余子式、代数余子式与伴随矩阵的常用思想

来源：邂逅遗憾 26考研数学思维课

在线性代数中，余子式与代数余子式往往不是孤立出现的。许多题目的本质，是把代数余子式的线性组合看成某个行列式的展开，或者把大量代数余子式的和转化为伴随矩阵的元素之和。掌握这两条主线后，这类题目会变得非常清晰。

设

$$A=(a_{ij})_{n\times n}.$$

删去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列后，剩下的 $(n-1)$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为

$$M_{ij}.$$

对应的代数余子式定义为

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$

这里要特别注意：$M_{ij}$ 与 $A_{ij}$ 只差一个符号因子，但在题目中不能混用。尤其当题目给出 $M_{ij}$ 时，应先根据

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

把它转化为代数余子式，再进行行列式展开。

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一、代数余子式的本质：行列式的展开系数

行列式按第 $i$ 行展开，有

$$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}.$$

按第 $j$ 列展开，有

$$|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}.$$

因此，若题目中出现形如

$$x_1A_{i1}+x_2A_{i2}+\cdots+x_nA_{in},$$

就应立即想到：这是“某个行列式按第 $i$ 行展开”的结果。具体来说，把原矩阵第 $i$ 行替换为

$$(x_1,x_2,\ldots,x_n),$$

其他行保持不变，则新行列式等于

$$x_1A_{i1}+x_2A_{i2}+\cdots+x_nA_{in}.$$

原因是：第 $i$ 行元素改变后，与第 $i$ 行对应的代数余子式 $A_{i1},A_{i2},\ldots,A_{in}$ 并不改变，因为这些余子式在计算时本来就删去了第 $i$ 行。

同理，若出现

$$y_1A_{1j}+y_2A_{2j}+\cdots+y_nA_{nj},$$

则应把原矩阵第 $j$ 列替换为

$$(y_1,y_2,\ldots,y_n)^T,$$

再按第 $j$ 列展开。

这就是处理代数余子式线性组合的基本方法：看清下标，决定替换行还是替换列。

解答题例 1

设

$$D= \begin{vmatrix} 2&1&0&-1\\ -1&2&-5&3\\ 3&0&a&b\\ 1&-3&5&0 \end{vmatrix},$$

其中 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。若

$$D=A_{41}-A_{42}+A_{43}+10,$$

求参数 $a$ 与 $b$ 的关系。

解答

$A_{41}-A_{42}+A_{43}$ 正是按第 4 行展开后，第四行取 $(1,-1,1,0)$ 时的结果。于是

$$A_{41}-A_{42}+A_{43} = \begin{vmatrix} 2&1&0&-1\\ -1&2&-5&3\\ 3&0&a&b\\ 1&-1&1&0 \end{vmatrix}.$$

由题意，

$$D-\left(A_{41}-A_{42}+A_{43}\right)=10.$$

利用行列式对某一行的线性性，有

$$10= \begin{vmatrix} 2&1&0&-1\\ -1&2&-5&3\\ 3&0&a&b\\ 0&-2&4&0 \end{vmatrix}.$$

按第四行展开，或直接做初等行变换后计算，可得

$$\begin{vmatrix} 2&1&0&-1\\ -1&2&-5&3\\ 3&0&a&b\\ 0&-2&4&0 \end{vmatrix} =10(a-3).$$

因此

$$10(a-3)=10,$$

所以

$$a=4.$$

$b$ 不受限制。

本题的关键不是直接计算原行列式，而是先把代数余子式的线性组合“翻译”为替换某一行后的行列式。

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二、见到 $M_{ij}$，先转化为 $A_{ij}$

解答题例 2

设

$$A= \begin{pmatrix} a+1&b&3\\ a&\dfrac b2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix},$$

$M_{ij}$ 表示 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列元素的余子式。若

$$|A|=-\frac12,$$

且

$$-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0,$$

求参数关系。

解答

由于

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$$

所以

$$A_{21}=-M_{21},\qquad A_{22}=M_{22},\qquad A_{23}=-M_{23}.$$

因此条件

$$-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$$

等价于

$$A_{21}+A_{22}+A_{23}=0.$$

这正是第 2 行代数余子式之和。由于第 2 行的代数余子式不受第 2 行元素改变的影响，可将第 2 行替换为

$$(1,1,1),$$

于是

$$0= \begin{vmatrix} a+1&b&3\\ 1&1&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix}.$$

计算该行列式得

$$\begin{vmatrix} a+1&b&3\\ 1&1&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix} =a+1-b.$$

所以

$$a+1-b=0,$$

即

$$b=a+1.$$

将 $a=b-1$ 代入原行列式，有

$$|A|= \begin{vmatrix} b&b&3\\ b-1&\dfrac b2&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix} \;=\; \left(1-\frac b2\right)(2b-3).$$

又因为

$$|A|=-\frac12,$$

所以

$$\left(1-\frac b2\right)(2b-3)=-\frac12.$$

解得

$$b=1 \quad\text{或}\quad b=\frac52.$$

于是

$$a=0 \quad\text{或}\quad a=\frac32.$$

本题的核心在于：题目给的是余子式 $M_{ij}$，但真正适合行列式展开的是代数余子式 $A_{ij}$。因此第一步必须先完成符号转换。

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三、伴随矩阵：代数余子式的整体组织

设 $A=(a_{ij})$，其伴随矩阵记为 $A^*$。注意在常见线性代数教材中，伴随矩阵定义为代数余子式矩阵的转置：

$$A^*= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}.$$

也就是说，$A^*$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $A_{ji}$，而不是 $A_{ij}$。这一点非常容易出错。

