代数余子式与伴随矩阵中的“条件转化”思想

来源：邂逅遗憾 26考研数学思维课

在三阶矩阵问题中，若题目给出矩阵元素 $a_{ij}$ 与其代数余子式 $A_{ij}$ 之间的关系，例如

$$a_{ij}=A_{ij}$$

或

$$a_{ij}+A_{ij}=0,$$

这类题的关键并不在于直接计算行列式，而在于把“元素与代数余子式的关系”转化为“矩阵与伴随矩阵的关系”。

设

$$A=(a_{ij})_{3\times 3},$$

其中 $A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。伴随矩阵记为

$$A^*=(A_{ji})_{3\times 3}.$$

注意，伴随矩阵不是 $(A_{ij})$，而是代数余子式矩阵的转置。因此

$$(A_{ij})=(A^*)^T.$$

这是本类问题最容易出错的地方。

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一、基本转化

若题设为

$$a_{ij}=A_{ij},$$

则矩阵形式为

$$A=(A_{ij})=(A^*)^T.$$

两边转置，得到

$$A^T=A^*.$$

这就是第一类问题的核心转化。

若题设为

$$a_{ij}+A_{ij}=0,$$

即

$$a_{ij}=-A_{ij},$$

则

$$A=-(A_{ij})=-(A^*)^T.$$

两边转置，得到

$$A^T=-A^*.$$

因此，本节题目的第一步通常是：

$$a_{ij}=A_{ij} \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=A^*,$$ $$a_{ij}+A_{ij}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=-A^*.$$

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二、由伴随矩阵得到行列式关系

对于三阶矩阵，有伴随矩阵的基本性质

$$AA^*=|A|E,$$

并且

$$|A^*|=|A|^{3-1}=|A|^2.$$

因此，若

$$A^T=A^*,$$

则取行列式得

$$|A|=|A^T|=|A^*|=|A|^2.$$

于是

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=1.$$

若

$$A^T=-A^*,$$

则

$$|A|=|A^T|=|-A^*|.$$

因为矩阵是三阶矩阵，所以

$$|-A^*|=(-1)^3|A^*|=-|A^*|.$$

又因为

$$|A^*|=|A|^2,$$

所以

$$|A|=-|A|^2.$$

于是

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=-1.$$

到这里还不能直接下结论，因为通常还需要排除 $|A|=0$ 的可能。这就要用到第二条路：按行或按列展开。

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三、按行展开：把代数余子式换成矩阵元素

行列式按第 $i$ 行展开为

$$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}.$$

如果题设为

$$a_{ij}=A_{ij},$$

那么

$$|A| =a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2.$$

这说明，只要这一行中有一个元素不为零，就有

$$|A|>0.$$

如果题设为

$$a_{ij}+A_{ij}=0,$$

即

$$A_{ij}=-a_{ij},$$

那么

$$|A| =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} =-(a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2).$$

只要这一行中有一个元素不为零，就有

$$|A|<0.$$

这一步的作用是排除 $|A|=0$，从而确定行列式的具体数值。

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例 1：已知 $a_{ij}=A_{ij}$，且 $a_{33}=1$，证明 $A$ 为正交矩阵

解答题

设 $A=(a_{ij})$ 为三阶矩阵，且

$$a_{ij}=A_{ij}.$$

已知 $a_{33}=1$，证明 $A$ 为正交矩阵。

解答

由于

$$(A_{ij})=(A^*)^T,$$

所以

$$A=(A^*)^T.$$

两边转置，得

$$A^T=A^*.$$

于是取行列式：

$$|A|=|A^T|=|A^*|=|A|^2.$$

所以

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=1.$$

下面利用条件 $a_{33}=1$ 排除 $|A|=0$。

由行列式按第三行展开：

$$|A|=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}.$$

又因为

$$a_{ij}=A_{ij},$$

所以

$$|A|=a_{31}^2+a_{32}^2+a_{33}^2.$$

由于

$$a_{33}=1,$$

因此

$$|A|=a_{31}^2+a_{32}^2+1\ge 1.$$

于是 $|A|\neq 0$，结合前面得到的结论，只能有

$$|A|=1.$$

又因为

$$A^T=A^*,$$

所以

$$AA^T=AA^*=|A|E=E.$$

因此

$$AA^T=E.$$

由正交矩阵的定义可知，$A$ 为正交矩阵。

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例 2：已知 $A^*=A^T$，且 $(a_{11},a_{12},a_{13})$ 为三个相等的正数，求 $a_{11}$

