华理士公式

核心结论

华理士公式常用来计算下面这类三角函数幂积分：

$$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$$

由于换元 $x=\dfrac{\pi}{2}-t$，有

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx.$$

因此正弦幂和余弦幂在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的积分结果相同。

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一、递推公式

设

$$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx.$$

当 $n\ge 2$ 时，

$$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$

初值为

$$I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dx=\frac{\pi}{2}, \qquad I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=1.$$

所以计算时只要每次降两次幂，最后降到 $I_0$ 或 $I_1$ 即可。

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二、偶次幂公式

当 $n=2m$ 时，

$$I_{2m} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}x\,dx = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}{2}.$$

也可以写成普通阶乘形式：

$$I_{2m} = \frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\cdot\frac{\pi}{2}.$$

例如

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\,dx = \frac{3\cdot1}{4\cdot2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.$$

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三、奇次幂公式

当 $n=2m+1$ 时，

$$I_{2m+1} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m+1}x\,dx = \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}.$$

也可以写成普通阶乘形式：

$$I_{2m+1} = \frac{2^{2m}(m!)^2}{(2m+1)!}.$$

例如

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5x\,dx = \frac{4\cdot2}{5\cdot3\cdot1} = \frac{8}{15}.$$

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四、双阶乘记法

双阶乘表示隔一个数相乘：

$$(2m)!!=2m(2m-2)\cdots4\cdot2,$$ $$(2m-1)!!=(2m-1)(2m-3)\cdots3\cdot1.$$

特别地，

$$0!!=1,\qquad (-1)!!=1.$$

这两个特殊值能让偶次、奇次公式在低阶时也保持统一。

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五、Wallis 乘积

由华理士公式还能推出经典的 Wallis 乘积：

$$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)(2n+1)}.$$

展开后为

$$\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdot \frac{6\cdot6}{5\cdot7} \cdots.$$

它常用于证明与 $\pi$ 有关的极限，也能帮助估计中心二项式系数。

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六、常见用法

1. 直接计算三角幂积分

遇到

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx \quad\text{或}\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx$$

先判断 $n$ 是偶数还是奇数：

幂次	结果
$n=2m$	$\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$
$n=2m+1$	$\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$

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2. 处理含参数的极限

当 $n$ 很大时，华理士积分有渐近估计：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$$

因此若题目出现

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx,$$

可以直接得到

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

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3. 和对称性结合

如果积分区间是 $[0,\pi]$，常先利用对称性：

$$\int_0^\pi \sin^n x\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx.$$

例如

$$\int_0^\pi \sin^4x\,dx = 2\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}.$$

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七、易错点

易错点一：偶次幂结果含圆周率，奇次幂结果不含圆周率。
因为偶次幂最后递推到 $I_0=\dfrac{\pi}{2}$；奇次幂最后递推到初值 1。

易错点二：公式只适用于 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的纯幂积分。
如果区间、被积函数结构发生变化，要先通过对称性、换元或恒等变形转化。

易错点三：双阶乘不要写成普通阶乘。
例如

$$5!!=5\cdot3\cdot1, \qquad 5!\,=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.$$

两者不是一回事。

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记忆口诀

华理士积分的记忆方式可以概括为：

降两阶，乘前比后；偶到 $\dfrac{\pi}{2}$，奇到 1。

也就是

$$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}, \qquad I_0=\frac{\pi}{2}, \qquad I_1=1.$$