含参矩阵方程的可解性判断

题目

设 $A=\begin{pmatrix}1&a\\1&1\end{pmatrix}$。讨论矩阵方程 $AX=I$ 的可解性，并在可解时求 $X$。

考点

• 方阵可逆条件
• 含参矩阵分类讨论

解法一：标准做法

$|A|=1-a$。当 $a\ne1$ 时 $A$ 可逆，$X=A^{-1}=\dfrac1{1-a}\begin{pmatrix}1&-a\\-1&1\end{pmatrix}$；当 $a=1$ 时 $A$ 不可逆，方程无解。

易错点

写逆矩阵前必须先声明 $a\ne1$。