特殊行列式的计算：结构识别与常用化简方法

行列式的直接展开通常计算量很大。对于 $n$ 阶行列式，若按定义展开，理论上需要处理 $n!$ 个项。因此，在实际计算中，关键不是盲目展开，而是识别行列式的结构：对角型、三角型、副对角型、箭头型、范德蒙德型、三对角型、分块型等。

本文整理若干常见特殊行列式，并给出推导过程。

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一、对角行列式

设

$$D=\begin{vmatrix} a_1&0&\cdots&0\\ 0&a_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_n \end{vmatrix}.$$

由行列式定义

$$D=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$$

由于非主对角线元素全为 $0$，只有恒等置换 $\sigma(i)=i$ 对应的乘积不为零，因此

$$D=a_1a_2\cdots a_n.$$

解答题例 1

计算

$$\begin{vmatrix} 2&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&7 \end{vmatrix}.$$

解答

直接取主对角线乘积：

$$\begin{vmatrix} 2&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&7 \end{vmatrix} =2\cdot 3\cdot 7=42.$$

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二、上三角与下三角行列式

设 $A=(a_{ij})$ 是上三角矩阵，即当 $i>j$ 时 $a_{ij}=0$。则

$$D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}.$$

在行列式展开中，若某一项不取主对角线元素，则必然在某一行取到主对角线左下方的零元素。因此唯一可能非零的项仍然是主对角线乘积，所以

$$D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

同理，下三角行列式也有相同结论：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

解答题例 2

计算

$$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&4&5\\ 0&0&6 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 2&0&0\\ 3&4&0\\ 5&6&7 \end{vmatrix}.$$

解答

两者分别是上三角与下三角行列式，故

$$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&4&5\\ 0&0&6 \end{vmatrix} =1\cdot 4\cdot 6=24,$$ $$\begin{vmatrix} 2&0&0\\ 3&4&0\\ 5&6&7 \end{vmatrix} =2\cdot 4\cdot 7=56.$$

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三、副对角行列式

所谓副对角行列式，是指非零主结构集中在副对角线上，即第 $i$ 行的核心元素位于第 $n+1-i$ 列。

考虑

$$D=\begin{vmatrix} 0&0&\cdots&0&a_1\\ 0&0&\cdots&a_2&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&a_{n-1}&\cdots&0&0\\ a_n&0&\cdots&0&0 \end{vmatrix}.$$

唯一非零项对应置换 $\sigma(i)=n+1-i$。该置换是完全逆序排列，其逆序数为 $\dfrac{n(n-1)}2$。因此

$$D=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_1a_2\cdots a_n.$$

解答题例 3

计算

$$\begin{vmatrix} 0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0 \end{vmatrix}.$$

解答

这是 $3$ 阶副对角行列式，因此

$$\begin{vmatrix} 0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0 \end{vmatrix} =(-1)^3\cdot 1\cdot 2\cdot 3=-6.$$

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四、“一杠一星”行列式

这类行列式的特点是：非零元素恰好构成一条可选取的“乘积路径”，也就是行列式定义中只有一个非零项。

例如

$$D= \begin{vmatrix} 0&0&0&5\\ 4&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0 \end{vmatrix}.$$

非零项只能取 $a_{14}=5,\ a_{21}=4,\ a_{32}=3,\ a_{43}=2$，对应排列 $\sigma=(4,1,2,3)$，其逆序数为 $3$，所以符号为 $(-1)^3=-1$。故

$$D=-5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=-120.$$

一般地，如果一个行列式中只有一个排列 $\sigma$ 能使

$$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$

不为零，则

$$D=\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$$

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五、“两杠一星”行列式

这类行列式通常有两条非零乘积路径。因此，行列式的值等于两个非零项的代数和。

例如

$$D= \begin{vmatrix} 1&5&0&0\\ 0&2&6&0\\ 0&0&3&7\\ 8&0&0&4 \end{vmatrix}.$$

非零路径有两条。第一条是主对角线，乘积为 $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$。第二条是 $5,6,7,8$，即 $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$，对应排列 $\sigma=(2,3,4,1)$，其逆序数为 $3$，符号为负。因此

$$D=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4-5\cdot 6\cdot 7\cdot 8 =24-1680=-1656.$$

这类题的核心是：先找出所有可能的非零排列，再分别计算其符号和乘积。

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六、“箭头”行列式

“箭头”行列式常见形式为

$$D= \begin{vmatrix} a&b_2&b_3&\cdots&b_n\\ c_2&d_2&0&\cdots&0\\ c_3&0&d_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_n&0&0&\cdots&d_n \end{vmatrix}.$$

若 $d_2,d_3,\ldots,d_n\neq 0$，对第一列作列变换

$$C_1\leftarrow C_1-\sum_{i=2}^n\frac{c_i}{d_i}C_i.$$

该变换不改变行列式的值。变换后，第一列从第二行到第 $n$ 行都变为零，而第一行第一列变为

$$a-\sum_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{d_i}.$$

于是

$$D= \left(a-\sum_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{d_i}\right)d_2d_3\cdots d_n.$$

