2.12 导数的物理应用：相关变化率与链式法则

流水化操作：找到题中所给出的各个变量之间的关系，之后使用链式求导法则即可。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第二章”导数”，资料页 197—198。本文保留资料中的定理、例题、原解与手写批注。

数三不要求。

一、相关变化率

解答题例 2.99（2010 数二真题）

一矩形的长 $l$ 以 $2\,\text{cm/s}$ 的速度增加，宽 $w$ 以 $3\,\text{cm/s}$ 的速度增加。求当 $l = 12\,\text{cm}$ ， $w = 5\,\text{cm}$ 时，对角线长度的增加速度。

解答

设对角线为 $s(t)$ ，则 $s^2(t) = l^2(t) + w^2(t)$ 。

两边对 $t$ 求导：

2s\frac{ds}{dt} = 2l\frac{dl}{dt} + 2w\frac{dw}{dt}

即 $s\dfrac{ds}{dt} = l\dfrac{dl}{dt} + w\dfrac{dw}{dt}$ 。

当 $l = 12$ ， $w = 5$ 时， $s = \sqrt{144 + 25} = 13$ 。

13\frac{ds}{dt} = 12 \times 2 + 5 \times 3 = 24 + 15 = 39

\frac{ds}{dt} = 3\,\text{cm/s}

解答题例 2.100（2016 数二真题）

点 $P$ 在曲线 $y = x^3$ 上运动， $P$ 到原点的距离为 $l$ 。若 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_0$ ，求 $P = (1,1)$ 时 $l$ 对时间的变化率。

解答

$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + x^6}$ 。

\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0

$x = 1$ 时：

\left.\frac{dl}{dt}\right|_{x=1} = \frac{2 + 6}{2\sqrt{1 + 1}} \cdot v_0 = \frac{8}{2\sqrt{2}} v_0 = \frac{4}{\sqrt{2}} v_0 = 2\sqrt{2}\,v_0

选择题例 2.101（2021 数二真题）

有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速度分别为 $2\,\text{cm/s}$ 、 $-3\,\text{cm/s}$ 。当底面半径为 $10\,\text{cm}$ ，高为 $5\,\text{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速度分别为（）

解答

设半径 $r(t)$ ，高 $h(t)$ 。

体积 $V = \pi r^2 h$ ，表面积 $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ 。

由链式法则：

\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial r}\frac{dr}{dt} + \frac{\partial V}{\partial h}\frac{dh}{dt} = 2\pi rh\frac{dr}{dt} + \pi r^2\frac{dh}{dt}

\frac{dS}{dt} = \frac{\partial S}{\partial r}\frac{dr}{dt} + \frac{\partial S}{\partial h}\frac{dh}{dt} = (2\pi h + 4\pi r)\frac{dr}{dt} + 2\pi r\frac{dh}{dt}

代入 $r = 10$ ， $h = 5$ ， $\dfrac{dr}{dt} = 2$ ， $\dfrac{dh}{dt} = -3$ ：

\frac{dV}{dt} = 2\pi \times 10 \times 5 \times 2 + \pi \times 100 \times (-3) = 200\pi - 300\pi = -100\pi\,\text{cm}^3/\text{s}

\frac{dS}{dt} = (2\pi \times 5 + 4\pi \times 10) \times 2 + 2\pi \times 10 \times (-3) = 100\pi - 60\pi = 40\pi\,\text{cm}^2/\text{s}

答案：C。