第1章 极限与函数性质：知识点索引

小节	知识点笔记与定位
1.1	1.1 函数极限（整节）
1.1.1	极限的运算法则
1.1.2	抓大头、抓小头的本质
1.1.3	等价无穷小的本质
1.1.4	泰勒公式与泰勒放缩
1.1.4.1	泰勒公式
1.1.4.2	泰勒放缩（非常重要！）
1.1.5	洛必达法则
1.1.6	拉格朗日中值定理
1.1.7	变限积分（极限当中多为变上限积分）
1.1.8	幂指函数
1.1.9	巧用对数运算法则
1.1.10	无穷减无穷
1.1.11	无穷小的运算准则
1.1.12	无穷小的量级与比阶（考研极高频考点）
1.1.13	函数连续与间断点
1.1.14	函数极限概念题（保号性与定性分析）
1.1.15	考研考过的非常规函数极限大题
1.1.15.1	题干出现 $o(狗)$
1.1.15.2	出现 $f(\theta x)$ 或 $f'(\theta x)$ 或 $f^{(n)}(\theta x)$，求 $\theta$ 的极限
1.1.15.3	出现 $f(\xi)$ 或 $f'(\xi)$ 或 $f^{(n)}(\xi)$，求关于 $\xi$ 的极限
1.2	1.2 数列极限（整节）
1.2.1	数列极限概念题
1.2.1.1	数列极限的定义与奇偶子列
1.2.1.2	数列的最值问题
1.2.1.3	用常见反例秒杀！
1.2.1.4	$\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$ 的敛散性关系（函数值数列）
1.2.2	超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！
1.2.2.1	传统方法处理 $n$ 项和数列极限
1.2.2.2	超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！
1.2.2.3	思考：$n$ 项和数列极限能否等价无穷小？
1.2.3	$n$ 项连乘数列极限
1.2.4	数列极限和函数极限的转化
1.2.5	数列极限大题
1.2.5.1	单调有界准则
1.2.5.2	压缩映射
1.2.5.3	$n$ 的广义性（抽象！）
1.2.5.4	数列大题杂例（真题考过的）
1.2.6	双数列
1.2.6.1	处在一个表达式里的双数列
1.2.6.2	双数列的无穷小比阶（23 数二真题）
1.2.7	数列中的特殊题型：$\sin($无穷 $\pi)$
1.3	1.3 函数性质（整节）
1.3.1	函数的定义域
1.3.2	函数的连续性
1.3.3	函数的有界性
1.3.4	函数的奇偶性
1.3.5	函数的周期性
1.3.6	函数的对称性（仅 18 年数一、数三概率论中考察过）
1.3.7	函数的单调性和凹凸性
1.3.8	替换 $f()$ 括号内表达式求解函数
1.3.9	复合函数
1.3.10	取整函数
1.3.11	反函数（重点！）
1.3.11.1	反函数的基本概念
1.3.11.2	反函数的求导与二阶导
1.3.11.3	三角函数的反函数
1.3.11.4	反函数中非常容易被忽略的性质！

---

我的总结

• 复习时的推进顺序：先把 1.1 的工具类内容（等价无穷小 → 泰勒 → 洛必达 → 变限积分 → 幂指函数）串成一条“先定阶、再化简、最后求极限”的流水线，再进入 1.2 的概念题与大题。
• 1.1 里真正的区分度在 1.1.12 无穷小的量级与比阶 与 1.1.4.2 泰勒放缩：这两处决定了极限题能用几步算完。
• 1.2 的两条主线是“概念辨析靠反例”和“存在性大题靠单调有界 / 压缩映射”，两类题的准备方式完全不同，最好分开集中训练。
• 1.3 中 1.3.11 反函数 与 1.3.6 对称性 属于低频但一旦出现就扣分集中的地方，值得单独留一页推导。

参考资料

• 考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）
• 常见考研数学教材与辅导资料
• 本人课程学习笔记；章节编号沿用本人课程讲义的编排顺序