解答题例 4

计算

$$\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 2&1&0&0\\ 3&0&1&0\\ 4&0&0&1 \end{vmatrix}.$$

解答

这里可以直接按箭头型公式处理。第一行首元为 $1$，其余参数满足 $b_i=c_i=i$，$d_i=1$。因此

$$D=1-\left(2^2+3^2+4^2\right)=1-4-9-16=-28.$$

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七、“弓”形行列式

图片中的“弓”形行列式可以通过列变换化为副对角行列式。

例如

$$D= \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&0&0&2\\ 3&0&3&0\\ 4&4&0&0 \end{vmatrix}.$$

作列变换

$$C_1\leftarrow C_1-C_2-C_3-C_4.$$

于是

$$D= \begin{vmatrix} -2&1&1&1\\ 0&0&0&2\\ 0&0&3&0\\ 0&4&0&0 \end{vmatrix}.$$

沿第一列展开，得

$$D=(-2) \begin{vmatrix} 0&0&2\\ 0&3&0\\ 4&0&0 \end{vmatrix}.$$

而

$$\begin{vmatrix} 0&0&2\\ 0&3&0\\ 4&0&0 \end{vmatrix} =(-1)^3\cdot 2\cdot 3\cdot 4=-24.$$

因此

$$D=(-2)(-24)=48.$$

这类题的关键是通过列变换把“弓”的一边消去，使矩阵退化为副对角结构。

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八、“么”字形行列式

“么”字形行列式的特征是：非零元素沿若干条斜线和边界分布。计算时通常采用“逐列累加”或“逐列递推”的方法，把斜线结构压缩为副对角形或三角形。

例如

$$D= \begin{vmatrix} 0&0&-1&1\\ 0&-2&2&0\\ -3&3&0&0\\ 4&3&2&1 \end{vmatrix}.$$

从右向左作列变换

$$C_3\leftarrow C_3+C_4,\qquad C_2\leftarrow C_2+C_3,\qquad C_1\leftarrow C_1+C_2.$$

注意这里每一步使用的是已经更新后的列。于是

$$D= \begin{vmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&2&0\\ 0&3&0&0\\ 10&6&3&1 \end{vmatrix}.$$

此时沿副对角线取唯一非零项，得到

$$D=60.$$

再看另一种变形：

$$D= \begin{vmatrix} 0&0&-1&2\\ 0&-1&2&0\\ -1&2&0&0\\ 2&2&2&2 \end{vmatrix}.$$

作列变换

$$C_{i+1}\leftarrow C_{i+1}+2C_i,\qquad i=1,2,3,$$

可把矩阵进一步压缩为副对角结构，最后得到

$$D=30.$$

这类题的关键是先观察斜线结构，再选择“逐列累加”或“逐列递推”。

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九、同行或同列同数行列式

考虑

$$D= \begin{vmatrix} a_1+1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2+1&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2&a_3+1&\cdots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n+1 \end{vmatrix}.$$

该矩阵可写为

$$A=I_n+\mathbf{1}a^T,$$

其中 $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^T$，$a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^T$。

根据矩阵行列式引理，

$$\det(I_n+uv^T)=1+v^Tu.$$

因此

$$D=1+a_1+a_2+\cdots+a_n.$$

解答题例 5

计算

$$\begin{vmatrix} 5&2&3&4\\ 2&5&3&4\\ 3&2&5&4\\ 4&2&3&5 \end{vmatrix}.$$

解答

每一行之和均为 $14$。将所有列加到第一列上，可得到首列全为 $14$，从而化成“同行同数”的结构。进一步化简可得

$$D=84.$$

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十、“ab”行列式

所谓 “ab” 行列式，是指主对角线元素均为 $a$，其余元素均为 $b$ 的行列式：

$$D_n= \begin{vmatrix} a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}.$$

先把所有行加到第一行。第一行每个元素都变为 $a+(n-1)b$。因此

$$D_n=[a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}.$$

再对第 $2$ 行到第 $n$ 行作

$$R_i\leftarrow R_i-bR_1,\qquad i=2,3,\ldots,n.$$

则第 $i$ 行只在第 $i$ 列留下 $a-b$，其余位置变为零。于是

$$D_n=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}.$$

即

$$\boxed{D_n=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}}.$$

四阶情形为

$$\begin{vmatrix} a&b&b&b\\ b&a&b&b\\ b&b&a&b\\ b&b&b&a \end{vmatrix} =(a+3b)(a-b)^3.$$

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十一、范德蒙德行列式

范德蒙德行列式为

$$V_n= \begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$

其值为

$$\boxed{ V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i) }.$$

推导如下。

若 $x_i=x_j$，则第 $i$ 列和第 $j$ 列相同，行列式为零。因此 $x_j-x_i$ 必为 $V_n$ 的因子。对任意 $1\leq i<j\leq n$，都有因子 $x_j-x_i$，于是

$$\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$$

整除 $V_n$。另一方面，$V_n$ 的总次数为

$$0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2,$$

而乘积的总次数也是 $\dfrac{n(n-1)}2$，所以二者只差一个常数因子。比较最高次项系数，可知该常数为 $1$。

解答题例 6

计算

$$\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&-2\\ 1&4&9&4\\ 1&8&27&-8 \end{vmatrix}.$$

