求 $k$：

求 $b$：

由 $x \to +\infty$ 时 $\arctan x = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{x} + o\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$，故

故 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [e^{\pi}(x - 2) - e^{\pi} x] = -2e^{\pi}$。

斜渐近线为 $y = e^{\pi} x - 2e^{\pi}$。

求 $k$：

求 $b$：$b = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[\dfrac{x^{1+x}}{(1+x)^x} - \dfrac{x}{e}\right]$。

令 $t = \dfrac{1}{x} \to 0^+$，则

故 $b = \dfrac{1}{2e}$。

斜渐近线为 $y = \dfrac{1}{e}x + \dfrac{1}{2e}$。

注：此结论小题直接用，大题就老老实实洛必达。这个结论就是用洛必达证明的。

A 正确：由洛必达法则（$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型），$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{1} = 0$。

洛之后极限存在，可以推原极限存在。

B 错误：反例 $f(x) = \ln x$，$\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{\ln x}{x} \to 0$，但 $f'(x) = \dfrac{1}{x} \to 0$。

再取 $f(x) = \sqrt{x}$，$\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$，$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \to 0$。

实际上 B 的反例：$f(x) = x + \sin x$，$\dfrac{f(x)}{x} = 1 + \dfrac{\sin x}{x} \to 1 \ne 0$，不满足条件。

正确反例：$f(x) = \ln x$，$\dfrac{\ln x}{x} \to 0$，$f'(x) = \dfrac{1}{x} \to 0$，这个反而满足。

取 $f(x) = \sin(x^2)$，$\dfrac{\sin(x^2)}{x} \to 0$（有界/无穷），但 $f'(x) = 2x\cos(x^2)$ 极限不存在。B 错误。

C 错误：$\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在不一定为 $0$。若 $\lim f'(x) = a \ne 0$，则 $f(x) \sim ax \to \infty$，无水平渐近线。

D 错误：$f(x)$ 有水平渐近线（$\lim f(x) = c$），推不出 $\lim f'(x)$ 存在。反例：$f(x) = \dfrac{\sin(x^2)}{x}$，$f(x) \to 0$，但 $f'(x) = 2\cos(x^2) - \dfrac{\sin(x^2)}{x^2}$ 极限不存在。

核心：导数是函数的命根子，只可能导数推函数，函数推不出导数！

答案：A。

当 $t \to -1$ 时，$1 + t^3 \to 0$，$x \to \infty$，$y \to \infty$。

求 $k$：

求 $b$：

斜渐近线为 $y = -x - \dfrac{1}{3}$。

化为参数方程：$x = r\cos\theta = \dfrac{\cos\theta}{3\theta - \pi}$，$y = r\sin\theta = \dfrac{\sin\theta}{3\theta - \pi}$。

当 $\theta \to \dfrac{\pi}{3}$ 时，$3\theta - \pi \to 0$，$x \to \infty$。

求 $k$：

求 $b$：

分子在 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ 处为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 0$，分母为 $0$，用洛必达：

斜渐近线为 $y = \sqrt{3}x + \dfrac{2}{3}$。

答案：D。