具体函数反常积分敛散性判别步骤

核心逻辑

判别具体函数的反常积分，不要先想着算原函数，而要先在每个反常点附近看“像哪个 p 积分”。

做题时按下面这条链走：

1. 找反常点：考研范围内，瑕点通常就是无定义点；无穷区间还要看 $+\infty$ 或 $-\infty$。
2. 只看被积函数本身：上下限只是告诉你要检查哪些位置，真正决定敛散性的是被积函数在反常点附近的阶数。
3. 逐个反常点取等价：在瑕点或无穷远处，把被积函数等价成 p 积分形式。
4. 每一段都要收敛：只要某一个反常点处发散，整个反常积分就发散；只有所有反常点都收敛，整体才收敛。
5. 特殊函数单独处理：出现 $\ln x$、$e$ 的无穷次幂时，先判断是不是广义 p 积分或指数压倒幂函数，再比较。

一句话：

先分点，再等价；一处发散，全局发散。

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一、比较判别法：大的收敛，小的必收敛

设 $f(x),g(x)$ 在反常点附近非负，且

$$0\le f(x)\le g(x).$$

则：

1. 若 $\displaystyle\int g(x)\,dx$ 收敛，则 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ 收敛。
2. 若 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ 发散，则 $\displaystyle\int g(x)\,dx$ 发散。

直觉很简单：

大的面积都压得住，小的面积一定压得住；小的面积都压不住，大的面积一定压不住。

使用时注意：比较判别法要求在反常点附近非负。若 $f,g$ 同为负，可以同时乘以 $-1$，敛散性不变。

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二、极限比较判别法：本质是比较判别法的极限形式

设 $f(x),g(x)$ 在反常点附近非负，且

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda.$$

常用结论如下：

• 若 $0<\lambda<+\infty$，则 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ 与 $\displaystyle\int g(x)\,dx$ 同敛散。
• 若 $\lambda=0$，且 $\displaystyle\int g(x)\,dx$ 收敛，则 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ 收敛。
• 若 $\lambda=+\infty$，且 $\displaystyle\int g(x)\,dx$ 发散，则 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ 发散。

做题时最常用的是第一条：只要

$$f(x)\sim Cg(x)\qquad (C>0),$$

就可以把 $f$ 直接换成 $g$ 来判别。

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三、反常点判别流程

1. 瑕点在端点

若 $x\to a^+$，把被积函数化成

$$\frac{C}{(x-a)^p}$$

则

$$\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge1. \end{cases}$$

若 $x\to b^-$，把被积函数化成

$$\frac{C}{(b-x)^p},$$

结论仍然是 $p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散。

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2. 瑕点在区间内部

如果 $c\in(a,b)$ 是瑕点，那么必须拆开：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$$

只有

$$\int_a^c f(x)\,dx \quad\text{和}\quad \int_c^b f(x)\,dx$$

都收敛，原反常积分才收敛。

这里最容易犯错的是用“奇偶性抵消”。反常积分有内部瑕点时，不能先把左右两边合起来抵消；必须左右分别存在。

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3. 无穷远处

若 $x\to+\infty$，把被积函数化成

$$\frac{C}{x^p}.$$

则

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le1. \end{cases}$$

无穷远处的核心是“尾巴衰减够不够快”：快过 $\dfrac1x$ 才收敛。

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四、遇到 $\ln x$ 怎么处理

1. 广义 p 积分形式，直接套结论

如果出现

$$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^p x}\,dx \qquad (a>1),$$

这是广义 p 积分，因为令 $t=\ln x$，有

$$dt=\frac1x\,dx.$$

所以它等价于

$$\int_{\ln a}^{+\infty}\frac1{t^p}\,dt.$$

结论是：

$$p>1\text{ 收敛},\qquad p\le1\text{ 发散}.$$

例如

$$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2x}\,dx$$

中 $p=2>1$，所以收敛。

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2. 不是广义 p 积分，就对 $\ln x$ 做阶数比较

若分母里没有刚好配出 $\dfrac1x\,dx$，就不要硬套广义 p 积分。

常用思想是：

$$\ln x=o(x^\alpha)\qquad (x\to+\infty,\ \alpha>0).$$

也就是说，对数比任何正幂都低阶。它通常改变不了幂函数已经决定好的非临界敛散性。

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五、遇到 $e$ 的无穷次幂怎么处理

指数函数压倒任何幂函数：

$$e^{x^2}\gg x^N\qquad (x\to+\infty,\ N>0).$$

因此

$$e^{-x^2}=\frac1{e^{x^2}}\ll \frac1{x^N}.$$

只要取 $N>1$，就能用比较判别法推出

$$\int_A^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$$

收敛。也就是说，遇到 $e^{-x^2}$ 这种指数衰减，尾部比任意 p 积分都更容易收敛。

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六、例题

例题 1：判断哪个广义积分发散

选择题例题 1

$$\text{下列广义积分发散的是}$$

• A $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sin x}$
• B $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
• C $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$
• D $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^2x}$

