6.10 二重积分中值定理

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6.10.1 二重积分中值定理定义

6.10.2 典型例题精讲

例 6.43（张宇基础三十讲例 14.2）

💡 【思考与设问】例 6.43 (张宇基础三十讲例 14.2)

设动区域 $D(t) = \{(x,y) \mid 2x^2+3y^2 \le 6t\}\; (t \ge 0)$ ，函数
$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)} - 1}{e^{x^2+y^2} - 1}, & (x,y) \ne (0,0), \\[2mm] a, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$
在全平面上连续。令 $F(t) = \iint_{D(t)} f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，求单侧导数 $F'_+(0)$ 。

由连续性确定原点处函数值 $a$ ：因为 $f(x,y)$ 在原点连续，故 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = a$ 。令极径平方 $u = x^2+y^2 \to 0^+$ ：
$\begin{aligned} a &= f(0,0) = \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \frac{\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)} - 1}{e^{x^2+y^2} - 1} = \lim_{u\to 0} \frac{\sqrt[3]{1-u}-1}{e^u-1} \\[2mm] &= \lim_{u\to 0} \frac{-\frac{1}{3}u}{u} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}$
确定动态椭圆区域 $D(t)$ 的面积：椭圆边界方程改写为标准型： $\frac{x^2}{3t} + \frac{y^2}{2t} \le 1$ 。半长轴 $a(t) = \sqrt{3t}$ ，半短轴 $b(t) = \sqrt{2t}$ 。由椭圆面积公式，区域面积为：
$S_{D(t)} = \pi a(t) b(t) = \pi \sqrt{3t}\sqrt{2t} = \sqrt{6}\pi t.$
由二重积分中值定理结合导数定义求 $F'_+(0)$ ：当 $t=0$ 时， $D(0)$ 退化为原点单点，故 $F(0) = 0$ 。由二重积分中值定理，在闭区域 $D(t)$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta) \in D(t)$ ，使得：
$F(t) = \iint_{D(t)} f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = f(\xi, \eta) \cdot S_{D(t)} = \sqrt{6}\pi t \cdot f(\xi, \eta).$
按导数定义计算右导数（当 $t \to 0^+$ 时，区域 $D(t)$ 均匀收缩至原点 $(0,0)$ ，由夹逼定理知中值点 $(\xi, \eta) \to (0,0)$ ）：
$\begin{aligned} F'_+(0) &= \lim_{t\to 0^+} \frac{F(t) - F(0)}{t - 0} \\[2mm] &= \lim_{t\to 0^+} \frac{\sqrt{6}\pi t \cdot f(\xi, \eta)}{t} \\[2mm] &= \lim_{t\to 0^+} \sqrt{6}\pi f(\xi, \eta) \\[2mm] &= \sqrt{6}\pi f(0,0) = \sqrt{6}\pi \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{\sqrt{6}\pi}{3}. \end{aligned}$

拓展：抽象函数的二重积分中值定理应用

区域 $D(t)$ 是边长为 $t$ 的正方形，面积为 $S_{D(t)} = t^2$ 。当 $t=0$ 时， $F(0) = 0$ 。由导数定义结合二重积分中值定理（存在点 $(\xi, \eta) \in D(t)$ ，满足 $0 \le \xi \le t,\; 0 \le \eta \le t$ ）：

\begin{aligned} F'_+(0) &= \lim_{t\to 0^+} \frac{F(t) - F(0)}{t - 0} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\iint_{D(t)} f_{xy}''(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{t} \\[2mm] &\xlongequal{\text{中值定理}} \lim_{t\to 0^+} \frac{f_{xy}''(\xi, \eta) \cdot t^2}{t} \\[2mm] &= \lim_{t\to 0^+} t \cdot f_{xy}''(\xi, \eta) = 0 \cdot f_{xy}''(0,0) = 0. \end{aligned}

6.10.3 关键避坑：中值定理的夹逼性与失效辨析

在使用积分中值定理求极限时，其本质依托于夹逼准则；若中值点 $(\xi, \eta)$ 取极端边界值时两端极限不一致，则中值定理失效（两头夹不住），无法说明最终结果！

详见前文 例 6.36：求极限 $\lim\limits_{t\to 0^+} \frac{1}{t^6} \int_0^t \mathrm{d}x \int_x^t \sin(xy)^2\,\mathrm{d}y$ 。

若盲目套用二重积分中值定理：积分区域三角形面积为 $\frac{1}{2}t^2$ ，由中值定理：
$\lim_{t\to 0^+} \frac{\sin(\xi\eta)^2 \cdot \frac{1}{2}t^2}{t^6} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\xi^2\eta^2}{2t^4} \quad (0 < \xi < t,\; \xi < \eta < t)$
尝试检验边界极端情况：
- 若 $\xi \to 0,\; \eta \to \xi \implies \text{极限} = 0$ ；
- 若 $\xi \to t,\; \eta \to t \implies \text{极限} = \frac{t^2 \cdot t^2}{2t^4} = \frac{1}{2}$ 。
两端极限不相等，夹逼准则彻底失效，无法得出正确答案 $\frac{1}{18}$ ！
应试总结结论：
- 凡是洛必达法则能解决的积分极限，必须优先使用洛必达法则（或换元后洛必达）；
- 积分中值定理仅作为无法换元洛必达时的备选手段，且需确保被积函数在区域收缩时能稳定趋于确定常数（如例 6.43）。

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ギターと孤独と蒼い惑星

6.10 二重积分中值定理

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6.10.1 二重积分中值定理定义

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6.10.3 关键避坑：中值定理的夹逼性与失效辨析

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6.10.3 关键避坑：中值定理的夹逼性与失效辨析

例 6.43（张宇基础三十讲例 14.2）