6.10 二重积分中值定理

二重积分中值定理主要用于极限题：区域 $D(t)$ 随 $t\to 0$ 收缩为一点时， $\iint_{D(t)}f\,d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\text{Area}(D(t))$ ，其中 $(\xi,\eta)\in D(t)\to(0,0)$ 。

来源： 邂逅遗憾27考研数学思维课第六章，§6.10（pp.450–451） 验算： Wolfram Language（例6.43 结果验证通过）

一、定理陈述

性质 7（二重积分中值定理）： 设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， $A$ 为 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$ ，使得

\iint_D f(x,y)\,d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot A

二重积分中值定理主要出现在与极限相关的题目中。当被积函数是抽象函数（无法直接积分）且积分区域随参数收缩时，优先考虑中值定理。

解答题例 6.43

设 $D(t)=\{(x,y)\mid 2x^2+3y^2\leq 6t,\;t\geq 0\}$ ，

f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)}-1}{e^{x^2+y^2}-1},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]a,&(x,y)=(0,0)\end{cases}

若 $f$ 在 $(0,0)$ 处连续， $F(t)=\iint_{D(t)}f(x,y)\,dx\,dy$ ，求 $F'(0)$ 。

解答

第一步：确定 $a$ （使 $f$ 连续）。

令 $u=x^2+y^2\to 0$ ：

\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt[3]{1-u}-1}{e^u-1}

等价无穷小： $\sqrt[3]{1-u}-1\sim-\frac{u}{3}$ ， $e^u-1\sim u$ ，故

\lim_{u\to 0}\frac{-u/3}{u}=-\frac{1}{3}

因此 $a=-\dfrac{1}{3}$ 。

第二步：计算 $D(t)$ 的面积。

$2x^2+3y^2\leq 6t$ 即 $\frac{x^2}{3t}+\frac{y^2}{2t}\leq 1$ ，为椭圆（半轴 $\sqrt{3t}$ 和 $\sqrt{2t}$ ）。

\text{Area}(D(t))=\pi\sqrt{3t}\cdot\sqrt{2t}=\sqrt{6}\,\pi\,t

第三步：中值定理。

由中值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D(t)$ ，使得

F(t)=f(\xi,\eta)\cdot\sqrt{6}\,\pi\,t

当 $t\to 0^+$ 时， $D(t)$ 收缩为原点，故 $(\xi,\eta)\to(0,0)$ ， $f(\xi,\eta)\to f(0,0)=-\frac{1}{3}$ 。

第四步：求 $F'(0)$ 。

F'(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{F(t)-F(0)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{6}\,\pi\,t\cdot f(\xi,\eta)}{t}=\sqrt{6}\,\pi\cdot f(0,0)=-\frac{\sqrt{6}\,\pi}{3}

手稿批注：此题被积函数是抽象的（无法直接算出二重积分），但中值定理把它化为 $f(\xi,\eta)\cdot\text{Area}$ ，再取极限即可。关键是：(1) 先用等价无穷小确定 $a$ ；(2) 算出椭圆面积 $\sqrt{6}\pi t$ ；(3) 中值定理 + 区域收缩。

夹逼准则的局限： 在某些题目中（如例 6.36），试图用积分中值定理后再夹逼，可能”夹不住”（不同取法给出不同极限）。此时应改用交换积分次序 + 洛必达的方法，而非依赖中值定理。