6.1 二重积分的几何意义：曲顶柱体体积与面积计算

二重积分 $\iint_D f(x,y)\,d\sigma$ 的几何意义是曲顶柱体的体积（ $V_{\text{正}}-V_{\text{反}}$ ）；令被积函数为 $1$ ，则二重积分在数值上等于区域 $D$ 的面积。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课第六章：二重积分，§6.1 二重积分的几何意义（p.409）。

验算：使用本地 Wolfram MCP 对例题三个积分值进行了符号积分核对，结果与源文件一致。

一、几何意义

在算一个区域 $D$ 的面积时，通法是令被积函数为 $1$ ，算其在区域 $D$ 上的二重积分。但其本质是算了这个曲顶柱体的体积——这个曲顶柱体底面为区域 $D$ ，高度恒为 $1$ ，因此其体积和底面积在数值上来看是相等的。

更一般地：

\iint_D f(x,y)\,d\sigma = V_{\text{正}} - V_{\text{反}}

其中 $V_{\text{正}}$ 为 $xOy$ 平面上方的体积， $V_{\text{反}}$ 为 $xOy$ 平面下方的体积。当 $f(x,y)\geq 0$ 时，二重积分就是曲顶柱体的体积；当 $f(x,y)<0$ 时，积分值为负，其绝对值等于对应的体积。

考研从未考过二重积分几何意义的直接计算题，了解即可，无须在意。

选择题例 6.1（2022 李林六套卷）

设区域 $D=\{(x,y)\mid (x-1)^2+y^2\leq 1\}$ ，记

I_1=\iint_D \sqrt{2x-x^2-y^2}\,dx\,dy,\quad I_2=\iint_D \left(1-\sqrt{x^2+y^2-2x+1}\right)\,dx\,dy,\quad I_3=\iint_D \sqrt{x^2+y^2-2x+1}\,dx\,dy

则 $I_1:I_2:I_3=$

解答

化简被积函数：

\sqrt{2x-x^2-y^2}=\sqrt{1-(x-1)^2-y^2}

\sqrt{x^2+y^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}

计算 $I_1$ （上半球体积）：

$I_1=\iint_D \sqrt{1-(x-1)^2-y^2}\,dx\,dy$ 表示以 $(1,0,0)$ 为球心、半径为 $1$ 的上半球体的体积，故

I_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\frac{2}{3}\pi

计算 $I_2$ （圆柱体积 $-$ 圆锥体积）：

I_2=\iint_D \left[1-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right]\,dx\,dy=\iint_D dx\,dy-\iint_D \sqrt{(x-1)^2+y^2}\,dx\,dy

其中 $\iint_D dx\,dy$ 为圆柱体（底面半径 $1$ 、高 $1$ ）的体积 $=\pi\times 1^2\times 1=\pi$ ；

$\iint_D \sqrt{(x-1)^2+y^2}\,dx\,dy$ 为以圆锥面 $z=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ 为曲顶的曲顶柱体体积 $=\frac{1}{3}\pi\times 1^2\times 1=\frac{\pi}{3}$ 。

故

I_2=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}

计算 $I_3$ （圆锥面下方的曲顶柱体体积）：

$I_3=\iint_D \sqrt{(x-1)^2+y^2}\,dx\,dy$ 表示以圆锥面 $z=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ 为曲顶的曲顶柱体体积。该体积等于圆柱体积减去圆锥体体积：

I_3=\pi\times 1^2\times 1-\frac{1}{3}\pi\times 1^2\times 1=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi

求比值：

I_1:I_2:I_3=\frac{2\pi}{3}:\frac{\pi}{3}:\frac{2\pi}{3}=2:1:2

答案：A。