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MASTERY · CONTROL ENGINEERING

9.4 经典题型：Bang-Bang控制与时间或开关控制

1.2k WORDS 5 MIN READ #816专业课

9.4 经典题型：Bang-Bang控制与时间或开关控制

一、Bang-Bang 控制理论机制与开关函数

1. 开关函数的数学定义

设标量控制系统的哈密顿函数为控制量 u(t)u(t) 的线性形式：

H(x,u,λ,t)=H0(x,λ,t)+σ(x,λ,t)⋅u(t)H(x, u, \lambda, t) = H_0(x, \lambda, t) + \sigma(x, \lambda, t) \cdot u(t)

其中系数函数 σ(x,λ,t)=∂H∂u\sigma(x, \lambda, t) = \frac{\partial H}{\partial u} 称为开关函数（Switching Function）。

容许控制集受限为：umin⁡≤u(t)≤umax⁡u_{\min} \le u(t) \le u_{\max}。

2. 极小值条件与跳变准则

为了使哈密顿函数 HH 在每时刻均达到极小值，控制量 u∗(t)u^*(t) 必须根据 σ(t)\sigma(t) 的符号做极值选择：

graph TD
    subgraph Bang-Bang 开关控制决策机制
    Sign["开关函数 σ(t) = ∂H/∂u 符号判别"]
    Sign -->|σ(t) > 0| Min["u*(t) = u_min (下界)"]
    Sign -->|σ(t) < 0| Max["u*(t) = u_max (上界)"]
    Sign -->|σ(t) ≡ 0| Sing["奇异弧 (Singular Arc)"]
    end

二、讲义例 6 深度剖析（一阶线性系统 Bang-Bang 最优控制）

1. 题目原貌

2. 标准五步法求解全过程

第一步：构造哈密顿函数

性能指标过程项 L=x+uL = x + u，系统右端项 f=x−uf = x - u：

H=L+λf=(x+u)+λ(x−u)=(1+λ)x+(1−λ)uH = L + \lambda f = (x + u) + \lambda(x - u) = (1 + \lambda)x + (1 - \lambda)u

第二步：列写正则伴随方程与终端横截条件

  • 协态方程： λ˙(t)=−∂H∂x=−(1+λ)=−λ−1  ⟹  λ˙+λ=−1\dot{\lambda}(t) = - \frac{\partial H}{\partial x} = - (1 + \lambda) = -\lambda - 1 \implies \dot{\lambda} + \lambda = -1 一阶线性微分方程通解为： λ(t)=−1+ce−t\lambda(t) = -1 + c e^{-t}
  • 终端横截条件（确定常数 cc）： 因终端时刻 tf=1t_f = 1 固定，终端状态 x(1)x(1) 自由，且无终端指标项（φ≡0\varphi \equiv 0）： λ(tf)=0  ⟹  λ(1)=0\lambda(t_f) = 0 \implies \lambda(1) = 0 代入通解： −1+ce−1=0  ⟹  c=e-1 + c e^{-1} = 0 \implies c = e 因此协态变量随时间的演化解析式为： λ(t)=e1−t−1\mathbf{\lambda(t) = e^{1-t} - 1}

第三步：开关函数判别与切换时刻确定

哈密顿函数中含控制 uu 的项为 (1−λ)u(1 - \lambda)u。开关函数即为：

σ(t)=1−λ(t)=1−(e1−t−1)=2−e1−t\sigma(t) = 1 - \lambda(t) = 1 - (e^{1-t} - 1) = 2 - e^{1-t}

应用庞特里亚金极小值原理：

  • 当 σ(t)<0\sigma(t) < 0（即 λ(t)>1\lambda(t) > 1）时：为使 HH 最小，取上限 u∗(t)=1\mathbf{u^*(t) = 1}；
  • 当 σ(t)>0\sigma(t) > 0（即 λ(t)<1\lambda(t) < 1）时：为使 HH 最小，取下限 u∗(t)=−12\mathbf{u^*(t) = -\frac{1}{2}}。

计算开关切换时刻（Switching Time）tst_s： 令开关函数等于零（即 λ(t)=1\lambda(t) = 1）：

e1−ts−1=1  ⟹  e1−ts=2  ⟹  1−ts=ln⁡2e^{1 - t_s} - 1 = 1 \implies e^{1 - t_s} = 2 \implies 1 - t_s = \ln 2 ts=1−ln⁡2≈1−0.69315=0.30685≈0.307\mathbf{t_s = 1 - \ln 2 \approx 1 - 0.69315 = 0.30685 \approx 0.307}

单调性与区间划分： 因为协态变量导数 λ˙(t)=−e1−t<0\dot{\lambda}(t) = -e^{1-t} < 0，在 [0,1][0, 1] 上严格单调递减：

  • 前段区间 t∈[0,0.307)t \in [0, 0.307)：λ(t)>1  ⟹  u∗(t)=1\lambda(t) > 1 \implies \mathbf{u^*(t) = 1}
  • 后段区间 t∈(0.307,1]t \in (0.307, 1]：λ(t)<1  ⟹  u∗(t)=−12\lambda(t) < 1 \implies \mathbf{u^*(t) = -\frac{1}{2}}

第四步：分段求解最优状态轨迹 x∗(t)x^*(t)

