6.2 二重积分的极限定义式
总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 上一节：6.1 二重积分的几何意义（了解即可） · 下一节：6.3 二重积分的计算
6.2.1 二重积分极限定义式与万能公式
二重积分的标准极限定义式如下：
∬ D f ( x , y ) d σ = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( a + b − a n i , c + d − c n j ) b − a n d − c n , \iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}\sigma = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(a + \frac{b-a}{n}i, c + \frac{d-c}{n}j\right) \frac{b-a}{n} \frac{d-c}{n}, ∬ D f ( x , y ) d σ = n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = 1 ∑ n f ( a + n b − a i , c + n d − c j ) n b − a n d − c , 式中 D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } D = \{(x, y) \mid a \le x \le b, c \le y \le d\} D = {( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }
传统的定积分只需处理单个自变量 x x x ∑ \sum ∑ x x x y y y x x x y y y ∑ \sum ∑ x x x y y y Δ σ = Δ x Δ y \Delta\sigma = \Delta x \Delta y Δ σ = Δ x Δ y f ( x i , y j ) f(x_i, y_j) f ( x i , y j )
在考研做题时，大家无需死记硬背上述冗长的标准定义式。沿用 3.2.1.2 小节中介绍的“万能公式”思想，我们可以极其轻松地将双重求和极限直接转化为对应的二重积分（累次积分）：
6.2.2 典型例题精析
例 6.1（2010 数一数二真题）
💡 【CHOICE】 例 6.1（2010 数一数二真题）
lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n n ( n + i ) ( n 2 + j 2 ) = ( ) \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)} = (\quad) n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = 1 ∑ n ( n + i ) ( n 2 + j 2 ) n = ( )
(A) ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 1 ( 1 + x ) ( 1 + y 2 ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 x ( 1 + x ) ( 1 + y 2 ) 1 d y
(B) ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 1 ( 1 + x ) ( 1 + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)}\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 x ( 1 + x ) ( 1 + y ) 1 d y
(C) ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 1 ( 1 + x ) ( 1 + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)}\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 1 + x ) ( 1 + y ) 1 d y
(D) ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 1 ( 1 + x ) ( 1 + y 2 ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 1 + x ) ( 1 + y 2 ) 1 d y
例 6.2（2024 超越模拟卷）
💡 错题归档 ：本题核心涉及“和式极限化二重积分 + 哑变量改名 + Fubini 换序 + 单变量定积分换元”，极易误选 B 或漏乘微元，已录入 第6章错题集 · 例 6.2 。
💡 【CHOICE】 例 6.2（2024 超越模拟卷）
将极限 lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 2 n 2 i + j n 3 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2n} \frac{2i+j}{n^3} lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 2 n n 3 2 i + j 不正确 的是（ \quad
(A) ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^2 (2x+y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y
(B) ∫ 0 2 d x ∫ 0 1 ( x + 2 y ) d y \int_0^2 \mathrm{d}x \int_0^1 (x+2y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 2 d x ∫ 0 1 ( x + 2 y ) d y
(C) ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 2 ( x + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 2(x+y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 2 ( x + y ) d y
(D) ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 4(x+y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + y ) d y
答案：C
对选项 A 分析 ：
原式 = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 2 n 1 n 2 ( 2 ⋅ i n + j n ) = ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y ( 因 lim n → ∞ 2 n n = 2 ) ⟹ A 正确 \text{原式} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2n} \frac{1}{n^2} \left(2 \cdot \frac{i}{n} + \frac{j}{n}\right) = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^2 (2x+y)\,\mathrm{d}y \quad \left(\text{因 } \lim_{n \to \infty}\frac{2n}{n} = 2\right) \implies \text{A 正确} 原式 = n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = 1 ∑ 2 n n 2 1 ( 2 ⋅ n i + n j ) = ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y ( 因 n → ∞ lim n 2 n = 2 ) ⟹ A 正确 对选项 B 分析 ：
