🏠 总目录 · 📚 第一章知识点索引

题型二：控制系统性质分类与判定题答题规范与典例汇总

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一、 阅卷核心踩分点与规范要求

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二、 核心性质判定标准答题框架（万能模板）

板块 1：【线性 vs 非线性】大题标准证明模板（叠加原理验证法）

💡 进阶技巧：双端微积分算子方程判定法（如例题 7）

当系统由高阶微分方程描述，输入输出两端均含有导数项 $L[y(t)] = M[r(t)]$ 时：

• 分别验证左端输出线性微分算子 $L[a y_1 + b y_2] = a L[y_1] + b L[y_2]$；
• 分别验证右端输入微分算子 $M[a r_1 + b r_2] = a M[r_1] + b M[r_2]$；
• 两端算子均满足叠加性，方程构成的映射必满足叠加原理，该系统为线性系统。

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板块 2：【定常 vs 时变】大题标准证明模板（双路径验证法）

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三、 秒杀判断法则与核心分类矩阵

1. 概念辨析与秒杀特征速查表

分类性质	物理本质	满足条件	典型结构与秒杀特征	破坏该性质的高频陷阱（反例）
线性系统	质的独立性与因果线性放大	满足叠加原理 （齐次性 + 叠加性）	变量及各阶导数全为严格一次方，无自变量相乘项，无孤立常数项。	① 高次幂项（$r^2, c^3$）； ② 交叉乘积项（$r\dot{r}, c\dot{c}, rc$）； ③ 超越函数项（$\sin r, \cos c, e^c$）； ④ 孤立常数项（$c = r + 5$）。
非线性系统	状态耦合，输出含有新频率	不满足叠加原理	含死区、饱和、继电、间隙、平方、绝对值、乘积项等。	注意：弱非线性可在平衡点附近小偏差线性化，但本质仍为非线性。
定常系统 (时不变)	规律不随时间改变，时钟平移对称性	满足时移不变性 $S[r(t-\tau)] = y(t-\tau)$	微分方程中所有系数均为常数，时间自变量为标准形式 $t$。	① 系数显含时间变量 $t$（如 $t\dot{r}, \cos(\omega t)$）； ② 时间轴尺度伸缩/反褶（如 $r(2t), r(-t)$）； ③ 按绝对物理时间分段。
时变系统 (非定常)	系统内部参数随时间老化、消耗或受调	输出与施加激励的绝对时刻有关	参数含时变因子、时间缩放调制。	典型工程背景：火箭发射（质量 $m(t)$ 随燃料消耗减小）、雷达时变信道。

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2. 2×2 组合分类矩阵（四大类控制系统）

任何一个控制系统在数学性质上必然落入以下 4 个象限之一：

quadrantChart
    title 控制系统 2×2 性质分类象限图
    x-axis "时变 (Time-Varying)" --> "定常 (Time-Invariant)"
    y-axis "非线性 (Nonlinear)" --> "线性 (Linear)"
    quadrant-1 "线性定常系统 (LTI)<br>经典控制理论核心重点"
    quadrant-2 "线性时变系统 (LTV)<br>变量线性，系数显含 t"
    quadrant-3 "非线性时变系统<br>含非线性且参数随时间变化"
    quadrant-4 "非线性定常系统<br>含非线性但参数为恒值"

