1.3 函数性质

总目录 · 笔记整理索引 · 上一节：1.2 数列极限 · 本章开头：1.1 函数极限

核心结论

定义域： $f(\ )$ 括号内的取值范围对同一个 $f$ 是固定的；求 $f(g(x))$ 的定义域，实质是求使 $g(x)$ 落在 $f$ 定义域内的 $x$ 。
连续性：连续函数与连续函数复合仍连续；连续函数的和、差、积、商（分母不为 $0$ ）仍连续； $f$ 有间断点、 $g$ 连续且 $g\ne0$ 时 $f/g$ 必有间断点。
有界性：无界 $\ne$ 无穷大；有限区间上导数有界可推出函数有界（中值定理）；闭区间上连续必有界，开区间上连续只需要考察两端附近的有界性。
奇偶性：定义域必须关于原点对称；可导时求导改变奇偶性（奇 $\to$ 偶，偶 $\to$ 奇）；连续时奇函数的原函数为偶函数，偶函数的原函数只有取积分下限为 $0$ 才是奇函数。
周期性： $f$ 周期为 $T$ $\Rightarrow$ $f(ax+b)$ 周期为 $\dfrac T{|a|}$ ； $g$ 周期 $\Rightarrow f[g(x)]$ 周期；可导周期函数的导数仍以 $T$ 为周期；连续周期函数的原函数以 $T$ 为周期当且仅当 $\displaystyle\int_0^Tf=0$ 。
周期函数的积分：任意 $a$ 都有 $\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^Tf$ ，且 $\displaystyle\int_a^{a+nT}f=n\int_0^Tf$ ，这是处理”周期＋积分”题的核心工具。
对称性： $f(a-t)=f(a+t)\iff f(x)=f(2a-x)$ ，图像关于直线 $x=a$ 对称；偶函数是 $a=0$ 的特例。
反函数：定义域与值域互换； $(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(y)}$ ，二阶导带负号；三角函数求反函数必须先限定单调区间。
取整函数： $[x]\le x<[x]+1$ ，即 $x-1<[x]\le x$ ；处理 $[\,]$ 类问题的固定手段是按 $[\,]$ 的取值分段（或分区域）讨论。

1.3.1 函数的定义域

1.3.2 函数的连续性

💡 【PROPERTY】连续性的基本运算

连续函数与连续函数复合仍为连续函数；其他复合情况没有一般结论。

两个连续函数的和、差、积、商（分母不为 $0$ ）仍为连续函数。

若 $f$ 有间断点， $g$ 连续且 $g\ne0$ ，则 $f/g$ 必有间断点。

理由：结论 1、2 来自极限的四则运算与复合函数极限定理。结论 3 用反证法：若 $f/g$ 连续，则
$f=\frac fg\cdot g$
为连续函数之积，也应连续，与 $f$ 有间断点矛盾。

1.3.3 函数的有界性

要区分”无界”和”无穷大”：例如 $x\sin x$ 无界，但因为它在 $x=n\pi$ 处取值为 $0$ ，不能说 $x\sin x\to+\infty$ 。
有限区间上导数有界可推出函数有界：由拉格朗日中值定理，若 $|f'(x)|\le M$ ，则

|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|.

取定区间内一点 $x_0$ ，即可把 $f$ 的值控制在一个有限的范围内。 3. 连续函数在开区间 $(a,b)$ 上的有界性：由于 $f$ 在内部的每个闭子区间上都有界（连续函数在闭区间上有界），只需再讨论 $x\to a^+$ 、 $x\to b^-$ 时 $f$ 是否有界。端点处的极限不一定存在，只要有界即可——例如 $\sin(1/x)$ 在 $x\to0^+$ 时没有极限，但被 $[-1,1]$ 界住。

注意事项：有界只要求函数值不越出某个有限的范围，与是否收敛没有任何关系。

分两端讨论。

$x\to0^+$ ：由

\ln(1+t^2)\sim t^2,\quad \qquad \int_0^x\ln(1+t^2)\,dt\sim\frac{x^3}{3},\quad

得 $f(x)\sim\dfrac{x^{3-\alpha}}3$ ，要在 $0$ 附近有界需 $3-\alpha\ge0$ ，即 $\alpha\le3$ 。

$x\to+\infty$ ：洛必达得

\lim\frac{\int_0^x\ln(1+t^2)\,dt}{x^\alpha} =\lim\frac{\ln(1+x^2)}{\alpha x^{\alpha-1}},\quad

分子与 $\ln x$ 同阶却远低于任何正幂次，要有界需 $\alpha-1>0$ ，即 $\alpha>1$ 。

两端取交集

1<\alpha\le3,\quad

选 D。

1.3.4 函数的奇偶性

💡 【PROPERTY】求导与积分对奇偶性的影响

求导改变奇偶性：若 $f$ 可导，则奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。

理由：对 $f(-x)=f(x)$ 两边求导，由链式法则得 $-f'(-x)=f'(x)$ ，即 $f'$ 为奇函数；对 $f(-x)=-f(x)$ 求导得 $-f'(-x)=-f'(x)$ ，即 $f'$ 为偶函数。