积分结果与变量记号无关，把所有的 x x x y y y y y y x x x ∫ 0 2 d x ∫ 0 1 ( x + 2 y ) d y \int_0^2 \mathrm{d}x \int_0^1 (x+2y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 2 d x ∫ 0 1 ( x + 2 y ) d y B 也正确 。对选项 D 分析 ：
在 ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^2 (2x+y)\,\mathrm{d}y ∫ 0 1 d x ∫ 0 2 ( 2 x + y ) d y y = 2 t y = 2t y = 2 t 上式 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 2 x + 2 t ) ⋅ 2 d t = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + t ) d t → 积分结果与变量记号无关 ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + y ) d y ⟹ D 也正确 \text{上式} = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 (2x+2t) \cdot 2\,\mathrm{d}t = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 4(x+t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow{\text{积分结果与变量记号无关}} \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 4(x+y)\,\mathrm{d}y \implies \text{D 也正确} 上式 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 2 x + 2 t ) ⋅ 2 d t = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + t ) d t 积分结果与变量记号无关 ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 4 ( x + y ) d y ⟹ D 也正确
综上，不正确的选项为 C 。
例 6.3
💡 【WRITTEN】 例 6.3
计算极限：
lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = − i i i ( i + j ) ( n 2 + i 2 ) ( n 2 + j 2 ) \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=-i}^i \frac{i(i+j)}{(n^2+i^2)(n^2+j^2)} n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = − i ∑ i ( n 2 + i 2 ) ( n 2 + j 2 ) i ( i + j )
解 ：
令 lim n → ∞ i n = x \lim_{n \to \infty}\frac{i}{n} = x lim n → ∞ n i = x lim n → ∞ j n = y \lim_{n \to \infty}\frac{j}{n} = y lim n → ∞ n j = y
原式 = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = − i i 1 n 2 ( i n ) 2 + i n ⋅ j n [ 1 + ( i n ) 2 ] [ 1 + ( j n ) 2 ] = ∫ 0 1 d x ∫ − x x x 2 + x y ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) d y \begin{aligned}
\text{原式} &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=-i}^i \frac{1}{n^2} \frac{\left(\frac{i}{n}\right)^2 + \frac{i}{n} \cdot \frac{j}{n}}{\left[1+\left(\frac{i}{n}\right)^2\right]\left[1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right]} \\
&= \int_0^1 \mathrm{d}x \int_{-x}^x \frac{x^2 + xy}{(1+x^2)(1+y^2)}\,\mathrm{d}y
\end{aligned} 原式 = n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = − i ∑ i n 2 1 [ 1 + ( n i ) 2 ] [ 1 + ( n j ) 2 ] ( n i ) 2 + n i ⋅ n j = ∫ 0 1 d x ∫ − x x ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) x 2 + x y d y 积分区域关于 x x x y ∈ [ − x , x ] y \in [-x, x] y ∈ [ − x , x ] x y ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) \frac{xy}{(1+x^2)(1+y^2)} ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) x y y y y 0 0 0 x 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) \frac{x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) x 2 y y y
= 2 ∫ 0 1 d x ∫ 0 x x 2 1 + x 2 ⋅ 1 1 + y 2 d y ( 偶倍 ) = 2 ∫ 0 1 x 2 + 1 − 1 1 + x 2 arctan x d x = 2 ∫ 0 1 arctan x d x − 2 ∫ 0 1 1 1 + x 2 arctan x d x = 2 ⋅ [ x arctan x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x ] − 2 ∫ 0 1 arctan x d ( arctan x ) = π 2 − ln ( 1 + x 2 ) ∣ 0 1 − ( arctan x ) 2 ∣ 0 1 = π 2 − ln 2 − π 2 16 . \begin{aligned}
&= 2 \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm{d}y \quad (\text{偶倍}) \\
&= 2 \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \arctan x\,\mathrm{d}x \\
&= 2 \int_0^1 \arctan x\,\mathrm{d}x - 2 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \arctan x\,\mathrm{d}x \\
&= 2 \cdot \left[x \arctan x\Big|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\right] - 2 \int_0^1 \arctan x\,\mathrm{d}(\arctan x) \\
&= \frac{\pi}{2} - \ln(1+x^2)\Big|_0^1 - (\arctan x)^2\Big|_0^1 \\
&= \frac{\pi}{2} - \ln 2 - \frac{\pi^2}{16}.
