行列式计算的结构化方法：从四阶行列式到 $n$ 阶行列式

来源：邂逅遗憾 26考研数学思维课

行列式的计算是线性代数中的基础内容。二阶、三阶行列式通常可以直接套用公式，而四阶及以上行列式若仍机械展开，计算量会迅速增大。因此，行列式计算的关键不在于盲目展开，而在于先观察结构，再选择方法。

常用的行列式性质有以下几类：

若将某一行的若干倍加到另一行，行列式的值不变；若将某一列的若干倍加到另一列，行列式的值也不变。若交换两行或两列，行列式变号。若行列式中有两行或两列完全相同，则该行列式为零。若行列式为三角形行列式，则其值等于主对角线元素之积。若矩阵可以化为分块三角形式，也可以利用分块行列式的性质进行计算。

因此，计算行列式时应遵循一个基本原则：

$$\boxed{\text{先观察结构，再选择方法；能化零则化零，能降阶则降阶。}}$$

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一、四阶行列式的计算策略

四阶行列式已经不适合直接按定义展开。一般应先观察是否具有特殊结构，例如每行或每列元素之和相同、零元素较多、可以化为分块矩阵，或接近三角形。

1. 每行元素之和相同时的处理方法

若一个行列式中每一行元素之和相同，设公共和为 $k$，则可以把若干列加到某一列上，使该列所有元素都变为 $k$。若 $k\neq 0$，可从该列提取公因子，再通过行变换制造更多零元素。

解答题例 1

计算

$$D= \begin{vmatrix} a&0&-1&1\\ 0&a&1&-1\\ -1&1&a&0\\ 1&-1&0&a \end{vmatrix}.$$

解答

观察每一行元素之和：

$$a+0-1+1=a.$$

其余各行元素之和也均为 $a$。因此作列变换

$$C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4.$$

得

$$D= \begin{vmatrix} a&0&-1&1\\ a&a&1&-1\\ a&1&a&0\\ a&-1&0&a \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1&0&-1&1\\ 1&a&1&-1\\ 1&1&a&0\\ 1&-1&0&a \end{vmatrix}.$$

再作行变换

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-R_1.$$

得到

$$D= a \begin{vmatrix} 1&0&-1&1\\ 0&a&2&-2\\ 0&1&a+1&-1\\ 0&-1&1&a-1 \end{vmatrix}.$$

按第一列展开：

$$D= a \begin{vmatrix} a&2&-2\\ 1&a+1&-1\\ -1&1&a-1 \end{vmatrix}.$$

计算三阶行列式：

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a&2&-2\\ 1&a+1&-1\\ -1&1&a-1 \end{vmatrix} &= a\begin{vmatrix} a+1&-1\\ 1&a-1 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 1&-1\\ -1&a-1 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 1&a+1\\ -1&1 \end{vmatrix}\\ &=a\bigl((a+1)(a-1)+1\bigr) -2\bigl((a-1)-1\bigr) -2\bigl(1+a+1\bigr)\\ &=a^3-4a. \end{aligned}$$

所以

$$D=a(a^3-4a)=a^4-4a^2.$$

因此

$$\boxed{D=a^4-4a^2}.$$

本题的核心是观察到”每行元素之和相同”。通过列变换先制造一列相同元素，再利用行变换制造零元素，最终将四阶行列式降为三阶行列式。

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2. 零元素较多时优先按行或按列展开

若矩阵中零元素较多，应优先寻找含零最多的一行或一列展开。这样可以直接减少计算量。

解答题例 2

计算

$$D= \begin{vmatrix} 0&a&b&0\\ a&0&0&b\\ 0&c&d&0\\ c&0&0&d \end{vmatrix}.$$

解答

该行列式中零元素较多，按第一行展开：

$$D= -a \begin{vmatrix} a&0&b\\ 0&d&0\\ c&0&d \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} a&0&b\\ 0&c&0\\ c&0&d \end{vmatrix}.$$

分别计算：

$$\begin{vmatrix} a&0&b\\ 0&d&0\\ c&0&d \end{vmatrix} = d \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} =d(ad-bc),$$ $$\begin{vmatrix} a&0&b\\ 0&c&0\\ c&0&d \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} =c(ad-bc).$$

