1.2 数列极限

总目录 · 笔记整理索引 · 上一节：1.1 函数极限 · 下一节：1.3 函数性质

核心结论

定义： $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists N(\varepsilon)>0,\ n>N$ 时 $|x_n-a|<\varepsilon$ 。把 $\varepsilon$ 取成具体值（ $|a|/2$ 、 $1$ 等）就得到局部保号性与局部有界性。
有界与收敛：收敛 $\Rightarrow$ 有界；有界 $\nRightarrow$ 收敛。无界 $\ne$ 趋于无穷。
子列：全数列收敛 $\Rightarrow$ 任意子列收敛且极限相同；反之，两个子列极限不同（或某子列发散）即可判定原数列发散。
函数值数列： $x_n\to x_0$ 且 $f$ 在 $x_0$ 连续 $\Rightarrow f(x_n)\to f(x_0)$ ；要反向推出 $x_n$ 收敛，需要 $f$ 严格单调（即一一）。
两类极限的转化： $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}f(n)=A$ ，反向不成立。洛必达、泰勒只能用于连续化之后的函数极限。
$n$ 项和：先比较每项中”变化部分”与”主项”的阶——低阶可用等价替换或夹逼，同阶必须改用定积分定义。
$n$ 项连乘：各项为正时两边取对数，化为 $n$ 项和。
数列大题：首选单调有界准则；数列不单调或单调性难证时改用压缩映射判据。
$\sin(\text{整数倍}\pi\pm\theta)$ 型：先用 $\sin(x+n\pi)=(-1)^n\sin x$ 提出整数倍 $\pi$ ，再对剩余部分取极限。

1.2.1 数列极限概念题

1.2.1.1 数列极限的定义与奇偶子列

定义中的 $\varepsilon$ 是任意给定的正数，而 $N$ 依赖于 $\varepsilon$ 、不依赖于 $n$ 。凡是想得到”某个不等式最终恒成立”的结论，都可以用这个定义并取定一个具体的 $\varepsilon$ 来实现，不需要额外的定理。

判断依据：由定义取定具体 $\varepsilon$ ，可得三条定性结论。

取 $\varepsilon=|a|/2$ （要求 $a\ne0$ ）： $n$ 充分大后 $|x_n|>|a|/2$ ，即局部保号（ $x_n$ 与 $a$ 同号）；
取 $\varepsilon=1$ ： $n$ 充分大后 $|x_n|\le|a|+1$ ，即局部有界；
三角不等式 $|a|\le|a-a_n|+|a_n|$ 是处理 $|a_n|$ 与 $|a|$ 关系的基本放缩。 适用条件：保号性要求 $a\ne0$ ；若 $a=0$ ，取 $\varepsilon=|a|/2$ 无意义。 注意事项：局部有界只对”尾部”成立，要得到整体有界需把前有限项与尾部的界合并。

1.2.1.2 数列的最值问题

1.2.1.3 用常见反例秒杀！

判断”命题是否普遍成立”的题，先想下列数列，多数错误选项可被直接排除。

数列	性质
$x_n=(-1)^n$	有界、发散（两个子列极限不同）
$x_n=n$	无界、趋于 $+\infty$
$x_n=1/n$	收敛于 $0$ 、有界
$x_n=n^{(-1)^n}$	无界但不趋于 $+\infty$ （奇偶项振荡）
$x_n=n\sin\dfrac{n\pi}2$	子列可分别趋于 $0$ 、 $\pm\infty$ ，用于构造”无界但非无穷大”
$x_n=2$ （奇项）、 $x_n=1/2$ （偶项）	发散，但经某些函数作用后变为常数（用于排除”必发散”类选项）

1.2.1.4 $\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$ 的敛散性关系（函数值数列）

整理此处常见的四条结论：

把命题

\{a_n\}\text{发散}\Longrightarrow\{f(a_n)\}\text{发散}

化为逆否命题：若 $\{f(a_n)\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 收敛。逐个检验 $f$ 是否一一：