原函数保持（或改变）奇偶性：若 $f$ 连续，则奇函数的原函数为偶函数；偶函数的原函数只有在下限取 $0$ 时才是奇函数。

理由：记 $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$ ，由换元 $t=-u$ 得 $F(-x)=-F(x)$ （ $f$ 奇）或 $F(-x)=F(x)$ （ $f$ 偶）。改变积分下限只会给 $F$ 增加一个常数，而这个常数会破坏奇性（偶性对常数平移不变，奇性则会失效）。

1.3.5 函数的周期性

💡 【PROPERTY】周期性的四条基本结论

① 若 $f$ 的周期为 $T$ ，则 $f(ax+b)$ 的周期为 $\dfrac{T}{|a|}$ （ $a\ne0$ ）；

② 若 $g$ 为周期函数，则 $f[g(x)]$ 也是周期函数，例如 $e^{\sin x}$ 、 $\cos^2x$ ；
$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\quad$
所以 $\cos^2x$ 的周期为 $\pi$ （比 $\cos x$ 的周期缩短一半，因为 $\cos2x$ 的周期是 $\pi$ ）；

③ 若 $f$ 可导且以 $T$ 为周期，则 $f'$ 也以 $T$ 为周期（对 $f(x+T)=f(x)$ 两边求导即得）；

④ 若 $f$ 连续且以 $T$ 为周期，则当
$\int_0^T f(t)\,dt=0$
时，
$\int_0^x f(t)\,dt$
也以 $T$ 为周期。

④ 的理由：令 $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$ ，则
$F(x+T)-F(x)=\int_x^{x+T}f(t)\,dt=\int_0^Tf(t)\,dt=0,\quad$
故 $F$ 以 $T$ 为周期。若 $\displaystyle\int_0^Tf\ne0$ ，则 $F$ 会以 $T\cdot\displaystyle\int_0^Tf$ 的速度线性增长，不再周期。

令

g(t)=\int_t^{t+2}f(x)\,dx,\quad

则

g'(t)=f(t+2)-f(t)=0,\quad

所以 $g$ 为常数， $g(t)=g(0)$ ，即（Ⅰ）成立。

因此

G'(x)=2f(x)-\int_x^{x+2}f(s)\,ds=2f(x)-\int_0^2f(s)\,ds,\quad

（第二个等号用了（Ⅰ））。由 $f(x+2)=f(x)$ 得 $G'(x+2)=G'(x)$ ，又

G(2)-G(0)=\int_0^2\left[2f(t)-\int_0^2f(s)\,ds\right]dt=2\int_0^2f-2\int_0^2f=0,\quad

所以 $G(x+2)=G(x)$ 。

按 $\pi$ 为一个周期拆分积分：先计算积分在 $k\pi$ 处的值，再令 $n\pi<x<(n+1)\pi$ 作夹逼。

令 $n\pi<x<(n+1)\pi$ ，对

\frac1{x^2}\int_0^x t|\sin t|\,dt

作上下放缩：

\frac1{(n+1)^2\pi^2}\int_0^{n\pi}t|\sin t|\,dt \le\frac1{x^2}\int_0^x t|\sin t|\,dt \le\frac1{n^2\pi^2}\int_0^{(n+1)\pi}t|\sin t|\,dt.

在一个周期上作代换 $t=k\pi+s$ ：

\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}t|\sin t|\,dt =\int_0^\pi(k\pi+s)\sin s\,ds=2k\pi+\pi,\quad

累加得 $\displaystyle\int_0^{n\pi}t|\sin t|\,dt=\pi n^2$ 。代入上下界：

\frac{n^2}{\pi(n+1)^2}\le\frac1{x^2}\int_0^x t|\sin t|\,dt\le\frac{(n+1)^2}{\pi n^2},\quad

令 $n\to\infty$ ，夹逼得极限为

\frac1\pi.

用周期性化简：由 $f$ 以 $5$ 为周期， $6=1+5$ ，故

f(6)=f(1),\quad \qquad f'(6)=f'(1).

求 $f(1)$ ：令 $x\to0$ ，由 $f$ 连续及 $1\pm\sin x\to1$ 得

f(1)-3f(1)=0,\quad

所以 $f(1)=0$ 。

求 $f'(1)$ ：原式两端同时除以 $x$ ：

\lim_{x\to0}\frac{f(1+\sin x)-f(1)}{\sin x} +3\lim_{x\to0}\frac{f(1-\sin x)-f(1)}{\sin x}=8.

第一项 $=\dfrac{\sin x}x\cdot$ 差商，趋于 $f'(1)$ ；第二项中 $\dfrac{\sin x}x$ 的符号处理与 $1-\sin x$ 的方向相反，贡献 $f'(1)$ （取负方向差商再乘负号），于是

f'(1)+3f'(1)=8,\quad \qquad f'(1)=2.

