3.6 定积分几何应用：面积、旋转体体积、弧长与侧面积

几何应用的核心：画图确定积分区域，选对积分变量和微元，套公式计算。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课第三章：积分，§3.6 定积分几何应用（pp.281–291）。

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一、平面图形的面积

直角坐标系

由 $y=f(x)$、$y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)$）与 $x=a$、$x=b$ 围成的面积：

$$S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$$

由 $x=\varphi(y)$、$x=\psi(y)$（$\varphi(y)\ge \psi(y)$）与 $y=c$、$y=d$ 围成的面积：

$$S=\int_c^d [\varphi(y)-\psi(y)]\,dy$$

极坐标系

由 $r=r(\theta)$（$\alpha\le\theta\le\beta$）围成的面积：

$$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$$

两条极坐标曲线 $r_1(\theta)$、$r_2(\theta)$（$r_2\ge r_1\ge 0$）之间的面积：

$$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta [r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)]\,d\theta$$

参数方程

曲线 $x=x(t)$，$y=y(t)$（$t_1\le t\le t_2$）与 $x$ 轴围成的面积：

$$S=\int_{t_1}^{t_2} y(t)\,x'(t)\,dt$$

（注意积分限对应 $x$ 从小到大，若 $x'(t)<0$ 需调整符号。）

解答题例 3.100

求由 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

解答

交点：$x^2=x$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。

在 $[0,1]$ 上，$x\ge x^2$，故

$$S=\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}}$$

解答题例 3.101

求心形线 $r=a(1+\cos\theta)$（$a>0$）所围面积。

解答

心形线关于极轴对称，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 画完一整圈。

$$S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta =\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta$$ $$=\frac{a^2}{2}\left[2\pi+0+\pi\right]=\frac{a^2}{2}\cdot 3\pi = \boxed{\frac{3\pi a^2}{2}}$$

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二、旋转体体积

绕 $x$ 轴旋转（圆盘法）

由 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）、$x=a$、$x=b$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转：

$$V_x=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$$

两条曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$（$f\ge g\ge 0$）之间绕 $x$ 轴：

$$V_x=\pi\int_a^b \{[f(x)]^2-[g(x)]^2\}\,dx$$

绕 $y$ 轴旋转（壳法）

由 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）、$x=a$、$x=b$（$0\le a<b$）与 $x$ 轴围成的区域绕 $y$ 轴旋转：

$$V_y=2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx$$

绕 $y$ 轴旋转（圆盘法，对 $y$ 积分）

$$V_y=\pi\int_c^d [\varphi(y)]^2\,dy$$

其中 $x=\varphi(y)$ 是曲线的反函数。

技巧：若某一部分的旋转体是初高中学过的常见旋转体（如球体、锥体），体积可以利用基本公式进行求解，此时可考虑用大的体积减去小的体积来化简计算。

解答题例 3.105

求由 $y=\sqrt{x}$、$x=1$、$y=0$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解答

$$V_x=\pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi\cdot\frac{1}{2}=\boxed{\frac{\pi}{2}}$$

解答题例 3.106

求由 $y=x^2$、$y=1$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解答

方法一（圆盘法，对 $y$ 积分）：$x=\sqrt{y}$，$y$ 从 $0$ 到 $1$：

$$V_y=\pi\int_0^1 (\sqrt{y})^2\,dy = \pi\int_0^1 y\,dy = \frac{\pi}{2}$$

方法二（壳法，对 $x$ 积分）：$x$ 从 $0$ 到 $1$，高度为 $1-x^2$：

$$V_y=2\pi\int_0^1 x(1-x^2)\,dx = 2\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\pi\cdot\frac{1}{4}=\boxed{\frac{\pi}{2}}$$

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三、弧长公式（数三不要求）

直角坐标

$$L=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

参数方程

$x=x(t)$，$y=y(t)$（$t_1\le t\le t_2$）：

$$L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$$

极坐标

$r=r(\theta)$（$\alpha\le\theta\le\beta$）：

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\,d\theta$$

解答题例 3.110

求摆线 $x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$（$0\le t\le 2\pi$）一拱的弧长。

解答

$$x'(t)=a(1-\cos t),\qquad y'(t)=a\sin t$$ $$[x'(t)]^2+[y'(t)]^2=a^2[(1-\cos t)^2+\sin^2 t]=a^2[2-2\cos t]=4a^2\sin^2\frac{t}{2}$$ $$L=\int_0^{2\pi}2a\sin\frac{t}{2}\,dt = 2a\left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = 2a\cdot(2+2)=\boxed{8a}$$

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四、旋转体侧面积（数三不要求）

绕 $x$ 轴

$$S_x=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

参数方程绕 $x$ 轴

$$S_x=2\pi\int_{t_1}^{t_2} y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$$

绕 $y$ 轴

$$S_y=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

技巧：对于绕某轴旋转的侧面积，可以将所有的 $x$ 和 $y$ 互换（注意，点坐标的 $x$ 和 $y$ 也要互换），互换之后问题变为绕另一轴旋转。

解答题例 3.115（2016 数二真题）

注意：表面积 = 侧面积 + 底面积。若某一部分的旋转体是初高中学过的常见旋转体（如球体、锥体），体积可以利用基本公式进行求解。

解答

原资料未提供完整解答。

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五、形心、质心、重心（数三不要求）

平面图形的形心

均匀薄片（面密度 $\rho=1$）的形心坐标：

$$\bar{x}=\frac{\iint_D x\,dA}{\iint_D dA}=\frac{\int_a^b x[f(x)-g(x)]\,dx}{\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx}$$ $$\bar{y}=\frac{\iint_D y\,dA}{\iint_D dA}=\frac{\frac{1}{2}\int_a^b [f^2(x)-g^2(x)]\,dx}{\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx}$$

旋转体的质心

绕 $x$ 轴旋转体的质心在 $x$ 轴上（由对称性），其 $x$ 坐标为：

$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\cdot\pi f^2(x)\,dx}{\int_a^b \pi f^2(x)\,dx}$$

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六、平行截面面积为已知的立体体积（数三不要求）

若立体在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间，垂直于 $x$ 轴的截面面积为 $A(x)$，则

$$V=\int_a^b A(x)\,dx$$

解答题例 3.112（2010 数二真题）

利用平行截面面积法求立体体积。

解答

原资料未提供完整解答。

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七、考场速记

1. 面积：画图 → 确定上下（左右）曲线 → $\int(\text{上}-\text{下})\,dx$ 或 $\int(\text{右}-\text{左})\,dy$。
2. 极坐标面积：$S=\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$。
3. 旋转体体积：绕 $x$ 轴用圆盘法 $\pi\int y^2\,dx$；绕 $y$ 轴用壳法 $2\pi\int x\cdot y\,dx$。
4. 弧长：$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$，参数方程 $ds=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$。
5. 侧面积：$dS=2\pi r\,ds$，$r$ 是到旋转轴的距离。
6. 表面积 = 侧面积 + 底面积，别漏底面！
7. 常见旋转体（球、锥）可直接用基本公式，大减小化简。