3.7 定积分物理应用：变力做功、水压力与引力

物理应用的核心：建立物理模型 → 取微元 → 列积分式 → 计算。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课第三章：积分，§3.7 定积分物理应用（pp.292+）。

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一、变力做功

弹簧拉伸问题

胡克定律：$F=kx$（$k$ 为劲度系数，$x$ 为伸长量）。

将弹簧从原长拉伸到长度 $l$，做功：

$$W=\int_0^l kx\,dx = \frac{1}{2}kl^2$$

抽水问题

水池内水的深度为 $H$，要将水全部抽出水面以上高度 $h$ 处。

取深度为 $y$ 的水层（厚度 $dy$），该水层的质量为 $\rho S(y)\,dy$（$\rho$ 为密度，$S(y)$ 为水平截面积），提升距离为 $y+h$。

微功：$dW=\rho g S(y)(y+h)\,dy$。

总功：

$$W=\int_0^H \rho g S(y)(y+h)\,dy$$

解答题例 3.117（2010 数二真题）

一个水池深 $H$，顶部截面为圆形（半径 $R$），底部也是圆形（半径 $r$），侧面为斜面。池中盛满水，求将水全部抽出的功。

解答

设水深 $y$ 处的截面半径为 $x(y)$，由相似性：

$$x(y)=r+\frac{R-r}{H}(H-y)$$

取深度 $y$ 处水层（厚度 $dy$），质量 $dm=\pi[x(y)]^2\rho\,dy$，提升距离 $y$。

$$W=\int_0^H \rho g\pi [r+\frac{R-r}{H}(H-y)]^2 y\,dy$$

具体计算略。

拉力做功

若物体受变力 $F(x)$ 作用沿直线移动，从 $x=a$ 到 $x=b$，则：

$$W=\int_a^b F(x)\,dx$$

解答题例 3.118（2011 数二真题）

求将质量为 $m$、长度为 $L$ 的均匀链条从桌面边缘慢慢拉上桌面所需的功。（桌面离地高 $H>L$）

解答

方法一：考虑重力势能变化。

链条线密度 $\lambda=m/L$。当链条刚好全部在桌面上时，势能为 $0$；初始时链条一半垂在外面（假设一半垂在外面），质心离桌面 $-\frac{L}{4}$。

势能增量：$\Delta U=mg\cdot\frac{L}{4}$。

所需功等于势能增量：$W=\boxed{\frac{mgL}{4}}$。

方法二：分部积分 + 物理意义。

详细计算略。

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二、液体侧压力

平板所受水压

平板垂直放置于水中，水面为 $y=0$，向下为正。

平板形状：左边界 $x=x_1(y)$，右边界 $x=x_2(y)$，$y$ 从 $a$ 到 $b$。

在深度 $y$ 处取宽度 $dy$ 的微元条，该处压强为 $P=\rho gy$，微元面积 $dA=[x_2(y)-x_1(y)]\,dy$。

微压力：$dF=P\,dA=\rho gy[x_2(y)-x_1(y)]\,dy$。

总压力：

$$F=\int_a^b \rho gy[x_2(y)-x_1(y)]\,dy$$

特殊情况：矩形挡板

宽为 $b$，高为 $h$，顶边在水面下深度 $d$ 处。

$$F=\int_d^{d+h} \rho gy\cdot b\,dy = \rho gb\left[\frac{y^2}{2}\right]_d^{d+h} = \rho gb\frac{(d+h)^2-d^2}{2}$$

解答题例 3.119（2025 数二真题）

一个半圆柱形容器（半径 $R$），装满水。求一侧平面挡板所受的水压力。

解答

半圆柱截面方程：$x^2+y^2=R^2$（上半圆）。

挡板为竖直矩形，高度 $R$，宽度 $2x=2\sqrt{R^2-y^2}$。

在深度 $y$ 处：压强 $P=\rho gy$，面积微元 $dA=2\sqrt{R^2-y^2}\,dy$。

$$F=\int_0^R \rho gy\cdot 2\sqrt{R^2-y^2}\,dy$$

令 $u=R^2-y^2$，$du=-2y\,dy$：

$$F=2\rho g\int_0^R y\sqrt{R^2-y^2}\,dy=2\rho g\left[-\frac{1}{3}(R^2-y^2)^{3/2}\right]_0^R=\boxed{\frac{2}{3}\rho gR^3}$$

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三、万有引力

质点与质点

两质点质量分别为 $M$、$m$，距离为 $r$，引力大小：

$$F=G\frac{Mm}{r^2}$$

方向沿着连线指向对方。

质点与细杆

质量 $m$ 的质点在距离均匀细杆（质量 $M$，长度 $L$）一端距离 $d$ 处。

杆的线密度 $\lambda=M/L$。取杆上一微元 $dx$，质量 $dm=\lambda\,dx$，与质点距离 $r=d+x$。

微引力：$dF=G\frac{m\,dm}{(d+x)^2}=G\frac{m\lambda}{(d+x)^2}\,dx$。

总引力：

$$F=\int_0^L G\frac{m\lambda}{(d+x)^2}\,dx = G\frac{m\lambda}{d}-G\frac{m\lambda}{d+L} = GMm\frac{1}{d(d+L)}$$

质点与圆盘

均匀圆盘（质量 $M$，半径 $R$），质点在轴线上距离盘心 $z$ 处。

圆盘面密度 $\sigma=\frac{M}{\pi R^2}$。将圆盘分成无数个圆环，半径 $r$，宽度 $dr$，质量 $dm=\sigma\cdot 2\pi r\,dr$。

圆环上每个质点到质点的距离相同：$\sqrt{r^2+z^2}$。

由于对称性，只有轴向分量有效：$dF_z=dF\cdot\cos\theta=dF\cdot\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}$。

$$dF=G\frac{m\,dm}{r^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}} = G\frac{m\sigma 2\pi z}{(r^2+z^2)^{3/2}}\,r\,dr$$

积分得：

$$F_z=\int_0^R G\frac{m\sigma 2\pi z}{(r^2+z^2)^{3/2}}\,r\,dr = 2\pi Gm\sigma\left[1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]$$

代入 $\sigma=M/(\pi R^2)$：

$$F_z=G\frac{mM}{R^2}\left[1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]$$

当 $R\to 0$ 或 $z\gg R$ 时，近似为质点公式 $GMm/z^2$。

解答题例 3.120

求地球表面附近物体受到的重力与万有引力的关系。

解答

地面附近：$R_{\text{地球}}$ 很大，$z=h$ 很小。

由上述圆盘公式，当 $z\ll R$ 时：

$$1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\approx 1-\frac{z}{R}+\cdots\approx 1$$

故 $F\approx GMm/R^2=mg$。

即地表附近的重力就是万有引力的近似。

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四、考场速记

1. 变力做功：$W=\int F(x)\,dx$；弹簧做功 $W=\frac{1}{2}kl^2$。
2. 抽水问题：$dW=\rho g S(y)(y+h)\,dy$。
3. 水压力：$dF=\rho gy\cdot w(y)\,dy$，$w(y)$ 为宽度函数。
4. 万有引力：微元法，注意对称性（如圆盘只有轴向分量有效）。
5. 物理应用核心：画图→取微元→列积分。
6. 此部分为数一考点，数一上一次考是在 2003 年；对于数二而言属于中低频考点。