解答

对应 $x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3,\ x_4=-2$，所以

$$D=(-2-3)(-2-2)(-2-1)(3-2)(3-1)(2-1).$$

即

$$D=(-5)(-4)(-3)\cdot 1\cdot 2\cdot 1=-120.$$

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十二、“X”形行列式

“X”形行列式的非零元素分布在主对角线和副对角线上。其主要方法是：通过奇偶次行、列交换，把行列式化为若干个二阶块的乘积。

对于 $2m$ 阶 “X” 形行列式，若主对角线上元素为 $a_1,a_2,\ldots,a_{2m}$，副对角线上元素为 $b_1,b_2,\ldots,b_{2m}$，则经过适当的行列重排，可以化成分块对角形式。由于行和列作同样的置换，符号因子相乘为

$$\operatorname{sgn}(P)^2=1,$$

所以不产生额外负号。因而

$$D=\prod_{k=1}^m \left(a_ka_{2m+1-k}-b_kb_{2m+1-k}\right).$$

图片中的例子可化为

$$D=(1\cdot 6-2\cdot 7)(2\cdot 5-3\cdot 6)(3\cdot 4-4\cdot 5).$$

即

$$D=(-8)(-8)(-8)=-512.$$

若为奇数阶，则中间会多出一个一阶块，此时结果为若干二阶块行列式与中心元素的乘积。

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十三、三对角行列式

三对角行列式常见形式为

$$D_n= \begin{vmatrix} a&b&0&\cdots&0\\ c&a&b&\cdots&0\\ 0&c&a&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&b\\ 0&0&\cdots&c&a \end{vmatrix}.$$

对最后一行或最后一列展开，可得递推关系

$$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2},$$

其中

$$D_0=1,\qquad D_1=a.$$

这是一个二阶线性递推。其特征方程为

$$x^2-ax+bc=0.$$

设两个根为 $x_1,x_2$。若 $a^2\neq 4bc$，则

$$\boxed{ D_n=\frac{x_1^{n+1}-x_2^{n+1}}{x_1-x_2} }.$$

若 $a^2=4bc$，则特征方程有重根 $x=\dfrac a2$，此时

$$\boxed{ D_n=(n+1)\left(\frac a2\right)^n =(n+1)\frac{a^n}{2^n} }.$$

解答题例 7

计算

$$D_n= \begin{vmatrix} 7&3&&&\\ 4&7&3&&\\ &4&7&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&3\\ &&&4&7 \end{vmatrix}.$$

解答

这里 $a=7,\ b=3,\ c=4$，特征方程为

$$x^2-7x+12=0,$$

即

$$(x-4)(x-3)=0.$$

所以

$$x_1=4,\qquad x_2=3,$$

因此

$$D_n=\frac{4^{n+1}-3^{n+1}}{4-3} =4^{n+1}-3^{n+1}.$$

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十四、分块对角与分块副对角行列式

设 $A$、$B$ 为方阵，$O$ 为零矩阵。若矩阵为分块上三角或分块下三角：

$$\begin{vmatrix} A&O\\ C&B \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} A&D\\ O&B \end{vmatrix},$$

则

$$\boxed{ \begin{vmatrix} A&O\\ C&B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&D\\ O&B \end{vmatrix} =|A||B| }.$$

更一般地，

$$\begin{vmatrix} A_1&&&O\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_n \end{vmatrix} =|A_1||A_2|\cdots |A_n|.$$

还有一种特殊的分块副对角形式：

$$D= \begin{vmatrix} O&A\\ B&C \end{vmatrix},$$

其中 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$B$ 为 $m$ 阶方阵。通过交换分块列，可将其化为分块三角形式。交换一个 $n$ 列块与一个 $m$ 列块，需要 $mn$ 次相邻列交换，因此符号因子为 $(-1)^{mn}$。所以

$$\boxed{ \begin{vmatrix} O&A\\ B&C \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A||B| }.$$

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十五、总结

特殊行列式的计算核心不是展开，而是识别结构。常用策略包括：

1. 对角型、三角型：直接取对角线乘积。
2. 副对角型：取副对角线乘积，再乘符号 $(-1)^{n(n-1)/2}$。
3. 稀疏型：“一杠一星”“两杠一星”按非零排列求代数和。
4. 箭头型：用列变换消去第一列或第一行，化为三角形。
5. 行和相等型：把所有列加到一列，提出公共行和。
6. “ab”型：利用行和与差，化为三角形。
7. 范德蒙德型：利用“列相等则行列式为零”的因子思想。
8. “X”型：通过行列置换化为二阶分块对角。
9. 三对角型：建立递推关系，再解特征方程。
10. 分块型：使用分块三角或分块副对角公式。

掌握这些结构后，很多看似复杂的行列式都可以在数步之内完成计算。