A： $f(x)=x+\dfrac1x$ 在 $x>0$ 、 $x<0$ 两支上分别单调，值域为 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ ，每个 $|y|\ge2$ 都对应两个原像，不是一一映射；
B： $f(x)=x-\dfrac1x$ 在两支上分别单调，值域为 $\mathbb R$ ，每个 $y$ 仍有两个原像（分居正、负半轴），不是一一映射；
C： $f(x)=e^x+e^{-x}$ 为偶函数， $f'(0)=0$ ，图像关于 $x=0$ 对称，不是一一映射；
D： $f(x)=e^x-e^{-x}$ 满足

f(x)=e^x-e^{-x},\quad f'(x)=e^x+e^{-x}>0,\quad

$f$ 严格单调且值域为 $\mathbb R$ ，是一一映射， $f^{-1}$ 也连续。于是 $\{f(a_n)\}$ 收敛时 $\{a_n\}$ 必收敛，逆否命题给出 D。

1.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

1.2.2.1 传统方法处理 $n$ 项和数列极限

1.2.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

本质仍是放缩＋恒等变形＋夹逼（即 1.2.2.1 中例 1.81 的传统做法），只是把”两头放缩”压缩为”直接对主项做等价替换”。

1^k+2^k+\cdots+n^k\sim\frac1{k+1}n^{k+1},\quad

1+\frac12+\cdots+\frac1n=\ln n+C,\quad

其中 $C$ 为欧拉常数， $C\approx0.58$ 。

例如

1^2+2^2+\cdots+n^2\sim\frac13n^3,\quad

\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{2}+\cdots+\sqrt[3]{n}\sim\frac34n^{4/3}.

推导思路：把和写成以 $k/n$ 为分点、步长为 $1/n$ 的黎曼和，即 $\dfrac1n\sum f(k/n)\to\int_0^1f$ ，即可读出主项的阶数与系数（幂和也可用 $k^{1/3}\cdot n^{1/3}$ 的定积分形式理解）。

1.2.2.3 思考： $n$ 项和数列极限能否等价无穷小？

可以。条件是：每一项都是无穷小，且加减法用泰勒公式展开到所有项所需的精度，此时可把”低阶项之和”作为整体做等价替换；若低阶的 $n$ 项和存在，而高阶部分之和为 $0$ （或可忽略），最终即得所需的等价无穷小关系。

1.2.3 $n$ 项连乘数列极限

令 $y_n=\sqrt[n]{n!}/n$ ，各项为正，取对数：

\begin{aligned} \ln y_n &=\frac1n\ln n!-\ln n\\ &=\frac1n(\ln1+\ln2+\cdots+\ln n-n\ln n)\\ &=\frac1n\left[\ln\frac1n+\ln\frac2n+\cdots+\ln\frac nn\right]\\ &\to\int_0^1\ln x\,dx=-1. \end{aligned}

所以

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n=e^{-1}.

理由：取对数把 $n$ 项乘积化为 $n$ 项和，而 $\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\dfrac kn$ 恰是 $\ln x$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和（广义积分 $\int_0^1\ln x\,dx=-1$ 收敛）。

1.2.4 数列极限和函数极限的转化

反过来不成立。反例：

f(x)= \begin{cases} 0,&x\text{为非负整数},\\ 1,&\text{其他}. \end{cases}

则 $\lim_{n\to\infty}f(n)=0$ ，但 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 不存在。

1.2.5 数列极限大题

考研中的数列大题绝大多数以单调有界准则为落点；不能由单调有界准则解决的少数情形（例如与级数综合的 2016 数一题目）才需要压缩映射。做题顺序：先试单调有界，不行再考虑压缩映射。

1.2.5.1 单调有界准则（非常非常重要，见到数列极限大题，条件反射般想到单调有界准则！）

有界性：由 $x_n(3-x_n)\le\left(\dfrac32\right)^2$ （均值不等式）得

x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\le\frac32.

