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3.5 反常积分：敛散性判别、计算方法与概念误区

邂逅遗憾思维课§3.5整理：反常积分p积分判别（无穷远处p>1收敛、瑕点处p<1收敛）、比较判别法与极限比较判别法、广义p积分含对数情形、反常积分计算原则（取极限、拆奇点）、概念误区（收敛不推出极限为0、奇函数不能直接用奇零）、微分方程与反常积分结合。

反常积分的敛散性，关键看反常点附近的”阶数”；无穷远处要”降得快”（p>1p>1 收敛），瑕点附近要”爆得慢”（p<1p<1 收敛）。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课第三章：积分，§3.5 反常积分（pp.266–280）。

一、反常积分敛散性的判别

无穷远处的普通 p 积分

当 a>0a>0 时，

∫a+∞1xp dx={收敛,p>1,发散,p≤1.\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}

逻辑：x→+∞x\to+\infty 时，1xp→0\dfrac{1}{x^p}\to0，但趋于 00 不等于积分收敛。只有衰减速度快过 1x\dfrac1x，尾部面积才压得住。

形式结论直觉
1xp\dfrac1{x^p}，p>1p>1收敛衰减足够快
1x\dfrac1{x}发散对数型发散
1xp\dfrac1{x^p}，p<1p<1发散衰减太慢

瑕点附近的普通 p 积分

当 x→a+x\to a^+ 时，

∫ab1(x−a)p dx={收敛,p<1,发散,p≥1.\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}\,dx = \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge 1. \end{cases}

直觉：瑕点附近要”爆得慢”，p<1p<1 时虽然函数趋于无穷，但面积仍然有限。

广义 p 积分（含对数）

∫a+∞1xp(ln⁡x)q dx(a>1)\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p(\ln x)^q}\,dx \quad (a>1)
  • 当 p>1p>1 时：对任意 qq 均收敛（幂函数主导）；
  • 当 p<1p<1 时：对任意 qq 均发散；
  • 当 p=1p=1 时：看 qq，q>1q>1 收敛，q≤1q\le 1 发散。

瑕点处类似：

∫0b1xp∣ln⁡x∣q dx(0<b<1)\int_0^b\frac{1}{x^p|\ln x|^q}\,dx \quad (0<b<1)
  • 当 p<1p<1 时：对任意 qq 均收敛；
  • 当 p>1p>1 时：对任意 qq 均发散；
  • 当 p=1p=1 时：看 qq，q>1q>1 收敛，q≤1q\le 1 发散。

比较判别法

设 f(x),g(x)f(x),g(x) 在反常点附近非负，且 0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x)。则：

  1. 若 ∫g(x) dx\int g(x)\,dx 收敛，则 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx 收敛。
  2. 若 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx 发散，则 ∫g(x) dx\int g(x)\,dx 发散。

大的面积都压得住，小的面积一定压得住；小的面积都压不住，大的面积一定压不住。

极限比较判别法

设 f(x),g(x)f(x),g(x) 在反常点附近非负，且

lim⁡f(x)g(x)=λ.\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda.
  • 若 0<λ<+∞0<\lambda<+\infty：ff 与 gg 同敛散。
  • 若 λ=0\lambda=0：gg 收敛则 ff 收敛。
  • 若 λ=+∞\lambda=+\infty：gg 发散则 ff 发散。

做题步骤

  1. 找反常点：瑕点（无定义点）和无穷远。
  2. 只看被积函数本身：在每个反常点附近取等价。
  3. 逐个反常点套 p 积分：等价成 p 积分形式。
  4. 每一段都要收敛：一处发散，全局发散。

一句话：先分点，再等价；一处发散，全局发散。

解答题例 3.84

判断 ∫0+∞sin⁡xx dx\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx 的敛散性。

解答

在 x=0x=0 附近：sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to 1，不是瑕点，正常积分。

在 x→+∞x\to+\infty 时：sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} 不绝对收敛（因为 ∫1+∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^{+\infty}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx 发散），但条件收敛（由 Dirichlet 判别法：1x\dfrac{1}{x} 单调趋于 00，sin⁡x\sin x 的积分有界）。

因此 ∫0+∞sin⁡xx dx\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx 条件收敛。

注意：此积分收敛，但 ∫0+∞∣sin⁡x∣x dx\int_0^{+\infty}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx 发散。对称区间上遇见奇函数，不能直接使用”奇零”，必须先说明积分收敛才行。

解答题例 3.85

判断 ∫1+∞ln⁡xxp dx\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}\,dx 的敛散性。

解答

这是广义 p 积分，x→+∞x\to+\infty 时：

  • 当 p>1p>1 时：ln⁡xxp=1xp−ε⋅ln⁡xxε\dfrac{\ln x}{x^p}=\dfrac{1}{x^{p-\varepsilon}}\cdot\dfrac{\ln x}{x^{\varepsilon}}，取 ε\varepsilon 使 p−ε>1p-\varepsilon>1，由于 ln⁡x\ln x 增长慢于任何正幂次，故收敛。
  • 当 p=1p=1 时：∫1+∞ln⁡xx dx=(ln⁡x)22∣1+∞=+∞\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\left.\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right|_1^{+\infty}=+\infty，发散。
  • 当 p<1p<1 时：ln⁡xxp≥1xp\dfrac{\ln x}{x^p}\ge\dfrac{1}{x^p}（xx 充分大时），而 ∫1+∞1xp dx\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}\,dx 发散，故发散。

