9.1 基础理论：最优控制问题提法与变分法

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一、最优控制问题的数学提法与核心概念

1. 最优控制问题的本质

2. 数学模型的三大要素

根据上交 816 基础讲义规范，最优控制数学模型由以下三部分构成：

graph TD
    A["最优控制数学模型"] --> B["1. 受控系统状态方程<br>ẋ(t) = f[x(t), u(t), t]"]
    A --> C["2. 边界条件与约束集<br>初态: x(t₀)=x₀<br>终端集: ψ[x(t_f), t_f]=0<br>容许控制: u(t) ∈ Ω"]
    A --> D["3. 性能指标泛函<br>J[u(t)] = 终端指标 + 过程积分指标"]

1. 受控系统动态状态方程：

   $$\dot{x}(t) = f[x(t), u(t), t], \quad x(t_0) = x_0$$
   • $x(t) \in \mathbb{R}^n$：$n$ 维状态向量；
   • $u(t) \in \mathbb{R}^m$：$m$ 维控制向量。

2. 边界条件与容许控制集：

   • 初始条件： $x(t_0) = x_0$（初始时刻与初始状态通常给定）；
   • 终端约束（目标集）： $\psi[x(t_f), t_f] = 0$（终端状态或时刻可能固定，也可能自由）；
   • 容许控制集： $u(t) \in \Omega \subset \mathbb{R}^m$（控制幅值可能受限，例如 $|u(t)| \le 1$）。

3. 性能指标泛函（Performance Index）： 衡量控制品质优劣的数量化指标，常用 Bolza 形式：

   $$J = \varphi[x(t_f), t_f] + \int_{t_0}^{t_f} L[x(t), u(t), t] dt$$
   • $\varphi[x(t_f), t_f]$：末值项（终端指标），反映系统终端状态的精度、终端时间的长短等；
   • $L[x(t), u(t), t]$：过程项（积分阶段指标），反映系统在运行过程中的能量消耗、跟踪误差等。

3. 核心名词辨析

• 最优控制 $u^*(t)$：使性能指标 $J$ 取极值的容许控制函数。
• 最优轨迹（最优轨线）$x^*(t)$：在最优控制 $u^*(t)$ 激励下，系统状态方程所对应的解轨迹。
• 最优指标 $J^*$：沿最优控制与最优轨迹计算出的性能指标极值，$J^* = J[u^*]$。

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二、性能指标的三种等价形式

考研中常见的性能指标有三种形式，它们在数学上可以相互等价转化：

形式名称	数学表达式	物理背景与适用场景
Bolza 形式（复合型）	$J = \varphi[x(t_f), t_f] + \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} L(x, u, t) dt$	最通用形式。既惩罚终端偏差/时间，又惩罚过程能量/误差。
Lagrange 形式（过程型/积分型）	$J = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} L(x, u, t) dt \quad (\varphi \equiv 0)$	常见于最小能量控制（$\int u^2 dt$）或最小时间控制（$\int 1 dt = t_f - t_0$）。
Mayer 形式（末值型）	$J = \varphi[x(t_f), t_f] \quad (L \equiv 0)$	常见于终端精度要求最高的问题（如导弹击中靶心偏差最小）。

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三、经典变分法：无状态方程约束的最优控制

当问题中没有显式的一阶微分状态方程约束，仅要求确定一条光滑曲线 $x(t)$ 使泛函极小化时，使用古典**变分法（Calculus of Variations）**求解。

1. 基本变分问题数学提法

求极值曲线 $x^*(t)$，使得泛函：

$$J[x(t)] = \varphi[x(t_f), t_f] + \int_{t_0}^{t_f} L(x, \dot{x}, t) dt$$

取得极值，其中初始点 $x(t_0) = x_0$ 给定。

2. 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）

根据一阶变分等于零（$\delta J = 0$），沿最优曲线必须满足二阶常微分方程：

3. 欧拉方程的常见化简情形（高频速解）

若被积函数 $L$ 不显含某些变量，欧拉方程可直接一次积分化简：

1. $L$ 不显含状态 $x$（仅含 $\dot{x}$ 和 $t$）： $$\frac{\partial L}{\partial x} = 0 \implies \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 0 \implies \mathbf{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = C \quad (\text{一阶积分常数})}$$
2. $L$ 不显含导数 $\dot{x}$： 方程直接退化为静态极值代数方程： $$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$$

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四、变分法的边界条件与横截条件（Transversality Conditions）

欧拉方程是二阶微分方程，其通解含有两个任意常数 $c_1, c_2$。初态 $x(t_0) = x_0$ 只能确定一个常数，另一个常数必须由终端条件及**横截条件（Transversality Condition）**确定：

graph TD
    A["终端条件分类"] --> B["情形 1: 终端状态固定 x(t_f) = x_f"]
    A --> C["情形 2: 终端状态自由 x(t_f) 任意"]
    A --> D["情形 3: 终端时刻 t_f 自由"]
    A --> E["情形 4: 终端沿曲线 x_f = c(t_f) 移动"]

    B --> B1["边界条件: x(t_f) = x_f 直接定常数"]
    C --> C1["横截条件: [∂L/∂ẋ]|_{t_f} = - [∂φ/∂x]|_{t_f}<br>(若无φ项则 ∂L/∂ẋ|_{t_f} = 0)"]
    D --> D1["横截条件: [L - ẋ(∂L/∂ẋ)]|_{t_f} + ∂φ/∂t_f = 0"]
    E --> E1["横截条件: {L + [ċ - ẋ]ᵀ (∂L/∂ẋ)}|_{t_f} = 0"]

1. 终端状态固定

$$x(t_f) = x_f$$

直接代入终端坐标值求解积分常数。

2. 终端状态自由，终端时刻 $t_f$ 固定

终端偏差 $\delta x(t_f)$ 可以任意变动，根据分部积分边界项为零，得到横截条件：

$$\left. \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right|_{t=t_f} = - \left. \frac{\partial \varphi[x(t_f), t_f]}{\partial x} \right|_{t=t_f}$$

3. 终端沿曲线变动：$x(t_f) = c(t_f)$，且 $t_f$ 自由

讲义第 660 页公式给出：

$$\left\{ L + [\dot{c}(t) - \dot{x}(t)]^T \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right\}_{t=t_f} = 0$$

• 若终端曲线为垂直竖线（即 $t_f$ 固定，$x(t_f)$ 自由），对应情形 2；
• 若终端曲线为水平横线（即 $x(t_f) = x_f$ 固定，$t_f$ 自由，$\dot{c}(t_f) = 0$），则横截条件退化为： $$\left. \left[ L - \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right] \right|_{t=t_f} = 0$$

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五、古典变分法的局限与发展

古典变分法在历史上奠定了最优化理论的基础，但在工程控制实践中存在致命局限：

1. 要求控制量与极值曲线高度光滑可微：变分法依赖一阶导数连续和极小邻域弱变分；
2. 无法处理控制约束：实际物理系统执行机构均存在饱和限制（如电机电压受限 $|u| \le 1$、阀门开度 $0 \le u \le 1$），此时极值点往往落在容许集边界上，导数不为零；
3. 无法直接处理多输入多输出高阶微分方程约束。

为了克服上述局限，苏联数学家庞特里亚金（Pontryagin）在 20 世纪 50 年代提出了极大值/极小值原理（Minimum Principle），将变分法推广到了容许控制集闭集约束情形，成为现代控制理论的基石。这正是下一节探讨的核心内容。