3.4 分部积分专项：抽象函数、二阶导与二重积分中的分部积分

由 $f''(x)>0$ 知 $f(x)$ 为凸函数，又 $f(0)=f(1)=0$，故 $f(x)\le 0$ 在 $[0,1]$ 上成立。

因此 $|f(x)|=-f(x)$。

对 $\int_0^1 f(x)\,dx$ 进行两次分部积分。第一次：令 $u=f(x)$，$dv=dx$，取 $v=x-\frac{1}{2}$（雨露均沾，使边界项消失）：

边界项：$(1-\frac{1}{2})f(1)-(0-\frac{1}{2})f(0)=0$。

第二次分部积分：令 $u=f'(x)$，$dv=(x-\frac{1}{2})dx$，$v=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2$：

边界项仍为 $0$（因为 $(x-\frac{1}{2})^2$ 在 $x=0,1$ 处值为 $\frac{1}{4}$，但需要结合 $f'$ 的值）。

更精确地，取 $v=\frac{x^2-x}{2}$（满足 $v(0)=v(1)=0$）：

因此

其中 $M=\max|f''(x)|$。证毕。

要求的积分当中出现了导数 $f'(x)$，根据题干可以得到函数信息，条件反射想到分部积分。

题干给的条件是关于函数的，被积函数出现导数（二阶混合偏导数也是导数！），条件反射般想到分部积分！

先对 $x$ 分部积分（把 $f''_{xy}$ 中的 $\frac{\partial}{\partial x}$ 积掉）：

由 $f(1,y)=0$ 对所有 $y$ 成立，对 $y$ 求导得 $f'_y(1,y)=0$。又 $x=0$ 时 $x\cdot f'_y=0$。

所以边界项为 $0$，得

再对 $y$ 分部积分（把 $f'_y$ 中的 $\frac{\partial}{\partial y}$ 积掉）：

对 $y$ 分部积分：

由 $f(x,1)=0$，$y=0$ 时 $y\cdot f=0$，边界项为 $0$。

因此