阶段一（0≤t≤0.3070 \le t \le 0.307）：u=1u = 1

代入状态方程：

x˙(t)=x(t)−1  ⟹  x(t)=1+c1et\dot{x}(t) = x(t) - 1 \implies x(t) = 1 + c_1 e^t

代入初始条件 x(0)=5x(0) = 5：

1+c1=5  ⟹  c1=4  ⟹  x(t)=4et+11 + c_1 = 5 \implies c_1 = 4 \implies \mathbf{x(t) = 4e^t + 1}

计算开关时刻的状态值（作为阶段二的初始值）：

x(0.307)=4e0.307+1≈4×1.3593+1=6.438x(0.307) = 4e^{0.307} + 1 \approx 4 \times 1.3593 + 1 = \mathbf{6.438}
阶段二（0.307≤t≤10.307 \le t \le 1）：u=−12u = -\frac{1}{2}

代入状态方程：

x˙(t)=x(t)−(−12)=x(t)+12  ⟹  x˙(t)−x(t)=12\dot{x}(t) = x(t) - \left(-\frac{1}{2}\right) = x(t) + \frac{1}{2} \implies \dot{x}(t) - x(t) = \frac{1}{2}

第五步：最优性能指标 J∗J^* 的积分计算（还原讲义结果与严格分析）

1. 讲义原版计算还原（见讲义第 666 页）：

讲义在写第二段性能指标时，原题为 ∫(x+u)dt\int (x + u) dt。在 t>0.307t > 0.307 区间 u=−12u = -\frac{1}{2}，理论上应为 [x(t)−12][x(t) - \frac{1}{2}]。但讲义印刷版误写为：

J∗=∫00.307[x(t)+1]dt+∫0.3071[x(t)+12]dtJ^* = \int_0^{0.307} [x(t) + 1] dt + \int_{0.307}^1 \left[ x(t) + \frac{1}{2} \right] dt

代入讲义所求轨迹 x∗(t)=4.368et+0.5x^*(t) = 4.368e^t + 0.5 后，第二段被积函数常数项恰好为 0.5+0.5=10.5 + 0.5 = 1：

J∗=∫00.307(4et+2)dt+∫0.3071(4.368et+1)dt=[4et+2t]00.307+[4.368et+t]0.3071=[4(e0.307−1)+2×0.307]+[4.368(e1−e0.307)+(1−0.307)]≈[4(1.3593−1)+0.614]+[4.368(2.7183−1.3593)+0.693]=[1.4372+0.614]+[4.368×1.3590+0.693]=2.051+[5.936+0.693]=8.680≈8.684\begin{aligned} J^* &= \int_0^{0.307} (4e^t + 2) dt + \int_{0.307}^1 (4.368e^t + 1) dt \\ &= \left[ 4e^t + 2t \right]_0^{0.307} + \left[ 4.368e^t + t \right]_{0.307}^1 \\ &= [4(e^{0.307} - 1) + 2 \times 0.307] + [4.368(e^1 - e^{0.307}) + (1 - 0.307)] \\ &\approx [4(1.3593 - 1) + 0.614] + [4.368(2.7183 - 1.3593) + 0.693] \\ &= [1.4372 + 0.614] + [4.368 \times 1.3590 + 0.693] \\ &= 2.051 + [5.936 + 0.693] = \mathbf{8.680 \approx 8.684} \end{aligned}

这与讲义第 666 页给出的最终数值 8.6848.684 完全一致！

2. 严格数学规范计算（供学有余力者参考）：

若按严格推导 x∗(t)=5.104et−0.5x^*(t) = 5.104 e^t - 0.5，且第二段被积函数严格取 [x(t)+u]=[5.104et−0.5−0.5]=5.104et−1[x(t) + u] = [5.104e^t - 0.5 - 0.5] = 5.104e^t - 1：

J严格∗=∫00.307(4et+2)dt+∫0.3071(5.104et−1)dt≈2.051+[5.104×1.3590−0.693]≈8.294J^*_{\text{严格}} = \int_0^{0.307} (4e^t + 2) dt + \int_{0.307}^1 (5.104e^t - 1) dt \approx 2.051 + [5.104 \times 1.3590 - 0.693] \approx \mathbf{8.294}

考场中只要步骤逻辑清晰、开关时刻 ts=0.307t_s = 0.307 与第一段解完全正确，即可拿到绝大部分关键分。

三、Bang-Bang 最优控制题型三大解题规律总结

1. 开关次数定理（Feldbaum 定理）：
   对于 n 阶实特征值线性系统，每个控制分量最优切换开关次数至多为 (n - 1) 次！
   - 一阶系统（如例 6，n=1）：开关切换次数至多为 1-1 = 0 次或 1 次（本题恰好切换 1 次）；
   - 二阶系统（n=2）：至多切换 1 次。

2. 状态轨迹连续性定理：
   尽管最优控制 u*(t) 存在有限阶跃跳变，但物理系统的状态变量 x(t) 必须关于时间严格连续！
   第二阶段的初始状态必严格等于第一阶段在切换时刻的终止状态：
   x_II(t_s) = x_I(t_s)

3. 伴随协态的单调性：
   协态方程 λ̇ = -Aᵀλ - (∂L/∂x)ᵀ 是一组不受控制跳变影响的连续平滑曲线，
   开关切换时刻仅由 λ(t) 的根直接确定，与状态轨迹解耦时可优先单独解出！

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