第九章 最优控制（变分法、极小值原理）

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全章思维导图与逻辑全景

flowchart TD
    A["第九章 最优控制理论"] --> B["一、基本提法与变分法"]
    A --> C["二、庞特里亚金极小值原理"]
    A --> D["三、三大经典考研题型精讲"]
    A --> E["四、标准化解题五步法与速查表"]

    B --> B1["最优控制三要素<br>(状态方程/约束集/性能指标)"]
    B --> B2["变分法与Euler方程<br>∂L/∂x - d/dt(∂L/∂ẋ) = 0"]
    B --> B3["变分法横截条件<br>(终端固定/自由/曲线移动)"]

    C --> C1["哈密顿函数构造<br>H = L + λᵀf"]
    C --> C2["正则伴随方程<br>ẋ = ∂H/∂λ, λ̇ = -∂H/∂x"]
    C --> C3["极值条件<br>无约束: ∂H/∂u=0<br>有约束: min H"]
    C --> C4["横截条件与H变化率<br>[H + ∂φ/∂t]|_{t_f} = 0"]

    D --> D1["例 4: 终端时刻自由二次型控制"]
    D --> D2["例 5: 二阶最小能量与饱和试探校验"]
    D --> D3["例 6: 继电型 Bang-Bang 开关控制与勘误"]

    E --> E1["工业化解题五步流水线"]
    E --> E2["全场景横截条件速查表"]
    E --> E3["考场四大避坑自查清单"]

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第一部分：基础理论——最优控制问题提法与变分法

一、最优控制问题的数学提法与三要素

1. 受控系统动态状态方程

$$\dot{x}(t) = f[x(t), u(t), t], \quad x(t_0) = x_0$$

• $x(t) \in \mathbb{R}^n$：$n$ 维状态向量；
• $u(t) \in \mathbb{R}^m$：$m$ 维控制向量。

2. 边界条件与容许控制集

• 初始条件： $x(t_0) = x_0$；
• 终端约束（目标集）： $\psi[x(t_f), t_f] = 0$；
• 容许控制集： $u(t) \in \Omega \subset \mathbb{R}^m$（如电机电压受限 $|u(t)| \le 1$）。

3. 性能指标泛函（Performance Index）

衡量控制品质优劣的指标，最通用形式为 Bolza 形式：

$$J = \varphi[x(t_f), t_f] + \int_{t_0}^{t_f} L[x(t), u(t), t] dt$$

• $\varphi[x(t_f), t_f]$：末值项（终端指标），衡量终端状态精度、终端时间长短等；
• $L[x(t), u(t), t]$：过程项（积分指标），衡量运行过程中的能量消耗、跟踪误差等。

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二、经典变分法：无状态方程约束的最优控制（公式 1）

当问题中没有显式的一阶微分状态方程约束，仅需确定光滑曲线 $x(t)$ 使泛函极小化时，使用古典变分法求解。

1. 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）

泛函极值曲线必须满足二阶微分方程：

2. 欧拉方程常见化简情形（高频速解）

1. $L$ 不显含状态 $x$（仅含 $\dot{x}$ 和 $t$）： $$\frac{\partial L}{\partial x} = 0 \implies \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 0 \implies \mathbf{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = C \quad (\text{一阶常数})}$$
2. $L$ 不显含导数 $\dot{x}$： 方程退化为代数静态极值方程：$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$。

3. 变分法的边界条件与横截条件

欧拉方程的通解含有 2 个任意积分常数，由初始条件 $x(t_0) = x_0$ 和以下终端条件确定：

• 终端状态固定： $x(t_f) = x_f$
• 终端状态自由（终端时刻 $t_f$ 固定）： $\left. \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right|_{t=t_f} = - \left. \frac{\partial \varphi[x(t_f), t_f]}{\partial x} \right|_{t=t_f} \quad (\text{若无末值项 } \varphi \equiv 0 \text{,\quad 则 } \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right|_{t_f} = 0)$
• 终端约束： $\psi[x(t_f), t_f] = 0$
• 终端时刻自由（沿曲线 $x = c(t)$ 变动）： $\left\{ L + [\dot{c}(t) - \dot{x}(t)]^T \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right\}_{t=t_f} = 0$

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第二部分：核心理论——庞特里亚金极小值原理（公式 2）

对于工程中普遍存在的有状态方程约束、**控制量受限（$u \in \Omega$）**的最优控制问题，必须应用庞特里亚金极小值原理。

一、三大核心构件

1. 哈密顿函数（Hamiltonian）定义

引入协态向量（伴随向量 / 动态乘子）：

$$\lambda(t) = \begin{bmatrix} \lambda_1(t) \\ \lambda_2(t) \\ \vdots \\ \lambda_n(t) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$$

