9.2 核心定理：庞特里亚金极小值原理与横截条件

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一、庞特里亚金极小值原理（Pontryagin’s Minimum Principle）

对于工程中普遍存在的有状态方程约束、**控制量受限（$u \in \Omega$）**的最优控制问题，庞特里亚金极小值原理是求解的核心通用法则。

flowchart TD
    Problem["最优控制问题<br>ẋ = f(x,u,t)<br>J = φ(x_f, t_f) + ∫ L dt<br>u(t) ∈ Ω"] --> H["1. 构造哈密顿函数<br>H = L + λᵀf"]
    H --> Reg["2. 求解正则方程组<br>ẋ = ∂H/∂λ (状态方程)<br>λ̇ = -∂H/∂x (协态方程)"]
    H --> Min["3. 应用极值条件确定 u*(t)<br>min_{u∈Ω} H(x*, λ*, u, t)"]
    Reg --> BC["4. 结合边界与横截条件<br>初始状态: x(t₀)=x₀<br>终端状态: λ(t_f) 横截条件<br>终端时刻: [H + ∂φ/∂t]|_{t_f}=0"]
    Min --> BC
    BC --> Sol["5. 解出唯一最优控制 u*(t) 与最优轨迹 x*(t)"]

1. 哈密顿函数（Hamiltonian）的构造

引入 $n$ 维协态向量（Costate Vector，又称伴随变量或动态拉格朗日乘子）：

$$\lambda(t) = \begin{bmatrix} \lambda_1(t) \\ \lambda_2(t) \\ \vdots \\ \lambda_n(t) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$$

定义标量函数——哈密顿函数（Hamiltonian）：

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2. 正则状态方程与协态方程（伴随方程）

极值轨线必须满足由哈密顿函数导出的一阶微分方程组：

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3. 控制极值条件（Pontryagin 条件）

庞特里亚金原理的核心精髓在于：最优控制 $u^*(t)$ 必须使哈密顿函数 $H$ 在每一个时刻 $t \in [t_0, t_f]$ 均达到绝对极小值。

$$\min_{u \in \Omega} H[x^*(t), u(t), \lambda^*(t), t] = H[x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t]$$

在解题时，根据控制量是否受限，分为两类标准处理方式：

graph TD
    A["控制极值条件判定"] --> B["情形 A: 控制无约束 u(t) ∈ ℝᵐ"]
    A --> C["情形 B: 控制有容许集约束 u(t) ∈ Ω"]

    B --> B1["必要条件: ∂H/∂u = 0<br>充分条件: ∂²H/∂u² ≥ 0<br>直接解代数方程导出 u*(t) = g(x, λ)"]
    C --> C1["不能直接求导令为0！<br>将 H 视为控制变量 u 的函数"]
    C1 --> C2["二次型约束: 配方法找抛物线顶点<br>受界限限制生成平顶饱和 sat 函数"]
    C1 --> C3["线性指标约束: H = H₀ + σ(t)·u<br>根据开关函数 σ(t) 符号取极值<br>生成 Bang-Bang 继电开关控制"]

1. 无约束情况（Classical Unconstrained Control）： 若容许控制集为全空间 $\mathbb{R}^m$，极小值必在驻点取得，满足：

   $$\frac{\partial H}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial^2 H}{\partial u^2} \ge 0 \quad (\text{Legendre-Clebsch 凸性条件})$$

2. 有界约束情况（Constrained Control）： 若控制幅值受限（如 $|u(t)| \le 1$ 或 $a \le u(t) \le b$），极值往往在边界处取得：

   • 若 $H$ 包含 $u$ 的二次项（如 $\frac{1}{2}u^2 + \lambda u$），通过配方得到顶点，落在边界外则截断饱和（Saturation）；
   • 若 $H$ 关于 $u$ 是一次线性关系（如 $\sigma(t) u$），极小值必在边界端点取得，生成继电型 Bang-Bang 控制。

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二、边界条件与横截条件（Transversality Conditions）全景图谱

正则方程共有 $2n$ 个一阶微分方程，其通解含有 $2n$ 个待定常数。此外若终端时间 $t_f$ 自由，还多出 1 个未知参数 $t_f$。这些未知参数必须由初始条件、终端状态边界以及横截条件完全封闭求解。

设系统性能指标含终端项 $\varphi[x(t_f), t_f]$，终端等式约束集为 $p$ 维流形 $\psi[x(t_f), t_f] = 0$。

1. 初始条件

$$x(t_0) = x_0 \quad (\text{提供 } n \text{ 个已知代数方程})$$

2. 终端协态横截条件（确定 $\lambda(t_f)$）

讲义第 660 页公式给出通用横截条件矩阵形式：

在考研实战中，高频考查以下三种具体场景：

终端状态类型	数学条件与物理含义	协态 $\lambda(t_f)$ 的横截条件处理	待定常数定解方式
类型 1：终端状态固定	$x(t_f) = x_f$（指定固定终点）	无关于 $\lambda(t_f)$ 的横截条件！	积分常数直接由方程 $x(t_f) = x_f$ 求解
类型 2：终端状态自由，无终端项	$x(t_f)$ 任意，且 $\varphi \equiv 0$	$\mathbf{\lambda(t_f) = 0}$（必背极简高频结论）	由 $\lambda(t_f)=0$ 确定积分常数
类型 3：终端状态自由，有终端项	$x(t_f)$ 任意，指标含 $\varphi(x_f)$	$\mathbf{\lambda(t_f) = \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right	_{t=t_f}}$

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3. 终端时刻 $t_f$ 自由的横截条件（$H$ 变化率与定常特性）

若终端时刻 $t_f$ 没有预先给定（自由终端时间），则需额外增加一个确定 $t_f$ 的横截标量方程：

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三、哈密顿函数的时间演化守恒定理（极大简化计算）

在实际求解过程中，计算任意时刻的 $H(t)$ 往往非常复杂，但以下定理为我们提供了极其强大的守恒规律：

核心推论（解题降维打击武器）：

1. 若受控系统与性能指标不显含时间 $t$（即定常自主系统）： $$\frac{\partial H}{\partial t} \equiv 0 \implies \frac{dH}{dt} \equiv 0 \implies \mathbf{H(t) \equiv \text{常数 } C} \quad (\forall t \in [t_0, t_f])$$ 即哈密顿量沿最优轨迹全程恒为常数！
2. 若终端时刻 $t_f$ 自由，且终端指标不显含时间（$H(t_f) = 0$）： 因为全程 $H(t)$ 为常数，且终端点 $H(t_f) = 0$，故： $$\mathbf{H(t) \equiv 0} \quad (\text{在整个时间区间 } [t_0, t_f] \text{ 上恒等于零！})$$ 这个性质在验证解的正确性、或反求参数时具有极高价值！