$，使得 $0.99+\alpha<1$，则可把被积函数控制在类似

$$\frac{1}{x^{0.99+\alpha}}$$

的瑕点 p 积分之内。因为 $0.99+\alpha<1$，所以

$$\boxed{\text{收敛}}$$

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最终判别链

入口	要凑的标准型	收敛条件
$x\to+\infty$	$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac1{x^p}\,dx$	$p>1$
$x\to a^+$ 或 $x\to b^-$	$\displaystyle\int\frac1{(x-a)^p}\,dx$ 或 $\displaystyle\int\frac1{(b-x)^p}\,dx$	$p<1$
$x\to+\infty$ 且出现 $\dfrac1{x\ln^p x}$	令 $t=\ln x$	$p>1$
$x\to0^+$ 且出现 $\dfrac1{x\lvert\ln x\rvert^p}$	令 $t=\ln x$，再令 $u=-t$	$p>1$
非临界型含 $\ln x$	用“对数慢于任意幂”比较	回到普通 p 积分

总口诀：

先找反常点，再凑 p 积分；临界 $1/x$ 加对数就换元，非临界对数按低阶处理。