2. 正则方程（Canonical Equations）

3. 控制极值条件（Pontryagin 条件）

最优控制 $u^*(t)$ 必须使哈密顿函数 $H$ 在每一时刻均取得绝对极小值：

$$\min_{u \in \Omega} H[x^*(t), u(t), \lambda^*(t), t] = H[x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t]$$

graph LR
    A["极值条件判定"] --> B["无控制约束 u ∈ ℝᵐ: ∂H/∂u = 0"]
    A --> C["有幅值约束 u ∈ Ω: min_{u∈Ω} H"]
    C --> C1["二次型: 抛物线配方 → 饱和平顶 sat 函数"]
    C --> C2["线性型: 提取开关函数 σ(t) → Bang-Bang 继电开关"]

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二、边界条件与横截条件（Transversality Conditions）

待定常数与未知参数（如自由终端时间 $t_f$）由以下条件封闭确定：

1. 初始条件

$$x(t_0) = x_0$$

2. 终端协态横截条件

讲义通用矩阵公式为：

$$\lambda(t_f) = \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right|_{t_f} + \left( \left. \frac{\partial \psi}{\partial x} \right|_{t_f} \right)^T \nu$$

• 若终端状态固定 $x(t_f) = x_f$： 无关于 $\lambda(t_f)$ 的横截条件，常数直接由 $x(t_f) = x_f$ 确定；
• 若终端状态自由且无末值项（$\varphi \equiv 0$）： $\mathbf{\lambda(t_f) = 0}$（高频必背）；
• 若终端状态自由且有末值项 $\varphi(x_f)$： $\mathbf{\lambda(t_f) = \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right|_{t_f}}$。

3. 终端时刻 $t_f$ 自由的横截条件（$H$ 变化率）

$$\left. \left[ H + \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nu^T \frac{\partial \psi}{\partial t} \right] \right|_{t=t_f} = 0$$

• 若末值项不显含时间且无时间惩罚（$\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} = 0$）： $\mathbf{H(t_f) = 0}$
• 若末值项含时间惩罚项（如例 4 中的 $\varphi = t_f^2$）： $\mathbf{H(t_f) + \left. \frac{\partial \varphi}{\partial t_f} \right|_{t_f} = 0} \implies H(t_f) + 2t_f = 0$

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第三部分：三大经典考研题型深度剖析

题型一：终端时刻自由与常值控制（讲义例 4）

1. 题目说明（讲义第 663 页）

设系统状态方程及初始条件为：

$$\dot{x}(t) = u(t), \quad x(0) = 1$$

性能指标为：

$$J = t_f^2 + \int_0^{t_f} u^2(t) dt$$

要求达到目标状态 $x(t_f) = 0$。试求终端时刻 $t_f$ 自由时的最优控制 $u^*(t)$。

2. 标准五步法求解

1. 构造哈密顿函数： $H = L + \lambda f = u^2 + \lambda u$
2. 正则伴随方程： $\dot{\lambda} = - \frac{\partial H}{\partial x} = 0 \implies \lambda(t) = c_1 \quad (\text{常数})$
3. 极值条件定控制律： 控制无约束，令 $\frac{\partial H}{\partial u} = 2u + \lambda = 0$： $u^*(t) = - \frac{1}{2}\lambda(t) = - \frac{1}{2}c_1 \quad (\text{最优控制为常值})$
4. 求解状态方程： $\dot{x} = - \frac{1}{2}c_1 \implies x(t) = - \frac{1}{2}c_1 t + c_2$
   • 代入初值 $x(0) = 1 \implies c_2 = 1$；
   • 代入终态 $x(t_f) = 0 \implies - \frac{1}{2}c_1 t_f + 1 = 0 \implies t_f = \frac{2}{c_1}$（因 $t_f > 0$，必有 $c_1 > 0$）。
5. 横截条件确定自由时间 $t_f$： 因 $t_f$ 自由且 $\varphi(t_f) = t_f^2$： $H(t_f) + \left. \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right|_{t_f} = 0 \implies H(t_f) + 2t_f = 0$ 计算终端哈密顿量： $H(t_f) = \left(-\frac{1}{2}c_1\right)^2 + c_1 \left(-\frac{1}{2}c_1\right) = -\frac{1}{4}c_1^2$ 代入方程： $-\frac{1}{4}c_1^2 + 2\left(\frac{2}{c_1}\right) = 0 \implies -\frac{1}{4}c_1^2 + \frac{4}{c_1} = 0 \implies c_1^3 = 16$ 解得： $c_1 = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2.52$ $t_f = \frac{2}{c_1} \approx 0.794$ $\mathbf{u^*(t) = -\frac{1}{2}c_1 \approx -1.26}$ 性能指标值：$J^* = t_f^2 + \int_0^{t_f} u^2 dt = (0.794)^2 + 1.26^2 \times 0.794 \approx \mathbf{1.89}$。

