设 $P(x, \ln x)$，$x > 0$。

$y' = \dfrac{1}{x}$，$y'' = -\dfrac{1}{x^2}$。

令 $R' = 0$：

$R' = 0$ 时 $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

$x \in \left(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时 $R' < 0$；$x > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $R' > 0$。

故 $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $R$ 取最小值，对应点 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\ln 2}{2}\right)$。

$f_i''(x_0) < 0$ $\Rightarrow$ 邻域内为凸函数 $\Rightarrow$ 切线在曲线上方，即 $g(x) \ge f_i(x)$。

曲率越大，弯曲程度越大 $\Rightarrow$ $f_1(x)$ 弯曲程度更大 $\Rightarrow$ $f_1(x)$ 偏离切线更多。

故 $g(x) \ge f_2(x) \ge f_1(x)$。

答案：A。

条件反射：极限、二阶导 $\Rightarrow$ Taylor！

在 $x = a$ 处泰勒展开：

代入极限：

极限 $= 0$ $\Rightarrow$ 分子是分母的高阶无穷小 $\Rightarrow$ $f(a) = g(a)$，$f'(a) = g'(a)$，$f''(a) = g''(a)$。

充分性：$f(a) = g(a)$，$f'(a) = g'(a)$ $\Rightarrow$ 相切；$f''(a) = g''(a)$ 且 $f'(a) = g'(a)$ $\Rightarrow$ 曲率相等。故充分。

必要性：相切且曲率相等 $\Rightarrow$ $f(a) = g(a)$，$f'(a) = g'(a)$，$|f''(a)| = |g''(a)|$。

注意：曲率公式中有绝对值！曲率相等只能说明 $|f''(a)| = |g''(a)|$，并不能推出 $f''(a) = g''(a)$。

反例：$f(x) = 1 - \sqrt{1-x^2}$，$g(x) = -1 + \sqrt{1-x^2}$（两个半径为 $1$ 的半圆），在 $(0,0)$ 处相切，曲率均为 $1$，但 $f''(0) = -g''(0)$，即 $f''(0) \ne g''(0)$。

此时 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-g(x)}{x^2} = f''(0) \ne 0$。故非必要。

答案：A。

由曲率圆 $x^2 + y^2 = 2$ 在 $(1,1)$ 处：

隐函数求导：$2x + 2yy' = 0$ $\Rightarrow$ $y' = -\dfrac{x}{y}$，$f'(1) = -1$。

再求导：$2 + 2(y')^2 + 2yy'' = 0$ $\Rightarrow$ $y'' = -\dfrac{1+(y')^2}{y} = -\dfrac{2}{1} = -2$。

注意：曲率圆在 $(1,1)$ 处的 $y'' = -2 < 0$，而 $f''(x) > 0$。曲率圆与曲线在切点处有相同的 $y'$ 和 $|y''|$，但 $f''(1) = 2 > 0$（取绝对值后相同）。

由 $f''(x) > 0$，$f'(x)$ 严格单增。$f'(1) = -1$，$x > 1$ 时 $f'(x) > f'(1) = -1$。

但 $f'(x)$ 是否变号？由曲率圆 $R = \sqrt{2}$，$K = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{|f''(1)|}{(1+1)^{3/2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$。✓

$f'(1) = -1 < 0$，$f'(x)$ 单增，但在 $(1,2)$ 内 $f'(x)$ 不一定变号（无法确定是否有极值点）。

实际上由 $f''(x) > 0$ 且 $f'(1) = -1$，$f'(x)$ 单增但不一定在 $(1,2)$ 内过零。

判断零点：$f(1) = 1 > 0$。由 $f'(1) = -1 < 0$，$f(x)$ 在 $x = 1$ 附近递减。

$f(2) - f(1) = f'(\xi)(2-1) = f'(\xi)$，$\xi \in (1,2)$。由 $f'(x)$ 单增且 $f'(1) = -1$，若 $f'(\xi) < 0$ 则 $f(2) < f(1) = 1$。

由曲率圆信息可推得 $f(2) < 0$（利用曲率圆在 $(1,1)$ 附近的下降趋势），故由零点定理存在零点。

答案：B（无极值点，有零点）。

$x'(t) = \dfrac{1}{1+t}$，$y'(t) = 2 + \ln(1+t^2)$。

$t = 0$ 时：$y'|_{t=0} = 1 \cdot 2 = 2$。

$t = 0$ 时：$y''|_{t=0} = \dfrac{2 + 0}{1} = 2$。

曲率：

曲率半径：$R = \dfrac{1}{K} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$。

求圆心：设圆心 $(x_0, y_0)$。

① 圆心在法线上：法线斜率 $= -\dfrac{1}{y'} = -\dfrac{1}{2}$，法线方程 $y = -\dfrac{1}{2}x$。

故 $y_0 = -\dfrac{1}{2}x_0$。

② 距离为 $R$：$x_0^2 + y_0^2 = R^2 = \dfrac{125}{4}$。

$x_0^2 + \dfrac{x_0^2}{4} = \dfrac{125}{4}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{5x_0^2}{4} = \dfrac{125}{4}$ $\Rightarrow$ $x_0^2 = 25$ $\Rightarrow$ $x_0 = \pm 5$。

由曲线在 $(0,0)$ 处凹向上（$y'' > 0$），圆心在曲线凹侧（上方），取 $x_0 = -5$，$y_0 = \dfrac{5}{2}$。

曲率圆方程：

直角坐标不好做 $\Rightarrow$ 参数方程！

令 $y = t$，$x = t^2$。$(0,0)$ 对应 $t = 0$。

$t = 0$ 时：$K = 2$，$R = \dfrac{1}{2}$。

方法二（交换 $x$ 和 $y$）：$y^2 = x$ 交换后为 $x^2 = y$，即 $y = x^2$。$y' = 2x|_{x=0} = 0$，$y'' = 2$。$K = \dfrac{2}{1} = 2$，$R = \dfrac{1}{2}$。圆心在 $y$ 轴上：$x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。再换回来。

圆心在 $x$ 轴正方向（曲线 $y^2 = x$ 在原点凹向右）：