6.1 二重积分的几何意义（了解即可）

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6.1.1 二重积分的几何背景与微元意义

简要说来，第 3 章按照“分割、近似、求和、取极限”的步骤求出了二维平面上“曲边梯形的面积”，现在我们用同样的方法求出“曲顶柱体的体积”，这就是二重积分 $\iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}\sigma$。

具体说来，设 $f(x, y) \ge 0$，如图 12-1 所示，被积函数 $f(x, y)$ 可作为曲顶柱体在点 $(x, y)$ 处柱体微元的竖坐标（高），用底面积 $\mathrm{d}\sigma$ 乘以高 $f(x, y)$，得到一个“小竖条”的体积，再在区域 $D$ 上把所有的“小竖条”累加起来，就得到了整个曲顶柱体的体积。若 $f(x, y) < 0$，柱体就在 $xOy$ 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。不过，无论高 $f(x, y)$ 是正还是负，底面积 $\mathrm{d}\sigma$ 不能是负。

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6.1.2 几何体积法典型例题

💡 【CHOICE】 例题（22 年李林六套卷）

设 $D = \{(x, y) \mid (x-1)^2 + y^2 \le 1\}$，且

$$I_1 = \iint_D \sqrt{2x - x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y, \quad I_2 = \iint_D \left[1 - \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y, \quad I_3 = \iint_D \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

则 $I_1 : I_2 : I_3 =$（ $\quad$ ）

• (A) $2 : 1 : 2$
• (B) $2 : 2 : 1$
• (C) $1 : 2 : 2$
• (D) $2 : 1 : 1$