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题型二：二阶最小能量控制与幅值约束试探法（讲义例 5）

1. 题目说明（讲义第 663~665 页）

给定二阶积分系统：

$$\begin{cases} \dot{x}_1(t) = x_2(t), & x_1(0) = 0 \\ \dot{x}_2(t) = u(t), & x_2(0) = 0 \end{cases}$$

控制约束为 $|u(t)| \le 1$。要求设计最优控制 $u^*(t)$，使系统在 $t = t_f$ 时转移到目标状态 $x_1(t_f) = \frac{1}{4}, \; x_2(t_f) = \frac{1}{4}$，并使性能指标达到极小：

$$J = \int_0^{t_f} u^2(t) dt \to \min$$

其中终端时刻 $t_f$ 自由。

2. 标准推导全过程

1. 构造哈密顿函数： $H = u^2 + \lambda_1 x_2 + \lambda_2 u$
2. 正则伴随方程： $$\begin{cases} \dot{\lambda}_1 = -\frac{\partial H}{\partial x_1} = 0 \implies \lambda_1(t) = c_1 \\ \dot{\lambda}_2 = -\frac{\partial H}{\partial x_2} = -\lambda_1 = -c_1 \implies \lambda_2(t) = -c_1 t + c_2 \end{cases}$$

3. **极小值条件与饱和特性：** 整理得 $H = \left( u + \frac{1}{2}\lambda_2 \right)^2 + \lambda_1 x_2 - \frac{1}{4}\lambda_2^2$。在 $|u| \le 1$ 限制下： $$u^*(t) = \text{sat}\left(-\frac{1}{2}\lambda_2\right) = \begin{cases} -1, & \lambda_2 > 2 \\ -\frac{1}{2}\lambda_2, & |\lambda_2| \le 2 \\ 1, & \lambda_2 < -2 \end{cases}

4. 解题必杀技——线性试探假设法： 最小能量控制通常控制量较小，优先假设全程处于未饱和线性区（$|\lambda_2| \le 2$）： $u^*(t) = -\frac{1}{2}\lambda_2(t) = \frac{1}{2}(c_1 t - c_2)$
5. 状态方程二次积分：
   • $\dot{x}_2 = \frac{1}{2}(c_1 t - c_2) \implies x_2(t) = \frac{1}{4}c_1 t^2 - \frac{1}{2}c_2 t + c_3$。由 $x_2(0)=0 \implies c_3 = 0$。
   • $\dot{x}_1 = x_2 \implies x_1(t) = \frac{1}{12}c_1 t^3 - \frac{1}{4}c_2 t^2 + c_4$。由 $x_1(0)=0 \implies c_4 = 0$。
6. 代入终端状态建立方程： $$\begin{cases} x_1(t_f) = \frac{1}{12}c_1 t_f^3 - \frac{1}{4}c_2 t_f^2 = \frac{1}{4} \implies c_1 t_f^3 - 3c_2 t_f^2 = 3 & \text{-- (式 1)} \\ x_2(t_f) = \frac{1}{4}c_1 t_f^2 - \frac{1}{2}c_2 t_f = \frac{1}{4} \implies c_1 t_f^2 - 2c_2 t_f = 1 & \text{-- (式 2)} \end{cases}$$

7. **终端时间自由横截条件（$H=0$）：** 因系统定常且无末值项，横截条件为 $H(t_f) = 0$： $$H(t_f) = u^2(t_f) + \lambda_1(t_f)x_2(t_f) + \lambda_2(t_f)u(t_f) = 0$$ 代入极值点关系 $\lambda_2(t_f) = -2u^*(t_f)$： $$\frac{1}{4}c_1 - [u^*(t_f)]^2 = 0 \implies \mathbf{c_1 - (c_2 - c_1 t_f)^2 = 0} \quad \text{-- (式 3)}$$ 8. **联立消元求解：** 由式 1 与式 2：$c_2 = \frac{t_f - 3}{t_f^2}, \; c_1 = \frac{3(t_f - 2)}{t_f^3}$。 代入式 3 化简得： $$(t_f - 3)^2 = 0 \implies \mathbf{t_f = 3}$$ 代回得：$c_1 = \frac{3(3 - 2)}{3^3} = \mathbf{\frac{1}{9}}, \quad c_2 = \frac{3 - 3}{3^2} = \mathbf{0}$。 最优控制为： $$\mathbf{u^*(t) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}t - 0\right) = \frac{t}{18}}$$ 9. **后验约束闭环校验（必写得分步）：** - 控制幅值：在 $t \in [0, 3]$ 内，$u^*(t)$ 单调递增，$u^*(0)=0, \; u^*(3)=\frac{3}{18}=\frac{1}{6} \le 1$； - 协态变量：$\lambda_2(t) = -\frac{1}{9}t$，在 $t=3$ 处 $|\lambda_2(3)| = \frac{1}{3} \le 2$。 - 结论：**原未饱和假设完全成立，所得解即为全局最优解**。 --- ### 题型三：继电型 Bang-Bang 最优开关控制（讲义例 6） #### 1. 题目说明（讲义第 665~666 页） 设系统的状态方程为：