所以

$$\begin{aligned} D &=-a\cdot d(ad-bc)+b\cdot c(ad-bc)\\ &=(-ad+bc)(ad-bc)\\ &=-(ad-bc)^2. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{D=-(ad-bc)^2}.$$

本题也可以从分块角度理解。适当交换行列后，可把矩阵化为分块形式。但要注意：交换两行或两列一次，行列式要变号一次。

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3. 既有结构又有零元素时，选择最简方法

有些行列式既有规律，又含有较多零元素。此时不必执着于某一种技巧，应选择计算量最小的方法。

解答题例 3

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&a&0&0\\ 0&1&a&0\\ 0&0&1&a\\ a&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

计算 $|A|$。

解答

该矩阵零元素较多，按第一行展开：

$$|A|= 1\cdot \begin{vmatrix} 1&a&0\\ 0&1&a\\ 0&0&1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} 0&a&0\\ 0&1&a\\ a&0&1 \end{vmatrix}.$$

第一个三阶行列式为上三角行列式：

$$\begin{vmatrix} 1&a&0\\ 0&1&a\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =1.$$

第二个三阶行列式按第一列展开：

$$\begin{vmatrix} 0&a&0\\ 0&1&a\\ a&0&1 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} a&0\\ 1&a \end{vmatrix} =a^3.$$

所以

$$|A|=1-a\cdot a^3=1-a^4.$$

因此

$$\boxed{|A|=1-a^4}.$$

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4. 含参数的近三角行列式

对于含参数的行列式，若矩阵接近三角形，通常可按含零较多的行或列展开。

解答题例 4

计算

$$D(\lambda)= \begin{vmatrix} \lambda&-1&0&0\\ 0&\lambda&-1&0\\ 0&0&\lambda&-1\\ 4&3&2&\lambda+1 \end{vmatrix}.$$

解答

第一列只有两个非零元素，按第一列展开：

$$D(\lambda)= \lambda \begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ 3&2&\lambda+1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} -1&0&0\\ \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1 \end{vmatrix}.$$

第二个三阶行列式为下三角行列式：

$$\begin{vmatrix} -1&0&0\\ \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1 \end{vmatrix} =(-1)^3=-1.$$

所以

$$D(\lambda)= \lambda \begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ 3&2&\lambda+1 \end{vmatrix} +4.$$

继续计算：

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ 3&2&\lambda+1 \end{vmatrix} &= \lambda \begin{vmatrix} \lambda&-1\\ 2&\lambda+1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -1&0\\ \lambda&-1 \end{vmatrix}\\ &= \lambda\bigl(\lambda(\lambda+1)+2\bigr)+3\\ &= \lambda^3+\lambda^2+2\lambda+3. \end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} D(\lambda) &=\lambda(\lambda^3+\lambda^2+2\lambda+3)+4\\ &=\lambda^4+\lambda^3+2\lambda^2+3\lambda+4. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{D(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3+2\lambda^2+3\lambda+4}.$$

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二、含有 $x$ 的四阶行列式

含有 $x$ 的行列式通常不宜直接展开。较好的处理方法是：先通过行变换或列变换尽可能消去多余的 $x$，再根据所求目标进行判断。

如果题目要求某一项的系数，则不一定需要求出整个行列式，只需分析哪些乘积能够产生该次数的项。

1. 求某一项系数时，先集中含 $x$ 的元素

解答题求系数

设

$$f(x)= \begin{vmatrix} x&x&1&2x\\ 1&x&2&-1\\ 2&1&x&1\\ 2&-1&1&x \end{vmatrix}.$$

求 $f(x)$ 中 $x^3$ 项的系数。

解答

先作行变换

$$R_1\leftarrow R_1-R_2.$$

得

$$f(x)= \begin{vmatrix} x-1&0&-1&2x+1\\ 1&x&2&-1\\ 2&1&x&1\\ 2&-1&1&x \end{vmatrix}.$$

再作

$$R_1\leftarrow R_1-2R_4.$$

得

$$f(x)= \begin{vmatrix} x-5&2&-3&1\\ 1&x&2&-1\\ 2&1&x&1\\ 2&-1&1&x \end{vmatrix}.$$