单调性：通分后

x_{n+1}-x_n =\frac{x_n(3-2x_n)}{\sqrt{x_n(3-x_n)}+x_n}\ge0 \quad(n\ge2),\quad

因为 $n\ge2$ 时 $x_n\le\dfrac32$ ，分子非负；分母为正。数列从第二项起递增且有上界 $\dfrac32$ ，故收敛。设极限为 $a$ ，则

a=\sqrt{a(3-a)},\quad

得 $a=0$ 或 $a=3/2$ 。由于 $x_n\ge x_1>0$ ，故 $a\ge x_1>0$ ，所以

\lim x_n=\frac32.

（Ⅰ） 由 $0<x_n\le\pi$ 与 $\sin x<x$ （ $x>0$ ）得 $x_{n+1}<x_n$ ，故 $\{x_n\}$ 递减且有下界 $0$ ，收敛。设极限为 $a$ ，则 $a=\sin a$ 。若 $a>0$ 则 $a=\sin a<a$ ，矛盾，故

\lim_{n\to\infty}x_n=0.

（Ⅱ） 取对数（ $x_n\in(0,\pi)$ 时 $\sin x_n>0$ ，可对数化）：

\frac1{x_n}\ln\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac1{x_n}\ln\frac{\sin x_n}{x_n}.

由 $\dfrac{\sin x}x=1-\dfrac{x^2}6+O(x^4)$ 与 $\ln(1+u)=u+O(u^2)$ 得

\ln\frac{\sin x_n}{x_n}=-\frac{x_n^2}6+O(x_n^4),\quad

故

\frac1{x_n}\ln\frac{\sin x_n}{x_n}=-\frac{x_n}6+O(x_n^3)\to0.

按所记结果为

e^{-1}.

单调性：由积分中值定理，存在 $\xi\in(n,n+1)$ 使 $\displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\,dx=f(\xi)$ ，于是

a_{n+1}-a_n=f(n+1)-\int_n^{n+1}f(x)\,dx=f(n+1)-f(\xi)\le0,\quad

由 $f$ 单调不减得 $f(\xi)\ge f(n+1)$ ，故 $\{a_n\}$ 递减。

有界性：把 $a_n$ 重新组合为

a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left[f(k)-\int_k^{k+1}f(x)\,dx\right]+f(n) =\sum_{k=1}^{n-1}\left[f(k)-f(\xi_k)\right]+f(n)\ge0,\quad

其中 $\xi_k\in(k,k+1)$ ，由 $f$ 单调不减得 $f(\xi_k)\ge f(k)$ ，每一项非负，故 $a_n\ge0$ 。

数列递减且有下界 $0$ ，由单调有界准则收敛。

先把递推式整理成显式形式：

x_{n+1}=2x_n-\tan x_n.

函数 $f(x)=2x-\tan x$ 在 $\left(0,\dfrac\pi4\right)$ 上满足

f'(x)=2-\sec^2x>0\quad\left(\sec^2x<2,\ 0<x<\frac\pi4\right),\quad

故 $f$ 递增。又

x_{n+1}-x_n=x_n-\tan x_n<0

（ $x>0$ 时 $\tan x>x$ ），数列递减有下界 $0$ 。设极限为 $a$ ，由 $a=2a-\tan a$ 得 $\tan a=a$ ，故 $a=0$ 。

进一步展开

2x-\tan x\sim x-\frac13x^3,\quad

代入幂指型极限，结果为 $e^{-1/3}$ 。

（Ⅰ） 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n$ 介于 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 之间，使

f(x_n)-f(x_{n+1})=x_n=f'(\xi_n)(x_n-x_{n+1})>x_n-x_{n+1},\quad

由 $f'(\xi_n)>1>0$ 得 $x_n-x_{n+1}>0$ ，即 $x_{n+1}<x_n$ （由此也知 $x_n>0$ 恒成立）。

因为 $f'>1>0$ ， $f$ 单调递增，由 $f(x_{n+1})=f(x_n)-x_n<f(x_n)$ 得 $x_{n+1}<x_n$ ；数列递减有下界 $0$ ，由单调有界准则得极限存在，记为 $a$ 。对递推式取极限： $f(a)=f(a)-a$ ，故 $a=0$ 。