系统类别	变量与方程特征	判别要点	原笔记典型例题与数学模型
① 线性定常系统 (LTI)	变量一次方，系数全为常数	满足叠加原理，且满足时移不变性	• $\ddot{c}(t) + 2\dot{c}(t) + 3c(t) = 5r(t)$ • $y(t) = r(t) + 2\dot{r}(t) + 3\ddot{r}(t)$（强化例1） • $y(t) = \int_{-\infty}^t r(\tau)\mathrm{d}\tau$（强化补充例1）
② 线性时变系统 (LTV)	变量一次方，但系数显含时间 $t$	满足叠加原理，但不满足时移不变性	• $c(t) = \cos(\omega t) \cdot r(t) + \dot{r}(t)$（基础例3） • $\ddot{y}(t) + e^{-t}\dot{y}(t) = t\dot{r}(t) + r(t)$（基础例7） • $y(t) = t \cdot r(t)$（强化例6）
③ 非线性定常系统	含高次幂/非线性函数，但系数为常数	不满足叠加原理，但满足时移不变性	• $y(t) = \cos[r(t)]$（基础例4、强化例2） • $y(t) = 4r^2(t) + 3r(t)$（强化例5） • $c(t) = r(t) + 5$（基础例2、强化例4）
④ 非线性时变系统	既含非线性项，系数又含 $t$ 或时间伸缩	叠加原理与时移不变性均不满足	• $c(t) = r^2(t) + t\ddot{r}(t)$（基础例1） • $\dot{c}(t) + t\cdot c^2(t) = r(t)$ • $y(t) = r^2(2t)$

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3. 控制系统的其他多维度分类全景

除数学性质外，考研常考的分类维度如下表：

分类维度	类型划分	核心特征与定义	典例/应用场景
时间信号特性	连续系统	系统中各处信号均为时间上连续的模拟量。	经典模拟运放电路、模拟电机控制
	离散系统	某处或多处信号为采样脉冲序列或数字编码。	计算机控制系统、含采样开关与ZOH的系统
输入变化规律	恒值控制系统	给定输入值固定恒定，任务是抗扰稳态恒定。	电炉温控、锅炉水位、发电机稳压
	随动控制系统	给定输入随时间任意未知变化，任务是精确跟踪。	导弹跟踪雷达、火炮伺服、机械臂位置随动
	程序控制系统	给定值按预定已知的时间规律变化。	零件数控机床加工、热处理退火程控
变量通道数目	单输入单输出 (SISO)	只有一个输入量与一个输出量（经典自控主要对象）。	单回路温度调节、单轴电机调速
	多输入多输出 (MIMO)	存在多个输入量与多个输出量（现代控制主要对象）。	飞行器六自由度姿态控制
系统控制方式	开环控制	控制装置与被控对象间只有顺向作用，无反馈通路。	步进电机开环定位、普通电风扇档位
	闭环控制	存在输出到输入的负反馈测量回路，按偏差调节。	绝大多数工业闭环自动控制系统
	复合控制	闭环反馈主回路 ＋ 扰动前馈顺馈（或输入前馈）。	热交换器（温度反馈+流量前馈）、水槽液位复合
稳态误差能力	无静差系统	前向通道含有积分环节，平衡时输入偏差 $\Delta u = 0$。	含伺服电机（$\theta = \int \omega\mathrm{d}t$）的调压系统
	有静差系统	前向通道为纯比例环节，维持控制量必须依赖非零偏差。	纯比例放大的晶闸管发电机调压系统

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四、 原笔记经典例题分类全解与速查

1. 线性度判定经典题集（基础篇例 1 ~ 例 8）

题号	系统方程 / 数学模型	线性性质	判定核心依据与证明要点	笔记直达入口
例 1	$c(t) = r^2(t) + t \ddot{r}(t)$	非线性	平方项展开出现交叉项 $2ab r_1 r_2 \ne 0$，破坏叠加原理。	📄 基础 1.5.2 例1
例 2	$c(t) = r(t) + 5$	非线性	常数项在叠加后变成 $5(a+b) \ne 5$，属于仿射变换，非严格线性。	📄 基础 1.5.2 例2
例 3	$c(t) = \cos(\omega t) \cdot r(t) + \dot{r}(t)$	线性	变量 $r$ 及导数全为一次方，满足齐次性与可加性（注：属时变系统）。	📄 基础 1.5.2 例3
例 4	$c(t) = \cos[r(t)] + \dot{r}(t)$	非线性	输入 $r(t)$ 处于超越函数三角函数内部，$\cos(ar_1+br_2) \ne a\cos r_1 + b\cos r_2$。	📄 基础 1.5.2 例4
例 5	$c(t) = 3r(t) + 6\dot{r}(t) + 5\int_{-\infty}^t r(\tau)\mathrm{d}\tau$	线性	比例、微分、积分全为线性算子，和算子亦满足线性叠加。	📄 基础 1.5.2 例5
例 6	$y = \ddot{r} + e^{-at}\ddot{r} + r\dot{r}$	非线性	出现信号与导数的乘积项 $r(t)\dot{r}(t)$，交叉项相乘破坏叠加原理。	📄 基础 1.5.2 例6
例 7	$\ddot{y} + e^{-t}\dot{y} = t\dot{r} + r$	线性	双端微分算子验证法：左端 $L[y]$ 与右端 $M[r]$ 各自满足叠加原理。	📄 基础 1.5.2 例7
例 8	$c(t) = \begin{cases} 0, & 0 \le t < 6 \\ r(t), & t \ge 6 \end{cases}$	线性	在全部定义域上均满足 $c(a r_1 + b r_2) = a c_1 + b c_2$（注：属时变系统）。	📄 基础 1.5.2 例8