此时，含 $x$ 的元素只出现在主对角线上：

$$x-5,\quad x,\quad x,\quad x.$$

根据行列式展开公式，每一项都要从不同行、不同列中各取一个元素相乘。若想得到 $x^3$ 项，唯一可能来自主对角线乘积

$$(x-5)\cdot x\cdot x\cdot x.$$

因为

$$(x-5)x^3=x^4-5x^3,$$

所以 $x^3$ 项的系数为

$$\boxed{-5}.$$

本题的关键在于：通过行变换把含 $x$ 的元素尽可能集中到主对角线上，再利用行列式展开中”不同行、不同列各取一个元素”的原则判断目标项。

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2. 比较两个含 $x$ 的行列式

解答题比较行列式

设

$$f(x)= \begin{vmatrix} 2x+1&3&2x+1&1\\ 2x&-3&4x&-2\\ 2x+1&2&2x+1&1\\ 2x&-4&4x&-2 \end{vmatrix},$$ $$g(x)= \begin{vmatrix} 2x+1&1&2x+1&3\\ 5x+1&-2&4x&-3\\ 0&1&2x+1&2\\ 2x&-2&4x&-4 \end{vmatrix}.$$

求方程

$$f(x)=g(x)$$

的不同实根个数。

解答

先计算 $f(x)$。作行变换

$$R_3\leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_2.$$

则

$$R_3=(0,-1,0,0),\qquad R_4=(0,-1,0,0).$$

变换后第 3 行与第 4 行相同，所以

$$f(x)=0.$$

再计算 $g(x)$。作行变换

$$R_1\leftarrow R_1-R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-R_4.$$

得

$$g(x)= \begin{vmatrix} 2x+1&0&0&1\\ 3x+1&0&0&1\\ 0&1&2x+1&2\\ 2x&-2&4x&-4 \end{vmatrix}.$$

交换第 2 列与第 4 列。交换一次两列，行列式变号，因此

$$-g(x)= \begin{vmatrix} 2x+1&1&0&0\\ 3x+1&1&0&0\\ 0&2&2x+1&1\\ 2x&-4&4x&-2 \end{vmatrix}.$$

这是分块下三角形式，所以

$$-g(x)= \begin{vmatrix} 2x+1&1\\ 3x+1&1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2x+1&1\\ 4x&-2 \end{vmatrix}.$$

分别计算：

$$\begin{vmatrix} 2x+1&1\\ 3x+1&1 \end{vmatrix} =(2x+1)-(3x+1)=-x,$$ $$\begin{vmatrix} 2x+1&1\\ 4x&-2 \end{vmatrix} =-2(2x+1)-4x=-8x-2.$$

所以

$$-g(x)=(-x)(-8x-2)=x(8x+2),$$

即

$$g(x)=-x(8x+2).$$

由于

$$f(x)=0,$$

方程

$$f(x)=g(x)$$

等价于

$$0=-x(8x+2).$$

即

$$x(8x+2)=0.$$

解得

$$x=0 \quad\text{或}\quad x=-\frac14.$$

因此，不同实根个数为

$$\boxed{2}.$$

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三、$n$ 阶行列式的计算方法

对于 $n$ 阶行列式，直接展开通常不可行。常用方法主要有两类：递推法和化三角法。若行列式具有特殊结构，还应优先识别为已知模型。

1. 递推法计算 $n$ 阶行列式

解答题递推法

设

$$D_n= \begin{vmatrix} 2&0&\cdots&0&2\\ -1&2&\cdots&0&2\\ 0&-1&\cdots&0&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&2 \end{vmatrix}.$$

解答

该行列式的特点是：主对角线元素为 2，次对角线上有 $-1$，最后一列元素均为 2。这种结构适合按第一行展开。

按第一行展开，得

$$D_n= 2D_{n-1} + (-1)^{1+n}\cdot 2 \begin{vmatrix} -1&2&0&\cdots&0\\ 0&-1&2&\cdots&0\\ 0&0&-1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&2\\ 0&0&0&\cdots&-1 \end{vmatrix}.$$