（Ⅱ） 对递推式求和（望远镜求和）：

\sum_{k=1}^n x_k=f(x_1)-f(x_{n+1})\to f(x_1)-f(0)=f(x_1)-1.

1.2.5.2 压缩映射

适用时机：数列不单调（例如 $x_{n+1}=\cos x_n$ 这类迭代），或单调性、有界性都难以直接证明时。 判断依据：若 $a=f(a)$ 是递推函数的不动点，则由拉格朗日中值定理

|x_n-a|=|f(x_{n-1})-f(a)|=|f'(\xi)||x_{n-1}-a|.

只要在数列取值范围内恒有 $|f'(x)|\le k<1$ ，压缩条件即成立——无需 $f$ 单调，也无需比较 $x_1,x_2$ 。 注意事项： $k$ 必须是与 $n$ 无关且严格小于 $1$ 的常数；先确定不动点存在（零点定理＋单调性），再用压缩映射证明迭代收敛。

不动点：令 $h(x)=x-\cos x$ ，则 $h(0)=-1<0$ ， $h(\pi/3)=\pi/3-1/2>0$ ，且 $h'(x)=1+\sin x>0$ ，故方程 $x=\cos x$ 在 $(0,\pi/3)$ 内有唯一根 $a$ 。

压缩：由 $x_1\in[-1,1]$ 得 $x_n=\cos x_{n-1}\in[\cos1,1]\subset(0,\pi/3)$ （ $n\ge2$ ），故 $x_n$ 与 $a$ 都落在 $(0,\pi/3)$ 内，由中值定理

|x_{n+1}-a|=|\cos x_n-\cos a| \le\frac{\sqrt3}{2}|x_n-a|

（因为 $|\sin\xi|\le\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$ ）。数列本身不一定单调，但 $0<\dfrac{\sqrt3}2<1$ ，由压缩映射 $x_n\to a$ 。

1.2.5.3 $n$ 的广义性（抽象！）

这类题中 $n$ 既出现在方程的次数（或系数）里，又作为数列指标，不能把 $n$ 当作固定常数。

（Ⅰ） 令

f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1.

由等比求和

f_n\!\left(\frac12\right)=\frac{\frac12\left[1-\left(\frac12\right)^n\right]}{1-\frac12}-1=1-2^{-n}-1=-2^{-n}<0,\quad

$f_n(1)=n-1>0$ ，且 $f_n'(x)>0$ （ $x>0$ ），所以根在 $\left(\dfrac12,1\right)$ 内唯一。

（Ⅱ）单调性：因为

f_n(x_{n+1})=x_{n+1}^n+\cdots+x_{n+1}-1=-x_{n+1}^{n+1}<0,\quad

（把 $x_{n+1}$ 代入第 $n$ 个方程，恰好比 $f_{n+1}(x_{n+1})=0$ 少一项 $x_{n+1}^{n+1}$ ），而 $f_n(x_n)=0$ ，由 $f_n$ 递增得 $x_{n+1}<x_n$ 。数列递减且 $x_n>\dfrac12$ ，故收敛。

求极限：根方程写成等比求和形式

x_n\frac{1-x_n^n}{1-x_n}=1.

由 $\dfrac12<x_n<1$ 得 $x_n^n\to0$ 。设极限为 $a$ ，则

\frac a{1-a}=1,\quad \qquad a=\frac12.

