定积分的几何意义

核心结论

定积分的几何意义：$x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积。

批注：算面积时，被积函数要带绝对值。如 $\sin x$ 与 $x$ 轴在 $[-\pi,0]$ 上围成的面积为 $2$，但

$$\int_{-\pi}^{0}\sin x\,dx=-2,\qquad \int_{-\pi}^{0}|\sin x|\,dx=2.$$

三角函数”拱”形面积为 $2$：

$$\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2,\qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=2.$$

分类讨论

在 $[a,b]$ 上：

① 若 $f(x)\ge 0$：定积分

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

表示由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

② 若 $f(x)\le 0$：定积分

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

表示该曲边梯形面积的负值。

③ 若 $f(x)$ 既有正值又有负值：定积分

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

表示 $x$ 轴上方图形的面积减去 $x$ 轴下方图形的面积。

例 1：圆形面积秒杀

解答题例 1

计算

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx \quad\text{和}\quad \int_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\,dx \qquad (a>0).$$

解答

第一个积分

令 $y=\sqrt{a^2-x^2}$（$y\ge 0$），则

$$x^2+y^2=a^2.$$

这是半径为 $a$ 的圆的上半部分，在区间 $[0,a]$ 上对应四分之一圆的面积，故

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{1}{4}\pi a^2.$$

第二个积分

令 $y=\sqrt{2ax-x^2}$（$y\ge 0$），则

$$y^2=2ax-x^2,$$

整理得

$$(x-a)^2+y^2=a^2.$$

这是圆心为 $(a,0)$、半径为 $a$ 的圆的上半部分，对应半圆面积，故

$$\int_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi a^2.$$

例 2：在二重积分内层使用几何意义

在二重积分中，对 $y$ 积分时，$x$ 视为常数，此时仍可以使用定积分的几何意义。

解答题例 2

计算

$$\int_0^2 x\,dx\int_0^x \sqrt{x^2-y^2}\,dy.$$

解答

对内层积分而言，$x$ 视为常数。由

$$\int_0^a \sqrt{a^2-y^2}\,dy=\frac{1}{4}\pi a^2$$

可得

$$\int_0^x \sqrt{x^2-y^2}\,dy=\frac{1}{4}\pi x^2.$$

因此

$$\begin{aligned} \text{原式} &=\int_0^2 x\cdot \frac{1}{4}\pi x^2\,dx\\[4pt] &=\int_0^2 \frac{\pi}{4}x^3\,dx\\[4pt] &=\left.\frac{\pi}{16}x^4\right|_0^2\\[4pt] &=\pi. \end{aligned}$$

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批注：定积分和变限积分的结果与积分变量的记号无关：

$$\int_0^a f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt=\int_0^a f(y)\,dy,$$ $$\int_x^{x^2} f(t)\,dt=\int_x^{x^2} f(u)\,du=\int_x^{x^2} f(y)\,dy.$$