\dot{x}(t) = x(t) - u(t), \quad x(0) = 5

控制量受限为：$-\frac{1}{2} \le u(t) \le 1$。 终端时刻固定为 $t_f = 1$，终端状态 $x(1)$ 自由。求最优控制使指标极小：

\min J = \int_0^1 [x(t) + u(t)] dt

#### 2. 标准推导与关键细节 1. **构造哈密顿函数：** $$H = (x + u) + \lambda(x - u) = (1 + \lambda)x + (1 - \lambda)u$$ 2. **正则伴随方程与横截条件：** - $\dot{\lambda} = - \frac{\partial H}{\partial x} = -\lambda - 1 \implies \lambda(t) = -1 + c e^{-t}$； - 终端自由横截条件：$\lambda(t_f) = 0 \implies \lambda(1) = -1 + ce^{-1} = 0 \implies c = e$； - 协态演化解析式为：$\mathbf{\lambda(t) = e^{1-t} - 1}$。 3. **开关函数与切换时刻判定：** 控制项为 $(1 - \lambda)u$。为使 $H$ 达到极小值： - 当 $\lambda(t) > 1$ 时：系数 $(1-\lambda) < 0$，取上限 $\mathbf{u^*(t) = 1}$； - 当 $\lambda(t) < 1$ 时：系数 $(1-\lambda) > 0$，取下限 $\mathbf{u^*(t) = -\frac{1}{2}}$。 令开关函数零点 $\lambda(t_s) = 1$： $$e^{1 - t_s} - 1 = 1 \implies e^{1 - t_s} = 2 \implies \mathbf{t_s = 1 - \ln 2 \approx 0.307}$$ 因 $\lambda(t)$ 单调递减： - $t \in [0, 0.307)$ 时，$\mathbf{u^*(t) = 1}$； - $t \in (0.307, 1]$ 时，$\mathbf{u^*(t) = -\frac{1}{2}}$。 4. **分段求解最优状态轨迹：** - **阶段一（$0 \le t \le 0.307$）：** $u=1 \implies \dot{x} = x - 1 \implies x(t) = 1 + c_1 e^t$。 由 $x(0) = 5 \implies c_1 = 4 \implies \mathbf{x(t) = 4e^t + 1}$。 切换时刻状态值：$x(0.307) = 4e^{0.307} + 1 \approx \mathbf{6.438}$。 - **阶段二（$0.307 \le t \le 1$）：** $u = -\frac{1}{2} \implies \dot{x} = x + \frac{1}{2}$。 > 💡 **【避坑警示】 核心高价值点：讲义印刷手误溯源与双重对比** > > - **讲义印刷版还原（见第 665~666 页）：** 讲义编者在求特解时误将负号漏写，写为 $x = \frac{1}{2} + c_2 e^t$。由 $x(0.307) = 6.438$ 代入得 $c_2 = \frac{6.438 - 0.5}{e^{0.307}} \approx \mathbf{4.368}$，从而给出 $x^*(t) = 4.368e^t + 0.5$。 > - **严格数学推导：** 微分方程 $\dot{x} - x = \frac{1}{2}$ 的常数特解严格为 $-\frac{1}{2}$，通解应为 $x(t) = -\frac{1}{2} + c_2 e^t$。由 $x(0.307)=6.438$ 得 $c_2 = \frac{6.438 + 0.5}{e^{0.307}} \approx \mathbf{5.104}$，严格轨迹应为 $x^*(t) = 5.104e^t - 0.5$。 5. **最优指标积分计算：** 还原讲义印刷版推导（第二段常数项叠加）：

\begin{aligned} J^* &= \int_0^{0.307} (4e^t + 2) dt + \int_{0.307}^1 (4.368e^t + 1) dt \ &= [4(e^{0.307} - 1) + 2 \times 0.307] + [4.368(e - e^{0.307}) + (1 - 0.307)] \ &\approx [1.437 + 0.614] + [5.936 + 0.693] = \mathbf{8.680 \approx 8.684} \end{aligned}