1.2.5.4 数列大题杂例（真题考过的）

（Ⅰ）

f'(x)=\frac{x-1}{x^2},\quad

故 $f$ 在 $x=1$ 处取最小值 $f(1)=1$ 。

（Ⅱ） 由 $f(x_n)=\ln x_n+\dfrac1{x_n}\ge1$ 得 $\ln x_n\ge1-\dfrac1{x_n}$ ；结合题设 $\ln x_n<1-\dfrac1{x_{n+1}}$ ，得

1-\frac1{x_n}\le\ln x_n<1-\frac1{x_{n+1}} \Longrightarrow \frac1{x_n}>\frac1{x_{n+1}} \Longrightarrow x_n<x_{n+1},\quad

数列递增。又 $\ln x_n<1-\dfrac1{x_{n+1}}<1$ ，故 $x_n<e$ ，数列递增有上界。设极限为 $a$ ，取极限得 $\ln a+\dfrac1a\le1$ ，结合 $f$ 的最小值为 $1$ 知等号必须成立，故 $a=1$ 。

（Ⅰ）方法一：对 $\ln x$ 在 $[n,n+1]$ 上使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(n,n+1)$ ，使

\ln(n+1)-\ln n=\frac1\xi,\quad

由 $n<\xi<n+1$ 得

\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n\right)<\frac1n.

方法二：用

h(x)=\ln(1+x)-x,\quad

g(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}

的单调性证明（ $h'(x)=-\dfrac{x}{1+x}<0$ ， $g'(x)=\dfrac{x}{(1+x)^2}>0$ ，比较 $x=\dfrac1n$ 处的函数值与 $0$ ）。

（Ⅱ）

a_{n+1}-a_n=\frac1{n+1}-\ln\left(1+\frac1n\right)<0,\quad

数列递减。再由（Ⅰ）的左半不等式累加：

a_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n >\ln\frac21+\ln\frac32+\cdots+\ln\frac{n+1}{n}-\ln n =\ln(n+1)-\ln n>0,\quad

故 $\{a_n\}$ 递减有下界，收敛（其极限即欧拉常数 $C$ ）。

（Ⅰ） 被积函数 $x^n\sqrt{1-x^2}\ge0$ ，且固定 $x\in[0,1]$ 时随 $n$ 增大而减小（ $x<1$ ），故 $a_n$ 单调递减且有下界 $0$ ，收敛。

（Ⅱ） 由分部积分得到

a_n=\frac{n-1}{n+2}a_{n-2}.

因此

\frac{n-1}{n+2}=\frac{a_n}{a_{n-2}}<\frac{a_n}{a_{n-1}}<1,\quad

左端不等式来自 $\dfrac{a_n}{a_{n-2}}=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ 且 $\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}<1$ 。夹逼得

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=1.

1.2.6 双数列

双数列指同一表达式中同时出现两个数列，或两数列通过递推相互制约的情形。以下两类最典型：一类由同一个等式联系（可用于比阶），一类由递推式同步演化（如算术—几何平均）。

1.2.6.1 处在一个表达式里的双数列

方法一（拉格朗日中值定理）：存在 $\xi_n\in(a_n,b_n)$ ，使

\cos a_n-\cos b_n=\sin\xi_n(b_n-a_n).

方法二（反函数 + 洛必达）：由 $b_n=\arccos(\cos a_n-a_n)$ 解出两数列的显式关系，再对逆函数使用洛必达。

方法三（泰勒展开）

\cos a_n=1-\frac{a_n^2}{2}+O(a_n^4),\quad \qquad \cos b_n=1-\frac{b_n^2}{2}+O(b_n^4),\quad

代入 $a_n=\cos a_n-\cos b_n$ 得

a_n+O(a_n^2)=\frac12b_n^2+O(b_n^4),\quad

所以 $a_n\sim b_n^2/2$ ，从而

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n^2}=\frac12.

由基本不等式， $y_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}2\ge\sqrt{x_ny_n}=x_{n+1}$ 。又

x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}\ge\sqrt{x_n^2}=x_n,\quad

y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}\le\frac{y_n+y_n}{2}=y_n.