结论：p>1p>1 收敛，p≤1p\le 1 发散。

二、反常积分的计算

反常积分计算的核心原则：取不到端点就取极限；内部有奇点就拆开。

计算原则

  1. 端点无定义：把端点改成字母，再让字母趋向端点。
  2. 端点是无穷：把 +∞+\infty 或 −∞-\infty 改成字母，先在有限区间上算，最后取极限。
  3. 区间内部有奇点：不能直接套牛顿-莱布尼茨公式，必须在奇点处分成左右两段。
  4. 左右两段分别取极限：只有两边都存在，原反常积分才存在。
  5. 前期运算保留字母：不要提前把无穷或奇点代进去，最后一步再取极限。
解答题例 3.86

计算 ∫01ln⁡x dx\int_0^1 \ln x\,dx。

解答

x=0x=0 处无定义，写成

∫01ln⁡x dx=lim⁡a→0+∫a1ln⁡x dx.\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}\int_a^1 \ln x\,dx.

而 ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x\int \ln x\,dx=x\ln x-x，所以

∫01ln⁡x dx=lim⁡a→0+[xln⁡x−x]a1=lim⁡a→0+[(0−1)−(aln⁡a−a)].\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}[x\ln x-x]_a^1 = \lim_{a\to0^+}[(0-1)-(a\ln a-a)].

由于 lim⁡a→0+aln⁡a=0\lim_{a\to0^+}a\ln a=0，故

∫01ln⁡x dx=−1−0+0=−1.\int_0^1 \ln x\,dx = -1-0+0 = \boxed{-1}.
解答题例 3.87

计算 ∫0+∞xe−x dx\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx。

解答
∫0+∞xe−x dx=lim⁡A→+∞∫0Axe−x dx.\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx = \lim_{A\to+\infty}\int_0^A xe^{-x}\,dx.

分部积分：令 u=xu=x，dv=e−xdxdv=e^{-x}dx：

∫0Axe−x dx=[−xe−x]0A+∫0Ae−x dx=−Ae−A+[−e−x]0A\int_0^A xe^{-x}\,dx = [-xe^{-x}]_0^A + \int_0^A e^{-x}\,dx = -Ae^{-A}+[-e^{-x}]_0^A =−Ae−A−e−A+1.= -Ae^{-A}-e^{-A}+1.

取极限：lim⁡A→+∞(−Ae−A−e−A+1)=0−0+1=1\lim_{A\to+\infty}(-Ae^{-A}-e^{-A}+1)=0-0+1=1。

∫0+∞xe−x dx=1\boxed{\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx = 1}

三、反常积分收敛性的概念误区

由于 2024 考研中出现了反常积分的概念性问题，补充几个容易混淆的知识。

误区一：收敛推不出函数极限为 0

∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x)\,dx 收敛，不能推出 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0。甚至极限可能不存在。

但若 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x)\,dx 收敛，且 lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) 存在，则该极限一定为 00。

误区二：奇函数不能直接用”奇零”

对称区间上，遇见奇函数，不能直接使用”奇零”，必须先说明积分收敛才行。

如 ∫−∞+∞x dx\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx，虽然被积函数是奇函数，但 ∫0+∞x dx\int_0^{+\infty}x\,dx 发散，所以整个反常积分发散，积分结果不存在。

误区三：内部瑕点必须左右分别收敛

区间内部有瑕点时，左右两边必须分别收敛，不能靠对称抵消。

误区四：正常积分与反常积分的区别

只有反常积分才谈敛散性；正常定积分只谈是否存在（有界 + 间断点有限 → 可积）。

四、微分方程与反常积分

解答题例 3.90

设 f(x)f(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上连续，f(0)=1f(0)=1，且 ∫0+∞f(x) dx\int_0^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。若 f′(x)=−f(x)+e−2xf'(x)=-f(x)+e^{-2x}，求 ∫0+∞f(x) dx\int_0^{+\infty}f(x)\,dx。

解答

解微分方程 f′(x)+f(x)=e−2xf'(x)+f(x)=e^{-2x}，积分因子为 exe^x：

(exf(x))′=e−x(e^x f(x))' = e^{-x}

积分得

exf(x)=−e−x+Ce^x f(x) = -e^{-x}+C f(x)=−e−2x+Ce−xf(x) = -e^{-2x}+Ce^{-x}

由 f(0)=1f(0)=1：−1+C=1-1+C=1，C=2C=2。

f(x)=2e−x−e−2xf(x) = 2e^{-x}-e^{-2x}

因此

∫0+∞f(x) dx=∫0+∞(2e−x−e−2x) dx=2−12=32\int_0^{+\infty}f(x)\,dx = \int_0^{+\infty}(2e^{-x}-e^{-2x})\,dx = 2-\frac{1}{2} = \boxed{\frac{3}{2}}

五、考场速记

  1. 无穷远处：p>1p>1 收敛，p≤1p\le 1 发散。
  2. 瑕点处：p<1p<1 收敛，p≥1p\ge 1 发散。
  3. 含对数的临界型（p=1p=1）：q>1q>1 收敛，q≤1q\le 1 发散。
  4. 做题步骤：先分点，再等价；一处发散，全局发散。
  5. 计算原则：取不到端点就取极限，内部断开就左右拆分。
  6. 概念：收敛不推出极限为 00；奇函数不能直接用奇零；内部瑕点左右分别收敛。
  7. 指数压倒幂函数：e−xe^{-x} 型在 +∞+\infty 处一定收敛。
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