右侧第二个行列式是上三角行列式，其主对角线元素均为 $-1$，所以其值为

$$(-1)^{n-1}.$$

于是

$$D_n=2D_{n-1}+(-1)^{1+n}\cdot 2\cdot (-1)^{n-1}.$$

因为

$$(-1)^{1+n}(-1)^{n-1}=(-1)^{2n}=1,$$

所以

$$D_n=2D_{n-1}+2.$$

又

$$D_1=2,$$

故

$$D_n+2=2(D_{n-1}+2).$$

于是

$$D_n+2=2^{n-1}(D_1+2)=2^{n-1}\cdot 4=2^{n+1}.$$

因此

$$\boxed{D_n=2^{n+1}-2}.$$

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2. 化三角法计算同一类 $n$ 阶行列式

解答题化三角法

仍考虑

$$D_n= \begin{vmatrix} 2&0&\cdots&0&2\\ -1&2&\cdots&0&2\\ 0&-1&\cdots&0&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&2 \end{vmatrix}.$$

解答

依次作行变换

$$R_i\leftarrow R_i+\frac12R_{i-1}, \qquad i=2,3,\ldots,n.$$

该行变换不改变行列式的值。经过上述变换后，主对角线下方的 $-1$ 被逐步消去，行列式化为上三角行列式。

设变换后最后一列第 $i$ 行的元素为 $s_i$，则

$$s_1=2,\qquad s_i=2+\frac12s_{i-1}.$$

由递推可得

$$s_i=4-2^{2-i}.$$

所以最后一个主对角线元素为

$$s_n=4-2^{2-n}.$$

前 $n-1$ 个主对角线元素均为 2，故

$$D_n=2^{n-1}\left(4-2^{2-n}\right) =2^{n+1}-2.$$

因此

$$\boxed{D_n=2^{n+1}-2}.$$

递推法强调建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的关系，化三角法强调通过行列变换将行列式转化为三角形。二者本质上都是在利用行列式的结构。

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3. 三对角行列式与数学归纳法

解答题三对角与归纳法

设

$$D_n= \begin{vmatrix} 2a&1&0&\cdots&0\\ a^2&2a&1&\cdots&0\\ 0&a^2&2a&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&1\\ 0&0&\cdots&a^2&2a \end{vmatrix}.$$

证明

$$D_n=(n+1)a^n.$$

解答

这是典型的三对角行列式。按第一行展开，容易建立递推关系。

当 $n=1$ 时，

$$D_1=2a=(1+1)a.$$

当 $n=2$ 时，

$$D_2= \begin{vmatrix} 2a&1\\ a^2&2a \end{vmatrix} =4a^2-a^2=3a^2.$$

假设当阶数小于 $n$ 时结论成立。按第一行展开，得

$$D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}.$$

由归纳假设，

$$D_{n-1}=na^{n-1}, \qquad D_{n-2}=(n-1)a^{n-2}.$$

代入得

$$\begin{aligned} D_n &=2a\cdot na^{n-1}-a^2\cdot (n-1)a^{n-2}\\ &=2na^n-(n-1)a^n\\ &=(n+1)a^n. \end{aligned}$$

故

$$\boxed{D_n=(n+1)a^n}.$$

由于递推式中同时出现 $D_{n-1}$ 和 $D_{n-2}$，因此这里使用的是第二数学归纳法。

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4. 三对角行列式的化三角解法

解答题三对角化三角

对同一个行列式

$$D_n= \begin{vmatrix} 2a&1&0&\cdots&0\\ a^2&2a&1&\cdots&0\\ 0&a^2&2a&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&1\\ 0&0&\cdots&a^2&2a \end{vmatrix},$$

解答

也可以用化三角法。

依次消去主对角线下方的 $a^2$。消元后主对角线元素依次为

$$2a,\quad \frac32a,\quad \frac43a,\quad \cdots,\quad \frac{n+1}{n}a.$$

于是

$$\begin{aligned} D_n &= 2a\cdot \frac32a\cdot \frac43a\cdots \frac{n+1}{n}a\\ &=(n+1)a^n. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{D_n=(n+1)a^n}.$$