因而

x_1\le x_n\le y_n\le y_1.

$\{x_n\}$ 递增有上界、 $\{y_n\}$ 递减有下界，两数列均收敛。设 $\lim x_n=A$ 、 $\lim y_n=B$ ，取极限得

A=\sqrt{AB},\quad B=\frac{A+B}{2},\quad

第一式给出 $A^2=AB$ ，结合 $B\ge A\ge0$ 得 $A=B$ 。

1.2.6.2 双数列的无穷小比阶（23 数二真题）

当 $x\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$ 时，

\sin x>\frac2\pi x;\quad

当 $x\in\left(-\dfrac\pi2,0\right)$ 时，

\sin x<\frac2\pi x.

当 $x\in\left(0,\dfrac\pi4\right)$ 时，

\tan x<\frac4\pi x;\quad

当 $x\in\left(-\dfrac\pi4,0\right)$ 时，

\tan x>\frac4\pi x.

当 $x\in(0,1)$ 时，

\arctan x>\frac\pi4x;\quad

当 $x\in(-1,0)$ 时，

\arctan x<\frac\pi4x.

理解方式：把 $y=\sin x$ （或 $\tan x$ 、 $\arctan x$ ）与连接原点及端点的弦线、端点处的切线作斜率比较，即在坐标图中比较曲线与直线的上下位置；正、负半轴要分别讨论。

同类结论： $\cos x$ 在 $\left(-\dfrac\pi2,0\right)$ 与 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ 上也可用弦线放缩。

1.2.7 数列中的特殊题型： $\sin($ 无穷 $\pi)$

处理要点：不能直接把 $\sin(2n\pi)$ 写成 $0$ ，必须先把正弦内部整体变形，提取整数倍 $\pi$ 。使用

\sin(x+n\pi)=(-1)^n\sin x.

易错点汇总

$x_n^2\to a^2$ 不等于 $x_n\to a$ ：只能得到 $|x_n|\to|a|$ 。
有界与收敛：收敛必有界，有界未必收敛；无界也不等于趋于无穷。
单调有界准则的使用次序：先证有界与单调，再取极限；不能先设极限再补证收敛。
取极限前必须确认收敛：对递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两边取极限只在收敛前提下合法。
不动点多根：由 $a=f(a)$ 解出的多个根必须用数列的界或首项筛选。
$n$ 项和先判阶：变化部分与主项同阶时不能用等价替换丢掉它（否则上下界不相等）。
等价无穷小逐项替换：只有当每一项都是无穷小时才成立。
连乘取对数：需各项为正。
洛必达只能用于连续化后的函数极限，不能直接对数列项使用。
$\sin$ 内部的等价替换： $\sqrt{an^2+bn}\sim\sqrt a\,n$ 不能直接代入，必须减去整数倍 $\pi$ 后取胜弦。

我的总结

这一节的主线是”判断依据先行”。

概念题部分，我把 $\varepsilon$ 取成具体数（ $|a|/2$ 、 $1$ ）当作固定动作，几乎所有”局部保号/局部有界”的选项都能一眼看出对错；子列题则先画一张”余数类覆盖表”，确认选项里的子列是否覆盖全体正整数，再决定能不能反推。

$n$ 项和的题，我的做法是先给每一项标出”主项”和”变化部分”，再判断两者是否同阶：低阶就用等价替换或夹逼，同阶就老实写定积分定义。这样能避免机械套用等价无穷大而出错。

数列大题我把流程固定下来：先猜界（均值不等式或首项），再证单调（作差，或 $f'$ 的符号加 $x_1$ 与 $x_2$ 的比较），最后才取极限求值；若数列明显不单调（例如 $\cos$ 型迭代），直接换成压缩映射。压缩映射的好处是只要 $|f'|\le k<1$ 就够，不必跟单调性纠缠，但 $k$ 与 $n$ 无关这一点必须写清楚。

