单调函数作用下随机变量的分布

题目

设 $X$ 在 $(0,1)$ 上服从均匀分布，求 $Y=X^2$ 的分布函数与概率密度。

解法一：标准做法

当 $0<y<1$ 时，$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(X\le\sqrt y)=\sqrt y$。因此 $f_Y(y)=1/(2\sqrt y)$；区间外密度为零。

易错点

分布函数需要补全 $y\le0$ 与 $y\ge1$ 两段。