00-第9章 最优控制-知识点索引与全景导航

---

一、全章知识图谱与逻辑流

flowchart TD
    A["第九章 最优控制理论"] --> B["一、基本提法与变分法"]
    A --> C["二、庞特里亚金极小值原理"]
    A --> D["三、边界与横截条件"]
    A --> E["四、三大经典考研题型"]

    B --> B1["最优控制三要素<br>(状态方程/约束集/性能指标)"]
    B --> B2["性能指标三形式<br>(Lagrange / Mayer / Bolza)"]
    B --> B3["无状态方程变分法<br>(Euler-Lagrange方程)"]

    C --> C1["哈密顿函数构造<br>H = L + λᵀf"]
    C --> C2["正则伴随方程<br>λ̇ = -∂H/∂x, ẋ = ∂H/∂λ"]
    C --> C3["控制极值条件<br>(无约束: ∂H/∂u=0<br>有约束: min H)"]

    D --> D1["初始条件: x(t₀)=x₀"]
    D --> D2["终端状态固定 vs 自由<br>(λ(t_f)=∂φ/∂x 或 0)"]
    D --> D3["终端时刻自由条件<br>[H + ∂φ/∂t]|_{t_f} = 0"]

    E --> E1["题型一: 终端时间自由<br>(积分二次型例4)"]
    E --> E2["题型二: 饱和受限与能量最优<br>(假设试探+后验校验例5)"]
    E --> E3["题型三: 线性指标Bang-Bang控制<br>(开关函数与分段求解例6)"]

---

二、小节笔记目录与导航清单

节号	核心标题	对应讲义核心内容	掌握等级	链接入口
9.1	基础理论：最优控制问题提法与变分法	最优控制数学模型、Bolza/Lagrange/Mayer 性能指标、欧拉方程与横截条件	★★★☆☆	9.1 基础理论：最优控制问题提法与变分法
9.2	核心定理：庞特里亚金极小值原理与横截条件	哈密顿函数 $H$、伴随正则方程、极值条件（约束/无约束）、终端自由时间横截条件	★★★★★	9.2 核心定理：庞特里亚金极小值原理与横截条件
9.3	经典题型：终端时间自由与最小能量控制	讲义例 4（$t_f$ 自由确定）、讲义例 5（二阶最小能量、控制幅值约束、饱和试探法与后验闭环校验）	★★★★★	9.3 经典题型：终端时间自由与最小能量控制
9.4	经典题型：Bang-Bang控制与时间或开关控制	讲义例 6（控制受限线性系统、开关函数 $\sigma(t)$、切换时刻判定、分段轨迹求解、讲义印刷正负号勘误解析）	★★★★★	9.4 经典题型：Bang-Bang控制与时间或开关控制
9.5	总结与模板：最优控制解题五步法与速查表	最优控制解题标准化流水线、全场景横截条件超级速查表、高频易错避坑自查清单	★★★★☆	9.5 总结与模板：最优控制解题五步法与速查表

---

三、高频核心公式速查卡片

1. 哈密顿函数定义：
   H(x, u, λ, t) = L(x, u, t) + λᵀ(t) f(x, u, t)

2. 状态方程与协态正则方程：
   ẋ =  ∂H / ∂λ = f(x, u, t)
   λ̇ = -∂H / ∂x  （注意负号！）

3. 极值条件：
   - 控制无约束：∂H / ∂u = 0
   - 控制有约束 u ∈ U：min_{u ∈ U} H(x*, λ*, u, t) = H(x*, λ*, u*, t)

4. 终端横截条件（若 φ 为终端指标，ψ 为终端等式约束）：
   λ(t_f) = [∂φ / ∂x + (∂ψ / ∂x)ᵀ ν] |_{t_f}
   （特殊情况：终端自由且 φ=0 时，λ(t_f) = 0；终端固定 x(t_f)=x_f 时，由终端状态直接定常数）

5. 终端时刻 t_f 自由横截条件：
   [H(t_f) + ∂φ / ∂t_f + νᵀ (∂ψ / ∂t_f)] = 0
   （若系统不显含时间 t，则沿最优轨线 H(t) ≡ 常数；若指标亦无时间项，则 H(t) ≡ 0）