该方法体现了化三角法的本质：不断利用行变换消去非零元素，使行列式转化为三角形行列式。若消元过程中主对角线元素呈现规律，就可以直接写出通项。

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四、范德蒙德行列式及其应用

范德蒙德行列式是一类重要的特殊行列式。其标准形式为

$$V_n= \begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$

其值为

$$\boxed{ V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) }.$$

判断一个行列式是否为范德蒙德行列式，关键是观察是否出现

$$1,\quad x,\quad x^2,\quad \cdots,\quad x^{n-1}$$

这样的连续幂次结构。若每一列或每一行由同一个数的连续幂组成，就应考虑范德蒙德公式。

例如，当 $n=3$ 时，

$$\begin{vmatrix} 1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2 \end{vmatrix} =(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1).$$

若行列式写成转置形式，也可以使用范德蒙德公式。因为

$$|A^T|=|A|.$$

例如，

$$\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{vmatrix}$$

转置后为标准范德蒙德行列式，因此

$$\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{vmatrix} =(c-b)(c-a)(b-a).$$

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范德蒙德行列式的应用：求曲线与 $x$ 轴围成的面积

解答题范德蒙德应用

设

$$f(x)= \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&3&9&27\\ 1&-2&4&-8\\ 1&x&x^2&x^3 \end{vmatrix}.$$

求 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的封闭图形的面积。

解答

首先转置行列式。由于转置不改变行列式的值，

$$f(x)= \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&3&-2&x\\ 1&9&4&x^2\\ 1&27&-8&x^3 \end{vmatrix}.$$

这是以

$$1,\quad 3,\quad -2,\quad x$$

为变量的四阶范德蒙德行列式。因此

$$\begin{aligned} f(x) &=(3-1)(-2-1)(x-1)(-2-3)(x-3)(x+2)\\ &=30(x-1)(x-3)(x+2). \end{aligned}$$

展开得

$$f(x)=30(x^3-2x^2-5x+6).$$

由

$$f(x)=30(x-1)(x-3)(x+2)$$

可知，零点为

$$x=-2,\quad x=1,\quad x=3.$$

分析符号：

当 $x<-2$ 时，$f(x)<0$；

当 $-2<x<1$ 时，$f(x)>0$；

当 $1<x<3$ 时，$f(x)<0$；

当 $x>3$ 时，$f(x)>0$。

因此，封闭图形对应区间为

$$[-2,1]\quad\text{和}\quad [1,3].$$

面积为

$$S=\int_{-2}^{1}f(x)\,dx-\int_{1}^{3}f(x)\,dx.$$

即

$$S= 30\int_{-2}^{1}(x^3-2x^2-5x+6)\,dx -30\int_{1}^{3}(x^3-2x^2-5x+6)\,dx.$$

计算得

$$S=\frac{1265}{2}.$$

所以所求面积为

$$\boxed{\frac{1265}{2}}.$$

本题的关键不是直接展开四阶行列式，而是先识别其转置形式为范德蒙德行列式。这样可以迅速将行列式化为多项式，再利用定积分求面积。

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五、行列式计算方法总结

行列式计算的核心是结构识别。不同结构对应不同方法。

对于四阶行列式，若每行或每列元素之和相同，可通过行列变换制造一列或一行相同元素，再提取公因子并降阶计算。若零元素较多，应优先按含零最多的行或列展开。若经过交换行列后可以形成分块矩阵，则可利用分块行列式，但必须记录交换行列带来的符号变化。若矩阵接近三角形，应优先考虑按含零较多的行列展开或直接化为三角形。

对于含有 $x$ 的行列式，应尽量先利用行变换和列变换消去多余的 $x$。若题目只要求某一项的系数，不必完整展开，只需分析行列式展开中哪些乘积可能产生目标次数。若经过变换后出现两行或两列相同，则行列式立即为零。

对于 $n$ 阶行列式，若阶数降低后结构保持一致，应考虑递推法；若可以通过行列变换化为三角形，应考虑化三角法；若递推式涉及前两项，通常配合第二数学归纳法证明；若出现连续幂次结构，应优先考虑范德蒙德行列式。

总之，行列式计算不能只依赖展开公式。更有效的思路是：

$$\boxed{ \text{观察结构} \longrightarrow \text{选择方法} \longrightarrow \text{化简降阶} \longrightarrow \text{完成计算} .}$$

也可以概括为：

$$\boxed{ \text{能消元则消元，能化零则化零，能递推则递推，能套公式则套公式。} }$$

这正是四阶行列式和 $n$ 阶行列式计算中最重要的思想。