解答

A：内部瑕点，不能用奇偶性抵消

在 $[-1,1]$ 内部，$x=0$ 是瑕点。且

$$\sin x\sim x\qquad (x\to0),$$

所以

$$\frac1{\sin x}\sim \frac1x.$$

必须拆成

$$\int_{-1}^{0}\frac{dx}{\sin x} \quad\text{和}\quad \int_0^1\frac{dx}{\sin x}.$$

两边都按 $p=1$ 的瑕点 p 积分发散。因此

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sin x}$$

发散。注意：这里不能说它是奇函数所以积分为 $0$，因为反常积分要求左右两段分别存在。

B：两个端点瑕点，但都收敛

当 $x\to1^-$ 时，

$$\frac1{\sqrt{1-x^2}} = \frac1{\sqrt{(1-x)(1+x)}} \sim \frac{1}{\sqrt2(1-x)^{1/2}}.$$

此时 $p=\dfrac12<1$，右端点收敛。

当 $x\to(-1)^+$ 时，

$$\frac1{\sqrt{1-x^2}} = \frac1{\sqrt{(1-x)(1+x)}} \sim \frac{1}{\sqrt2(x+1)^{1/2}}.$$

仍然是 $p=\dfrac12<1$，左端点收敛。所以 B 收敛。

C：指数衰减，收敛

在 $x\to+\infty$ 时，

$$e^{x^2}\gg x^{999},$$

所以

$$e^{-x^2}\ll \frac1{x^{999}}.$$

而

$$\int_1^{+\infty}\frac1{x^{999}}\,dx$$

收敛，由比较判别法可知 C 收敛。

D：广义 p 积分，收敛

$$\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^2x}$$

是广义 p 积分，$p=2>1$，所以 D 收敛。

因此只有 A 发散：

$$\boxed{\text{A}}$$

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例题 2：2016 数一真题

选择题例题 2

$$\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx\ \text{收敛，则}$$

• A $a<1\text{ 且 }b>1$
• B $a>1\text{ 且 }b>1$
• C $a<1\text{ 且 }a+b>1$
• D $a>1\text{ 且 }a+b>1$

解答

第一步：找反常点

积分区间是 $(0,+\infty)$，所以要检查两个位置：

$$x\to0^+, \qquad x\to+\infty.$$

第二步：在 $0^+$ 附近等价

当 $x\to0^+$ 时，

$$(1+x)^b\to1,$$

所以

$$\frac{1}{x^a(1+x)^b} \sim \frac1{x^a}.$$

这是瑕点 p 积分，收敛条件为

$$a<1.$$

第三步：在 $+\infty$ 附近等价

当 $x\to+\infty$ 时，

$$(1+x)^b\sim x^b,$$

所以

$$\frac{1}{x^a(1+x)^b} \sim \frac1{x^{a+b}}.$$

这是无穷远处的 p 积分，收敛条件为

$$a+b>1.$$

第四步：两个条件同时成立

因此原积分收敛当且仅当

$$a<1 \qquad\text{且}\qquad a+b>1.$$

答案为

$$\boxed{\text{C}}$$

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最终做题模板

1. 先找所有反常点：端点、内部无定义点、无穷远都要列出来。
2. 每个点单独看：不要用左右抵消代替反常积分的存在性。
3. 在每个点取等价：把被积函数化成 $\dfrac{C}{(x-a)^p}$、$\dfrac{C}{(b-x)^p}$ 或 $\dfrac{C}{x^p}$。
4. 套 p 积分结论：瑕点处 $p<1$ 收敛；无穷远处 $p>1$ 收敛。
5. 遇到 $\ln x$ 先分辨类型：若是 $\dfrac1{x\ln^p x}$，按广义 p 积分；否则用对数低阶。
6. 遇到 $e^{-x^2}$ 这类指数衰减：用指数压倒幂函数，比较到 $\dfrac1{x^N}$。
7. 最后取交集：所有反常点都收敛，原积分才收敛；任意一点发散，原积分发散。