双数列与 $\sin(\text{无穷}\pi)$ 两类题属于”技术型”：前者靠几何不等式或泰勒展开比阶，后者靠减去整数倍 $\pi$ 再用 $(-1)^n$ 。这两类的共同点是不能提前做等价替换，必须先把结构整理到能取极限的形式。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）
常见考研数学教材与辅导资料
李林《880 题》系列、张宇《基础三十讲》《1000 题》、李艳芳《900 题》及三套卷、武忠祥《高数辅导讲义》与严选题（题号后已标注出处）
本人课程学习笔记；其中「等价无穷大/低阶项整体替换求 $n$ 项和极限」的处理思路与「单调有界优先、非必要不用压缩映射」的选题次序参考自某考研数学课程讲义，本笔记只保留其成立条件与使用判据，未沿用原始口诀。

ギターと孤独と蒼い惑星

1.2 数列极限

1.2 数列极限

核心结论

1.2.1 数列极限概念题

1.2.1.1 数列极限的定义与奇偶子列

1.2.1.2 数列的最值问题

1.2.1.3 用常见反例秒杀！

1.2.1.4 $\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$ 的敛散性关系（函数值数列）

1.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

1.2.2.1 传统方法处理 $n$ 项和数列极限

1.2.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

1.2.2.3 思考： $n$ 项和数列极限能否等价无穷小？

1.2.3 $n$ 项连乘数列极限

1.2.4 数列极限和函数极限的转化

1.2.5 数列极限大题

1.2.5.1 单调有界准则（非常非常重要，见到数列极限大题，条件反射般想到单调有界准则！）

1.2.5.2 压缩映射

1.2.5.3 $n$ 的广义性（抽象！）

1.2.5.4 数列大题杂例（真题考过的）

1.2.6 双数列

1.2.6.1 处在一个表达式里的双数列

1.2.6.2 双数列的无穷小比阶（23 数二真题）

1.2.7 数列中的特殊题型： $\sin($ 无穷 $\pi)$

易错点汇总

我的总结

参考资料

Comments

1.2 数列极限

核心结论

1.2.1 数列极限概念题

1.2.1.1 数列极限的定义与奇偶子列

1.2.1.2 数列的最值问题

1.2.1.3 用常见反例秒杀！

1.2.1.4 {xn}\{x_n\}{xn​} 与 {f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn​)} 的敛散性关系（函数值数列）

1.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 nnn 项和数列极限！

1.2.2.1 传统方法处理 nnn 项和数列极限

1.2.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 nnn 项和数列极限！

1.2.2.3 思考：nnn 项和数列极限能否等价无穷小？

1.2.3 nnn 项连乘数列极限

1.2.4 数列极限和函数极限的转化

1.2.5 数列极限大题

1.2.5.1 单调有界准则（非常非常重要，见到数列极限大题，条件反射般想到单调有界准则！）

1.2.5.2 压缩映射

1.2.5.3 nnn 的广义性（抽象！）

1.2.5.4 数列大题杂例（真题考过的）

1.2.6 双数列

1.2.6.1 处在一个表达式里的双数列

1.2.6.2 双数列的无穷小比阶（23 数二真题）

1.2.7 数列中的特殊题型：sin⁡(\sin(sin(无穷 π)\pi)π)

易错点汇总

我的总结

参考资料

1.2.1.4 $\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$ 的敛散性关系（函数值数列）

1.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

1.2.2.1 传统方法处理 $n$ 项和数列极限

1.2.2.2 超必杀：等价无穷大秒杀 $n$ 项和数列极限！

1.2.2.3 思考： $n$ 项和数列极限能否等价无穷小？

1.2.3 $n$ 项连乘数列极限

1.2.5.3 $n$ 的广义性（抽象！）

1.2.7 数列中的特殊题型： $\sin($ 无穷 $\pi)$