伴随矩阵的基本公式为

$$AA^*=A^*A=|A|E.$$

当 $|A|\ne 0$ 时，有

$$A^*=|A|A^{-1}.$$

因此，若题目要求“大量代数余子式之和”，特别是所有代数余子式之和，常常可以转化为伴随矩阵 $A^*$ 中元素之和。

例如，

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}$$

就是 $A^*$ 所有元素之和，因为转置不改变所有元素的总和。

解答题例 3

设

$$A= \begin{pmatrix} 0&0&0&5&6\\ 0&0&0&7&8\\ 1&2&3&0&0\\ 0&1&4&0&0\\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}.$$

求 $A$ 中所有元素的代数余子式之和。

解答

把第 4、5 列移到最前面，记列置换矩阵为 $P$，则

$$AP= \begin{pmatrix} 5&6&0&0&0\\ 7&8&0&0&0\\ 0&0&1&2&3\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix},$$

其中

$$B= \begin{pmatrix} 5&6\\ 7&8 \end{pmatrix}, \qquad C= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$|A|=|AP|=|B||C|=(5\cdot 8-6\cdot 7)\cdot 1=-2.$$

又因为

$$A^*=|A|A^{-1},$$

所以所有代数余子式之和等于 $A^*$ 全部元素之和，也就是

$$|A|\cdot \sum_{i,j}(A^{-1})_{ij}.$$

对 $AP$ 求逆有

$$(AP)^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1}&0\\ 0&C^{-1} \end{pmatrix},$$

而 $A^{-1}=P(AP)^{-1}$ 只是把行重新排列，所有元素之和不变。于是只需计算块对角矩阵逆的元素和。

先求

$$B^{-1}=\frac1{-2} \begin{pmatrix} 8&-6\\ -7&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4&3\\ \dfrac72&-\dfrac52 \end{pmatrix},$$

所以

$$\sum B^{-1}=-4+3+\frac72-\frac52=0.$$

再求

$$C^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-2&5\\ 0&1&-4\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$$

所以

$$\sum C^{-1}=1-2+5+0+1-4+0+0+1=2.$$

因此

$$\sum_{i,j}(A^{-1})_{ij}=0+2=2.$$

从而所有代数余子式之和为

$$\sum_{i=1}^5\sum_{j=1}^5 A_{ij} =|A|\sum_{i,j}(A^{-1})_{ij} =-2\cdot 2=-4.$$

所以答案为

$$\boxed{-4}.$$

这道题说明：当题目要求所有代数余子式之和时，不宜逐个计算，而应把它们整体看成伴随矩阵中的元素。

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四、对角代数余子式之和与特征值

若 $A$ 为三阶可逆矩阵，特征值为

$$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,$$

则 $A^{-1}$ 的特征值为

$$\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\lambda_3^{-1}.$$

因为

$$A^*=|A|A^{-1},$$

而

$$|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3,$$

所以 $A^*$ 的特征值为

$$\lambda_2\lambda_3,\quad \lambda_1\lambda_3,\quad \lambda_1\lambda_2.$$

另一方面，

$$A_{11}+A_{22}+A_{33}=\operatorname{tr}(A^*).$$

因此

$$A_{11}+A_{22}+A_{33} =\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2.$$

例如，若三阶方阵 $A$ 的特征值为

$$-1,\quad 2,\quad 3,$$

则

$$A_{11}+A_{22}+A_{33} =2\cdot 3+(-1)\cdot 3+(-1)\cdot 2=1.$$

这里的关键是：对角代数余子式之和就是伴随矩阵的迹，而矩阵的迹等于其全部特征值之和。

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五、每行元素之和相同：优先考虑加到某一列

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶矩阵，若每行元素之和均为 $k$，那么将所有列加到第 1 列后，第 1 列的每个元素都变成 $k$。于是

$$|A|= \begin{vmatrix} k&*&\cdots&*\\ k&*&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ k&*&\cdots&* \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 1&*&\cdots&*\\ 1&*&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&*&\cdots&* \end{vmatrix}.$$

按第 1 列展开可得

$$|A|=k\,(A_{11}+A_{21}+\cdots+A_{n1}).$$

因此，只要知道 $|A|$，就能得到第一列代数余子式之和。

反过来，如果每列元素之和相同，就将所有行加到某一行，得到相应的“某一行代数余子式之和”。

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六、每列元素之和相同：优先考虑加到某一行

设 $A=(a_{ij})$ 的每列元素之和均为 $k$，则将所有行加到第 1 行后，第 1 行变成 $(k,k,\ldots,k)$。于是

$$|A|= k \begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ *&*&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ *&*&\cdots&* \end{vmatrix} =k\,(A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1n}).$$

因此，只要能把一行或一列“拉成常数列”，就能很快得到该行或该列对应的代数余子式和。

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七、总结

余子式、代数余子式与伴随矩阵题目的核心思想可以概括为两句话。

第一，若出现某一行或某一列代数余子式的线性组合，应把它看成行列式按该行或该列展开的结果。此时最常用的方法是替换相应的行或列。

第二，若出现大量代数余子式之和，尤其是所有代数余子式之和、对角代数余子式之和，通常应转化为伴随矩阵 $A^*$。利用

$$AA^*=A^*A=|A|E$$

以及在 $|A|\ne 0$ 时的公式

$$A^*=|A|A^{-1},$$

可以把问题转化为逆矩阵、特征值或矩阵元素和的问题。

最后还要注意三个易错点：其一，余子式 $M_{ij}$ 不能直接当作代数余子式 $A_{ij}$，必须考虑符号 $(-1)^{i+j}$；其二，伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，即 $A^*=(A_{ji})$；其三，使用 $A^*=|A|A^{-1}$ 的前提是 $|A|\ne 0$。