\end{aligned} = 2 ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 1 + x 2 x 2 ⋅ 1 + y 2 1 d y ( 偶倍 ) = 2 ∫ 0 1 1 + x 2 x 2 + 1 − 1 arctan x d x = 2 ∫ 0 1 arctan x d x − 2 ∫ 0 1 1 + x 2 1 arctan x d x = 2 ⋅ [ x arctan x 0 1 − ∫ 0 1 1 + x 2 x d x ] − 2 ∫ 0 1 arctan x d ( arctan x ) = 2 π − ln ( 1 + x 2 ) 0 1 − ( arctan x ) 2 0 1 = 2 π − ln 2 − 16 π 2 .
例 6.3.1
💡 【WRITTEN】 例 6.3.1
求极限：
lim n → ∞ ∑ i = 1 n [ 1 ( n + i + 1 ) 2 + 1 ( n + i + 2 ) 2 + ⋯ + 1 ( n + i + i ) 2 ] \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{(n+i+1)^2} + \frac{1}{(n+i+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+i+i)^2}\right] n → ∞ lim i = 1 ∑ n [ ( n + i + 1 ) 2 1 + ( n + i + 2 ) 2 1 + ⋯ + ( n + i + i ) 2 1 ]
解 ：
观察中括号内部结构：
[ ] = ∑ j = 1 i 1 ( n + i + j ) 2 [\quad] = \sum_{j=1}^i \frac{1}{(n+i+j)^2} [ ] = j = 1 ∑ i ( n + i + j ) 2 1 因此：
原式 = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i 1 ( n + i + j ) 2 = lim n → ∞ 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i 1 ( 1 + i n + j n ) 2 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 1 ( 1 + x + y ) 2 d y = ∫ 0 1 ( − 1 1 + x + y ∣ y = 0 y = x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 1 + x − 1 1 + 2 x ) d x = [ ln ( 1 + x ) − 1 2 ln ( 1 + 2 x ) ] ∣ 0 1 = ln 2 − 1 2 ln 3 ( 也可写成 1 2 ln 4 3 ) . \begin{aligned}
\text{原式} &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{1}{(n+i+j)^2} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{n} + \frac{j}{n}\right)^2} \\
&= \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x \frac{1}{(1+x+y)^2}\,\mathrm{d}y \\
&= \int_0^1 \left(-\left.\frac{1}{1+x+y}\right|_{y=0}^{y=x}\right)\mathrm{d}x \\
&= \int_0^1 \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1+2x}\right)\mathrm{d}x \\
&= \left.\left[\ln(1+x) - \frac{1}{2}\ln(1+2x)\right]\right|_0^1 \\
&= \ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3 \quad \left(\text{也可写成 } \frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}\right).
\end{aligned} 原式 = n → ∞ lim i = 1 ∑ n j = 1 ∑ i ( n + i + j ) 2 1 = n → ∞ lim n 2 1 i = 1 ∑ n j = 1 ∑ i ( 1 + n i + n j ) 2 1 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x ( 1 + x + y ) 2 1 d y = ∫ 0 1 ( − 1 + x + y 1 y = 0 y = x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 + x 1 − 1 + 2 x 1 ) d x = [ ln ( 1 + x ) − 2 1 ln ( 1 + 2 x ) ] 0 1 = ln 2 − 2 1 ln 3 ( 也可写成 2 1 ln 3 4 ) .