解答题

设三阶矩阵 $A$ 满足

$$A^*=A^T,$$

且

$$a_{11}=a_{12}=a_{13},$$

并且这三个数都是正数。求 $a_{11}$。

解答

由题设

$$A^*=A^T.$$

根据伴随矩阵的定义，这等价于

$$a_{ij}=A_{ij}.$$

于是由前面的结论可得

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=1.$$

设

$$a_{11}=a_{12}=a_{13}=x,$$

且题设说明它们为正数，所以

$$x>0.$$

由行列式按第一行展开：

$$|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}.$$

又因为

$$a_{ij}=A_{ij},$$

所以

$$|A|=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2.$$

代入

$$a_{11}=a_{12}=a_{13}=x,$$

得

$$|A|=3x^2.$$

由于 $x>0$，所以

$$|A|=3x^2>0.$$

因此 $|A|\neq 0$，只能有

$$|A|=1.$$

于是

$$3x^2=1,$$

所以

$$x^2=\frac13.$$

因为 $x>0$，故

$$x=\frac{\sqrt3}{3}.$$

因此

$$a_{11}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

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例 3：已知 $a_{ij}+A_{ij}=0$，求 $|A|$

解答题

设 $A=(a_{ij})$ 为三阶非零矩阵，且

$$a_{ij}+A_{ij}=0.$$

求 $|A|$。

解答

由题设

$$a_{ij}+A_{ij}=0,$$

即

$$a_{ij}=-A_{ij}.$$

于是

$$A=-(A_{ij})=-(A^*)^T.$$

两边转置，得

$$A^T=-A^*.$$

取行列式：

$$|A|=|A^T|=|-A^*|.$$

因为 $A$ 是三阶矩阵，所以

$$|-A^*|=(-1)^3|A^*|=-|A^*|.$$

又因为

$$|A^*|=|A|^2,$$

所以

$$|A|=-|A|^2.$$

整理得

$$|A|(|A|+1)=0.$$

因此

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=-1.$$

下面排除 $|A|=0$。

由于 $A$ 是非零矩阵，所以至少存在某一行不全为零。设第 $r$ 行不全为零，则

$$a_{r1},a_{r2},a_{r3}$$

中至少有一个不为零。

由行列式按第 $r$ 行展开：

$$|A|=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+a_{r3}A_{r3}.$$

由题设

$$A_{rj}=-a_{rj},$$

所以

$$|A| =-(a_{r1}^2+a_{r2}^2+a_{r3}^2).$$

由于第 $r$ 行不全为零，所以

$$a_{r1}^2+a_{r2}^2+a_{r3}^2>0.$$

因此

$$|A|<0.$$

于是 $|A|\neq 0$，只能取

$$|A|=-1.$$

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四、解题方法总结

这类题的基本思路可以概括为两步。

第一步，把条件转化为矩阵形式：

$$a_{ij}=A_{ij} \quad \Longrightarrow \quad A^T=A^*,$$ $$a_{ij}+A_{ij}=0 \quad \Longrightarrow \quad A^T=-A^*.$$

第二步，利用伴随矩阵性质求行列式的候选值：

$$|A^*|=|A|^2.$$

对于三阶矩阵，若 $A^T=A^*$，则

$$|A|=|A|^2,$$

所以

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=1.$$

若 $A^T=-A^*$，则

$$|A|=-|A|^2,$$

所以

$$|A|=0 \quad \text{或} \quad |A|=-1.$$

第三步，再用按行或按列展开排除 $|A|=0$。

当

$$a_{ij}=A_{ij}$$

时，有

$$|A|=a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2.$$

当

$$a_{ij}+A_{ij}=0$$

时，有

$$|A|=-(a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2).$$

因此，代数余子式题目中最重要的不是计算，而是看出 $A_{ij}$ 与 $A^*$ 之间的转置关系。只要这一步转化正确，后面的行列式关系和按行展开就会自然成立。