$g(x)$ 是连接 $(0, f(0))$ 和 $(1, f(1))$ 的弦。

$f''(x) \ge 0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ 为凹函数 $\Rightarrow$ 弦 $\ge$ 曲线，即 $g(x) \ge f(x)$。

小题，优先想到凹凸性！ 凹函数：弦在曲线上方。

答案：D。

$f''(x) > 0$ $\Rightarrow$ 凹函数。弦 $y = 1$（连接 $(-1,1)$ 和 $(1,1)$）在曲线上方。

$\int_{-1}^1 f(x)\,dx < \int_{-1}^1 1\,dx = 2$。

更精确：由凹函数性质，$f(x) \le$ 弦，且 $f(0) = -1$ 远低于弦 $y = 1$。

用排除法：取 $f(x) = 2x^2 - 1$（满足 $f(\pm 1) = 1$，$f(0) = -1$，$f'' = 4 > 0$）。

$\int_{-1}^1 (2x^2 - 1)\,dx = 2\left[\dfrac{2x^3}{3} - x\right]_0^1 = 2\left(\dfrac{2}{3} - 1\right) = -\dfrac{2}{3} < 0$。

答案：B。

$f''(x) > 0$ $\Rightarrow$ 凹函数 $\Rightarrow$ 切线在曲线下方（除切点外），即 $f(x) \ge g(x)$。

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$，$F(x_0) = 0$。

故 $x_0$ 是 $F(x)$ 的唯一全局极小值点。

也可用泰勒：$F(x) = F(x_0) + F'(x_0)(x-x_0) + \dfrac{F''(\xi)}{2}(x-x_0)^2 = \dfrac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2 \ge 0$。

答案：B。

三种方法都要掌握！

方法一（画图）：$f''(x) > 0$ 为凹函数，曲线在中点处低于弦。若 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$（面积为零），凹函数必须在中点处取负值。

方法二（泰勒 + 积分，严格证明）：

在 $x = \dfrac{1}{2}$ 处展开：

两边积分：

若 $f''(x) > 0$，则右端 $< 0$，故 $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$。

方法三（特值排除）：取 $f(x) = x - \dfrac{1}{2}$，$f' = 1 > 0$，$\int_0^1 f\,dx = 0$，$f(\frac{1}{2}) = 0$，排除 A、C。

答案：D。

（I）：分别在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处泰勒展开：

注意：$\xi_1$ 和 $\xi_2$ 不是同一个！

由 $f'(0) = f'(1)$，$(1-x) \times$ 式(1) $+ x \times$ 式(2)：

（II）：对（I）两边积分：

积分的绝对值 $\le$ 绝对值的积分（从面积角度理解）。

必要性（$f''(x) \ge 0$ $\Rightarrow$ 不等式成立）：

在 $x = \dfrac{a+b}{2}$ 处泰勒展开：

两边在 $[a,b]$ 上积分（注意 $\int_a^b (x - \frac{a+b}{2})\,dx = 0$）：

由 $f''(x) \ge 0$，第二项 $\ge 0$，故 $\int_a^b f(x)\,dx \ge f(\frac{a+b}{2})(b-a)$。

充分性（反证法）：

在大题中，想严格推出 $f''(x) \ge 0$，几乎只能用反证法！

假设存在 $x_0$ 使 $f''(x_0) < 0$（注意：$f''(x) \ge 0$ 的否命题不是 $f''(x) < 0$，而是存在一点 $x_0$ 使 $f''(x_0) < 0$）。

由 $f''$ 连续，存在 $\delta > 0$，在 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 内 $f''(x) < 0$。

取 $[a, b] \subset (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，则上述积分中第二项 $< 0$，与已知不等式矛盾。

故 $f''(x) \ge 0$。

注：此题充分性想拿满分难度极大，对大多数同学而言，掌握必要性即可。