例 6.3.2（2026 数二真题）
💡 【CHOICE】 例 6.3.2（2026 数二真题）
设函数 f ( x , y ) f(x, y) f ( x , y ) D = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 } D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\} D = {( x , y ) ∣ 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 } f ( x , y ) = f ( y , x ) f(x, y) = f(y, x) f ( x , y ) = f ( y , x ) ∬ D f ( x , y ) d x d y = \iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = ∬ D f ( x , y ) d x d y = \quad
(A) 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = n + 1 − i n f ( i n , j n ) 1 n 2 2 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-i}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right)\frac{1}{n^2} 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = n + 1 − i n f ( n i , n j ) n 2 1
(B) 1 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = i n f ( i n , j n ) 1 n 2 \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right)\frac{1}{n^2} 2 1 lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = i n f ( n i , n j ) n 2 1
(C) 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 2 n ∑ j = 1 2 n + 1 − i f ( i 2 n , j 2 n ) 1 n 2 2 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^{2n+1-i} f\left(\frac{i}{2n}, \frac{j}{2n}\right)\frac{1}{n^2} 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 2 n ∑ j = 1 2 n + 1 − i f ( 2 n i , 2 n j ) n 2 1
(D) 1 2 lim n → ∞ ∑ i = 1 2 n ∑ j = 1 i f ( i 2 n , j 2 n ) 1 n 2 \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^i f\left(\frac{i}{2n}, \frac{j}{2n}\right)\frac{1}{n^2} 2 1 lim n → ∞ ∑ i = 1 2 n ∑ j = 1 i f ( 2 n i , 2 n j ) n 2 1
答案：D
A 选项 ：
lim n → ∞ n + 1 − i n = lim n → ∞ ( n n + 1 n − i n ) = 1 + 0 − x = 1 − x \lim_{n \to \infty} \frac{n+1-i}{n} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n} + \frac{1}{n} - \frac{i}{n}\right) = 1 + 0 - x = 1-x n → ∞ lim n n + 1 − i = n → ∞ lim ( n n + n 1 − n i ) = 1 + 0 − x = 1 − x 故 A = 2 ∫ 0 1 d x ∫ 1 − x 1 f ( x , y ) d y A = 2 \int_0^1 \mathrm{d}x \int_{1-x}^1 f(x, y)\,\mathrm{d}y A = 2 ∫ 0 1 d x ∫ 1 − x 1 f ( x , y ) d y D D D
B 选项 ：
B = 1 2 ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x , y ) d y = 1 2 ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f ( y , x ) d x = 1 2 ⋅ 1 2 [ ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x , y ) d y + ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f ( y , x ) d x ] = 1 4 ∬ D f ( x , y ) d σ B = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{d}x \int_x^1 f(x, y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{d}y \int_y^1 f(y, x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left[\int_0^1 \mathrm{d}x \int_x^1 f(x, y)\,\mathrm{d}y + \int_0^1 \mathrm{d}y \int_y^1 f(y, x)\,\mathrm{d}x\right] = \frac{1}{4} \iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}\sigma B = 2 1 ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x , y ) d y = 2 1 ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f ( y , x ) d x = 2 1 ⋅ 2 1 [ ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x , y ) d y + ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f ( y , x ) d x ] = 4 1 ∬ D f ( x , y ) d σ （批注：“狗=猫=1 2 \frac{1}{2} 2 1
C、D 选项（令 t = 2 n t=2n t = 2 n ：
C, D 选项中，f ( ) f(\ ) f ( ) i 2 n , j 2 n \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} 2 n i , 2 n j ∴ \therefore ∴ t = 2 n t=2n t = 2 n
C 选项 ：
C = 2 lim t → + ∞ ∑ i = 1 t ∑ j = 1 t + 1 − i f ( i t , j t ) ⋅ 4 t 2 = 8 ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x f ( x , y ) d y ( 下三角区域, 无法构造出正方形积分区域 ) C = 2 \lim_{t \to +\infty} \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^{t+1-i} f\left(\frac{i}{t}, \frac{j}{t}\right) \cdot \frac{4}{t^2} = 8 \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^{1-x} f(x, y)\,\mathrm{d}y \quad (\text{下三角区域,\quad 无法构造出正方形积分区域}) C = 2 t → + ∞ lim i = 1 ∑ t j = 1 ∑ t + 1 − i f ( t i , t j ) ⋅ t 2 4 = 8 ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x f ( x , y ) d y ( 下三角区域 , 无法构造出正方形积分区域 ) D 选项 ：
D = 1 2 lim t → + ∞ ∑ i = 1 t ∑ j = 1 i f ( i t , j t ) ⋅ 4 t 2 = 2 ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y + ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( y , x ) d x = ∬ D f ( x , y ) d σ . \begin{aligned}
D &= \frac{1}{2} \lim_{t \to +\infty} \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^i f\left(\frac{i}{t}, \frac{j}{t}\right) \cdot \frac{4}{t^2} = 2 \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x f(x, y)\,\mathrm{d}y \\
&= \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x f(x, y)\,\mathrm{d}y + \int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^y f(y, x)\,\mathrm{d}x \\
&= \iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}\sigma.
\end{aligned} D = 2 1 t → + ∞ lim i = 1 ∑ t j = 1 ∑ i f ( t i , t j ) ⋅ t 2 4 = 2 ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y + ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( y , x ) d x = ∬ D f ( x , y ) d σ . D 正确 。
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