把 $A(A-A^*)=O$ 看作 $AB=O$，由秩不等式得

又因 $A\ne A^*$，故 $r(A-A^*)\ge1$，从而 $r(A)\le3$。

分类讨论：若 $r(A)=3$，则 $|A|=0$，所以 $A^*A=O$；原式展开为 $A^2-AA^*=O$，即 $A^2=O$。于是

与 $r(A)=3$ 矛盾。若 $r(A)=0$，则 $A=O=A^*$，也与 $A\ne A^*$ 矛盾。因此 $r(A)$ 只能取 $1$ 或 $2$，选 D。

由于 $(1,0,1,0)^T$ 为 $Ax=0$ 的一个基础解系，故该方程组的解空间维数为 $1$，从而

由 $r(A)$ 与 $r(A^*)$ 的关系得 $r(A^*)=1$，于是 $A^*x=0$ 的解集的秩为 $3$，基础解系应包含 $3$ 个线性无关的向量，因此可排除 A、B。

由于 $r(A)=3$，所以 $|A|=0$，且

从而 $A$ 的列向量均为 $A^*x=0$ 的解。

另一方面，由 $(1,0,1,0)^T$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系，有

即 $\alpha_1+\alpha_3=0$，所以 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 线性相关，排除 C。故 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 可作为基础解系，选 D。

由 $A$ 不可逆可知 $|A|=0$，于是

从而 $A$ 的列向量均为 $A^*x=0$ 的解。

又因 $A_{12}\ne0$，说明 $A^*$ 中存在非零元素，故 $r(A^*)\ge1$。因为 $A$ 不可逆，$r(A)\le3$；若 $r(A)<3$，则 $r(A^*)=0$，矛盾。因此

$A^*x=0$ 的基础解系包含 $3$ 个解向量。由 $A_{12}\ne0$ 可知

因此 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，从而构成 $A^*x=0$ 的一个基础解系。故

选 C。

此题只有命题①②是正确的。

先从命题③和④入手判断选项间的逻辑关系：若③成立，则④一定成立；若④成立，则③一定成立。事实上 $r(AB)=n$ 会推出 $r(A)=r(B)=n$，$r(BC)=n$ 会推出 $r(B)=r(C)=n$。因此③和④等价；并且一旦③、④成立，①、②也自然成立。所以，如果命题③或者命题④正确，那么四个命题就全都正确了。但选项告诉我们，正确的命题只有两个。因此命题③和命题④一定均是错误的，排除 B、C、D，选择 A。

也可以举特例：令 $C$ 为零矩阵，$A$ 和 $B$ 为单位矩阵，符合题干要求，并且可以排除命题③和④。因此选 A。

下面严格证明①②。由西尔维斯特不等式，

两式相加得

题设恰好给出等号成立，因此上面两次不等式都只能取等号，即

故①②正确。

西尔维斯特不等式给出

把两式相加，中间的 $r(AB)$ 抵消后得到

而题设说明首尾相等。若原来的任意一个不等式严格成立，相加后的不等式也必严格成立，产生矛盾。因此两个不等式必须同时取等号，结论成立。