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2. 定常/时变性判定经典题集（强化篇例 1 ~ 例 7 及补充例）

题号	系统方程 / 数学模型	定常性质	判定核心依据与双路径对比	笔记直达入口
例 1	$y(t) = r(t) + 2\dot{r}(t) + 3\ddot{r}(t)$	定常	系数全为常数，$y_1(t) = y(t-\tau) = y_2(t)$，导数链式法则保持时移不变。	📄 强化 1.7 例1
例 2	$y(t) = \cos[r(t)]$	定常	$y_1(t) = \cos[r(t-\tau)] = y_2(t)$。虽是非线性系统，但为定常系统。	📄 强化 1.7 例2
例 3	$y(t) = r(t)\cdot \cos\omega t$	时变	路径1：$r(t-\tau)\cos\omega t$；路径2：$r(t-\tau)\cos[\omega(t-\tau)]$。两者不相等。	📄 强化 1.7 例3
例 4	$y(t) = r(t) + 7$	定常	$y_1(t) = r(t-\tau) + 7 = y_2(t)$。非线性定常系统。	📄 强化 1.7 例4
例 5	$y(t) = 4r^2(t) + 3r(t)$	定常	$y_1(t) = 4r^2(t-\tau) + 3r(t-\tau) = y_2(t)$。非线性定常系统。	📄 强化 1.7 例5
例 6	$y(t) = t \cdot r(t)$	时变	路径1输出 $t\cdot r(t-\tau)$；路径2输出 $(t-\tau)\cdot r(t-\tau)$。因 $t \ne t-\tau$ 故时变。	📄 强化 1.7 例6
例 7	$y(t) = r(2t)$	时变	超高频易错题：路径1得 $r(2t-\tau)$；路径2得 $r(2(t-\tau)) = r(2t-2\tau)$。时间压缩致时变！	📄 强化 1.7 例7
补充 1	$y(t) = \int_{-\infty}^t r(\lambda)\mathrm{d}\lambda$	定常	变量替换 $u = \lambda - \tau$，积分限上限变换同步，$y_1(t) = y_2(t)$。积分器为定常系统。	📄 强化 1.7 补充例1
补充 2	$y(t) = \begin{cases} r(t), & t \le 1 \\ r(t)+\dot{r}(t), & t > 1 \end{cases}$	时变	切换界限依赖于绝对时间 $t=1$，延迟后切换点错位（$1$ vs $1+\tau$），为时变系统。	📄 强化 1.7 补充例2

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五、 考场高频命题陷阱与自检清单

答题自检速查清单

• 是否明确设出两个独立输入 $r_1(t), r_2(t)$ 与常数系数 $a, b$？
• 是否明确区分了“先组合再过系统”与“先过系统再组合”的算式？
• 对于定常判定，是否清晰列出“路径 1：$y_1(t) = S[r(t-\tau)]$”与“路径 2：$y_2(t) = y(t-\tau)$”？
• 若出现不相等，是否明确指出反例（如“取 $\tau \ne 0$ 时”，“因常数项 $5(a+b) \ne 5$”等）？
• 最终结论是否涵盖了题目要求的全部性质（线性/非线性、定常/时变、连续/离散）？