6.9 特殊形式的二重积分：取整函数与max函数

在 $D$ 上，$0\leq x^2+y^2\leq\sqrt{2}$，故 $1\leq 1+x^2+y^2\leq 1+\sqrt{2}<3$。

分段点：$1+x^2+y^2=2$，即 $x^2+y^2=1$。

• $D_1: x^2+y^2<1$（第一象限），$[1+x^2+y^2]=1$
• $D_2: 1\leq x^2+y^2\leq\sqrt{2}$（第一象限），$[1+x^2+y^2]=2$

注意：$x^2+y^2=\sqrt{2}$ 的半径为 $2^{1/4}$，不是 $\sqrt{2}$！

$$I=\iint_{D_1}xy\,dx\,dy+2\iint_{D_2}xy\,dx\,dy$$

用极坐标（$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{2}$）：

$$I=\frac{1}{2}\int_0^1 r^3\,dr+\frac{1}{2}\cdot 2\int_1^{2^{1/4}}r^3\,dr$$

注意 $(2^{1/4})^4=2$，故

$$\int_0^1 r^3\,dr=\frac{1}{4},\quad \int_1^{2^{1/4}}r^3\,dr=\frac{(2^{1/4})^4-1}{4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}$$ $$I=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

手稿批注：方法一（分区域）更直观。方法二（直接极坐标分段）和方法一并无本质区别。做极坐标变换时，圆 $x^2+y^2=\sqrt{2}$ 的半径为 $2^{1/4}$，千万不要写成 $\sqrt{2}$。

分段曲线：$xy=1$（双曲线）。

• $D_1$（$xy\geq 1$ 的部分）：$\max\{xy,1\}=xy$
• $D_2$（$xy<1$ 的部分）：$\max\{xy,1\}=1$

$$I=\iint_{D_1}xy\,dx\,dy+\iint_{D_2}1\,dx\,dy$$

计算 $\iint_{D_1}xy\,dx\,dy$： $D_1: \frac{1}{2}\leq x\leq 2$，$\frac{1}{x}\leq y\leq 2$。

$$\int_{1/2}^2 x\,dx\int_{1/x}^2 y\,dy=\int_{1/2}^2 x\left(2-\frac{1}{2x^2}\right)dx=\int_{1/2}^2\left(2x-\frac{1}{2x}\right)dx$$ $$=\left[x^2-\frac{\ln x}{2}\right]_{1/2}^2=4-\frac{\ln 2}{2}-\frac{1}{4}+\frac{\ln(1/2)}{2}=\frac{15}{4}-\ln 2$$

计算 $\iint_{D_2}dx\,dy$： $D_2$ 面积 $=4-\text{Area}(D_1)$。

$$\text{Area}(D_1)=\int_{1/2}^2\left(2-\frac{1}{x}\right)dx=\left[2x-\ln x\right]_{1/2}^2=3-2\ln 2$$ $$\iint_{D_2}dx\,dy=4-(3-2\ln 2)=1+2\ln 2$$

合并：

$$I=\frac{15}{4}-\ln 2+1+2\ln 2=\frac{19}{4}+\ln 2$$

手稿批注：$\max$ 函数和取整函数的处理思路完全一样：找分段曲线 → 切区域 → 分别积分。$xy=1$ 把正方形切成上下两块，上面取 $xy$，下面取 $1$。