6.9 考研考过的特殊形式的二重积分

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6.9.1 取整函数 + 二重积分

例 6.41（2005 年数一真题）

💡 【思考与设问】例 6.41 (2005 年全国统考数学一试题 5 / 思维课例 1.126)

设闭区域 $D = \{(x,y) \mid x^2+y^2 \le \sqrt{2},\; x \ge 0,\; y \ge 0\}$ ， $[u]$ 表示不超过实数 $u$ 的最大整数。计算二重积分：
$I = \iint_D xy [1+x^2+y^2]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

积分区域 $D$ 为第一象限内的圆扇形域。在区域 $D$ 上， $0 \le x^2+y^2 \le \sqrt{2} \approx 1.414$ ：

当 $0 \le x^2+y^2 < 1$ 时： $1 \le 1+x^2+y^2 < 2 \implies [1+x^2+y^2] = 1$ ；
当 $1 \le x^2+y^2 \le \sqrt{2}$ 时： $2 \le 1+x^2+y^2 \le 1+\sqrt{2} < 3 \implies [1+x^2+y^2] = 2$ 。

临界分界线为圆弧 $x^2+y^2 = 1$ 。据此将 $D$ 分割为两个子区域：

$D_1 = \{(x,y) \mid 0 \le x^2+y^2 < 1,\; x \ge 0,\; y \ge 0\}$ （小圆扇形）；
$D_2 = \{(x,y) \mid 1 \le x^2+y^2 \le \sqrt{2},\; x \ge 0,\; y \ge 0\}$ （圆环扇形）。

注意在极坐标下：圆方程 $x^2+y^2 = \sqrt{2}$ 的极半径上限为 $r = (\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}}$ 。

\begin{aligned} I &= \iint_{D_1} xy \cdot 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_{D_2} xy \cdot 2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[2mm] &\xlongequal{\text{极坐标}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_0^1 (r\cos\theta)(r\sin\theta) \cdot r\,\mathrm{d}r + 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_1^{2^{\frac{1}{4}}} (r\cos\theta)(r\sin\theta) \cdot r\,\mathrm{d}r \\[2mm] &= \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\right) \cdot \left[ \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r + 2\int_1^{2^{\frac{1}{4}}} r^3\,\mathrm{d}r \right] \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \left. \frac{r^4}{4} \right|_0^1 + 2 \left. \frac{r^4}{4} \right|_1^{2^{\frac{1}{4}}} \right] \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{(2^{\frac{1}{4}})^4 - 1}{4} \right] \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{2 - 1}{4} \right] = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right] = \frac{3}{8}. \end{aligned}

在极坐标下，区域 $D$ 是标准的矩形参数域： $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\; 0 \le r \le 2^{\frac{1}{4}}$ 。被积函数可分离为 $\theta$ 与 $r$ 的乘积：

\begin{aligned} I &= \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta \right) \left( \int_0^{2^{\frac{1}{4}}} r^3 [1+r^2]\,\mathrm{d}r \right) \\[2mm] &= \frac{1}{2} \left( \int_0^1 r^3 \cdot 1\,\mathrm{d}r + \int_1^{2^{\frac{1}{4}}} r^3 \cdot 2\,\mathrm{d}r \right) \\[2mm] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{2 - 1}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{8}. \end{aligned}

6.9.2 $\max$ 函数 + 二重积分

例 6.42（2008 年数二/数三真题）

💡 【思考与设问】例 6.42 (2008 年全国统考数学二/数学三试题 6)

计算二重积分：
$I = \iint_D \max\{xy, 1\}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
其中区域 $D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 2,\; 0 \le y \le 2\}$ 。

积分区域 $D$ 为以 $(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)$ 为顶点的正方形区域，总面积 $S_D = 2 \times 2 = 4$ 。

划分区域：作出双曲线分界线 $xy = 1$ （即 $y = \frac{1}{x}$ ），它与正方形边界交于点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 和 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 。
- 在曲线右上侧 $D_1$ 上： $xy \ge 1 \implies \max\{xy, 1\} = xy$ ；
- 在曲线左下侧 $D_2$ 上： $xy < 1 \implies \max\{xy, 1\} = 1$ 。
从而：
$I = \iint_{D_1} xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_{D_2} 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D_1} xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + S(D_2).$
计算 $D_1$ 上的二重积分（ $X$ 型区域）：区域 $D_1$ 描述为： $\frac{1}{2} \le x \le 2,\; \frac{1}{x} \le y \le 2$ 。
$\begin{aligned} \iint_{D_1} xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \int_{\frac{1}{2}}^2 x\,\mathrm{d}x \int_{\frac{1}{x}}^2 y\,\mathrm{d}y = \int_{\frac{1}{2}}^2 x \left[ \left. \frac{y^2}{2} \right|_{\frac{1}{x}}^2 \right] \mathrm{d}x \\[2mm] &= \int_{\frac{1}{2}}^2 x\left(2 - \frac{1}{2x^2}\right)\,\mathrm{d}x = \int_{\frac{1}{2}}^2 \left(2x - \frac{1}{2x}\right)\,\mathrm{d}x \\[2mm] &= \left[ x^2 - \frac{1}{2}\ln x \right]_{\frac{1}{2}}^2 \\[2mm] &= \left(4 - \frac{1}{2}\ln 2\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}\right) \\[2mm] &= \left(4 - \frac{1}{2}\ln 2\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\ln 2\right) = \frac{15}{4} - \ln 2. \end{aligned}$
计算 $D_2$ 上的积分（面积计算）： 方法一（补集面积法，极速推荐）：由于 $D_2 = D \setminus D_1$ ，其面积等于全正方形面积减去 $D_1$ 的面积：
$S(D_1) = \int_{\frac{1}{2}}^2 \left(2 - \frac{1}{x}\right)\,\mathrm{d}x = [2x - \ln x]_{\frac{1}{2}}^2 = (4 - \ln 2) - (1 + \ln 2) = 3 - 2\ln 2$
故：
$\iint_{D_2} 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = S(D_2) = S_D - S(D_1) = 4 - (3 - 2\ln 2) = 1 + 2\ln 2.$
方法二（区域直接细分法）：将 $D_2$ 沿 $y = \frac{1}{2}$ 横向切分为两块：
- $D_2': \frac{1}{2} \le y \le 2,\; 0 \le x \le \frac{1}{y} \implies \iint_{D_2'} 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = [\ln y]_{\frac{1}{2}}^2 = 2\ln 2$ ；
- $D_2'': 0 \le y \le \frac{1}{2},\; 0 \le x \le 2$ （矩形） $\implies \iint_{D_2''} 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ 。
相加同样得 $S(D_2) = 1 + 2\ln 2$ 。
合并两部分结果：
$\begin{aligned} I &= \iint_{D_1} xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_{D_2} 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[2mm] &= \left(\frac{15}{4} - \ln 2\right) + (1 + 2\ln 2) \\[2mm] &= \frac{19}{4} + \ln 2. \end{aligned}$

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ギターと孤独と蒼い惑星

6.9 考研考过的特殊形式的二重积分

6.9 考研考过的特殊形式的二重积分

6.9.1 取整函数 + 二重积分

例 6.41（2005 年数一真题）

6.9.2 $\max$ 函数 + 二重积分

例 6.42（2008 年数二/数三真题）

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6.9 考研考过的特殊形式的二重积分

6.9.1 取整函数 + 二重积分

例 6.41（2005 年数一真题）

6.9.2 max⁡\maxmax 函数 + 二重积分

例 6.42（2008 年数二/数三真题）

6.9.2 $\max$ 函数 + 二重积分