与讲义最终数值 **$8.684$** 完美契合！ --- ## 第四部分：标准化解题五步法与速查表 ### 一、最优控制解题标准化五步流水线 ```markdown Step 1: 【判型并构造哈密顿函数】 H(x, u, λ, t) = L(x, u, t) + λᵀ(t) f(x, u, t) Step 2: 【列写并求解伴随正则方程】 ẋ = ∂H / ∂λ λ̇ = -∂H / ∂x （切记负号！求出含常数的 λ(t) 通解） Step 3: 【应用极小值原理确定控制律 u*(t)】 • 无约束：令 ∂H/∂u = 0 解出 u*(t) • 二次型有界：配方找抛物线顶点，生成平顶饱和 sat 函数 • 线性有界：提取开关函数 σ(t) = ∂H/∂u，根据符号判定 Bang-Bang 开关 Step 4: 【分段求解状态轨迹 x*(t)】 代入 u*(t) 积分求解状态方程，利用初值 x(t₀)=x₀ 定常数； 若为开关控制，依据物理状态连续性传递初始状态值 x_II(t_s) = x_I(t_s)。 Step 5: 【边界与横截条件封闭求解待定常数】 • 终端状态自由：λ(t_f) = ∂φ/∂x（无末值项则为 0） • 终端时刻自由：[H + ∂φ/∂t]|_{t_f} = 0 • 【后验闭环】若采用未饱和试探法，文末必须写出约束满足校验！ ``` --- ### 二、全场景边界与横截条件超级速查表（考场必背） | 终端状态 $x(t_f)$ | 终端时刻 $t_f$ | 协态横截条件 $\lambda(t_f)$ | 时间横截条件（$H$ 变化率） | 待定参数确定方法 | 对应典型考题 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **固定** $x(t_f) = x_f$ | **固定** | **无**关于 $\lambda(t_f)$ 条件 | **无** | 直接由 $x(t_f) = x_f$ 定常数 | 两点边值问题 | | **固定** $x(t_f) = x_f$ | **自由**（含时间项 $\varphi(t_f)$） | **无** | $\mathbf{H(t_f) + \left. \frac{\partial \varphi}{\partial t_f} \right|_{t_f} = 0}$ | $x(t_f)=x_f$ 定常数，横截条件定 $t_f$ | **讲义例 4** | | **固定** $x(t_f) = x_f$ | **自由**（无时间项 $\varphi \equiv 0$） | **无** | $\mathbf{H(t_f) = 0}$（定常系统全程 $H \equiv 0$） | $x(t_f)=x_f$ 定常数，横截条件定 $t_f$ | **讲义例 5** | | **自由**（无终端项 $\varphi \equiv 0$） | **固定** | $\mathbf{\lambda(t_f) = 0}$ | **无** | $\lambda(t_f)=0$ 定协态常数 | **讲义例 6** | | **自由**（有终端项 $\varphi(x_f)$） | **固定** | $\mathbf{\lambda(t_f) = \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right|_{t=t_f}}$ | **无** | 协态横截条件定积分常数 | 终端跟踪问题 | | **自由**（有终端项 $\varphi(x_f, t_f)$） | **自由** | $\mathbf{\lambda(t_f) = \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right|_{t=t_f}}$ | $\mathbf{H(t_f) + \left. \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right|_{t=t_f} = 0}$ | 状态与时间横截条件联立求解 | 综合拦截控制 | --- ### 三、高频命题陷阱与考场避坑四大自查条目 > 💡 **【高频易错】 考场保分四大黄金法则** > > 1. **协态方程必带负号：** $\dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x}$，绝不可写漏负号！ > 2. **控制受限试探法必须后验校验：** 凡在 $|u| \le M$ 条件下假设未饱和（$u = -\frac{1}{2}\lambda$）解题的，答题末尾**必写区间校验**（$|u(t_f)| \le M$），否则阅卷老师必扣 2~3 分！ > 3. **自由终端时间具有物理非负性：** 算出的 $t_f$ 必须为正实数（$t_f > 0$），若出现负数或复数，必是横截条件符号错误。 > 4. **分段开关控制的状态连续性：** 控制量 $u^*(t)$ 可以发生阶跃跳变，但状态变量 $x^*(t)$ 是物理连续量，第二阶段初值严格等于第一阶段终值（$x_{II}(t_s) = x_I(t_s)$）！