写切线：

y-f(6)=f'(6)(x-6),\quad

即

y=2x-12.

1.3.6 函数的对称性（仅 18 年数一、数三概率论中考察过）

💡 【PROPERTY】关于直线 $x=a$ 的对称性

若函数图像关于直线 $x=a$ 对称，则
$f(a-t)=f(a+t),\quad$
等价地（把 $t$ 换成 $a-x$ ）
$f(x)=f(2a-x).$
偶函数关于 $y$ 轴对称、奇函数关于原点对称都是这里的特例（ $a=0$ 的情形）；关于一般直线的对称性在考研中尚未单独命题。

判断依据：拿到条件 $f(a+x)=f(a-x)$ （或 $f(2a-x)=f(x)$ ），先把它翻译为”图像关于 $x=a$ 对称”，再利用对称性把一侧的概率或积分换算到另一侧。

1.3.7 函数的单调性和凹凸性

函数单调性与凹凸性的具体判断在第二章 2.3 节展开；本章只需知道复合函数单调性的基本判断，见例 1.78.1。

1.3.8 替换 $f()$ 括号内表达式求解函数

1.3.9 复合函数

1.3.10 取整函数

积分区域是一个扇形。将 $D$ 分为两部分：

D=D_1\cup D_2,\quad

D_1=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1,\ x\ge0,\ y\ge0\},

D_2=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le\sqrt2,\ x\ge0,\ y\ge0\}.

在 $D_1$ 上， $[1+x^2+y^2]=1$ ；在 $D_2$ 上， $[1+x^2+y^2]=2$ 。

因此，

\begin{aligned} \iint_Dxy[1+x^2+y^2]\,dx\,dy &=\iint_{D_1}xydxdy+\iint_{D_2}2xydxdy\\ &=\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_0^1r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot r\,dr\\ &\quad+2\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_1^{2^{\frac14}}r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot r\,dr\\ &=\frac12\int_0^{\frac\pi2}\sin2\theta\,d\theta \left(\int_0^1r^3\,dr+\int_1^{2^{\frac14}}2r^3\,dr\right)\\ &=\frac18+\frac14=\frac38. \end{aligned}

1.3.11 反函数（重点！）

1.3.11.1 反函数的基本概念

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $R_y$ 。如果每一个 $y\in R_y$ 都对应唯一的 $x\in D$ ，则可写成

x=f^{-1}(y),\quad

称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的反函数。

有时将自变量、因变量交换，写作

y=f^{-1}(x).

$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，且

f^{-1}(f(x))=x,\quad \qquad f(f^{-1}(x))=x.

使用条件：存在反函数的充要条件是 $f$ 在 $D$ 上一一对应（严格单调函数一定满足，但一一对应不一定单调）。上面两个恒等式在各自适用的定义域内才成立： $f^{-1}(f(x))=x$ 要求 $x\in D$ ， $f(f^{-1}(x))=x$ 要求 $x\in R_y$ 。

1.3.11.2 反函数的求导与二阶导

若 $x=\varphi(y)$ 单调、可导且 $\varphi'(y)\ne0$ ，其反函数 $y=f(x)$ 可导，且

f'(x)=\frac1{\varphi'(y)},\quad

也写作

\frac{dy}{dx}=\frac1{dx/dy}.

理由：对 $y=f(\varphi(y))$ 两边关于 $y$ 求导，得 $1=f'(x)\varphi'(y)$ ，移项即得。

反函数的二阶导数：

\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\dfrac{d^2x}{dy^2}}{\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^3},\quad

即

\varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.

注意：二阶导公式中带负号，且分母是 $(f'(x))^3$ ，不是 $(f'(x))^2$ ——这是最容易记错的地方。

1.3.11.3 三角函数的反函数

1.3.11.4 反函数中非常容易被忽略的性质！

两边求导：

f^{-1}(f(x))f'(x)=x\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}.

由 $f^{-1}(f(x))=x$ ，两边约去 $x$ （ $x>0$ ； $x=0$ 处由题设单独定出常数），得

f'(x)=\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}.

积分得

f(x)=\ln(\sin x+\cos x)+C.

由 $x=0$ 时积分上限为 $f(0)$ 、原式左端为 $0$ ；又 $f^{-1}$ 单调且非负，积分值为 $0$ 只可能来自积分区间退化，故 $f(0)=0$ ，从而 $C=0$ 。最后

f(x)=\ln(\sin x+\cos x),\quad \quad x\in[0,\pi/4].

代回验证：此时 $f'(x)=\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$ ，与原方程两边求导的结果一致。

易错点汇总

复合函数定义域： $f(g(x))$ 的定义域是 $x$ 的范围，中间量是 $g(x)$ 的范围，最后一步才是换成 $x$ 。
有界与无穷大： $x\sin x$ 无界但不趋于无穷；导数有界能推出函数有界，函数有界推不出导数有界。
偶函数的原函数：只有积分下限取 $0$ 时才是奇函数，换下限会破坏奇性。
周期函数的原函数：只有 $\displaystyle\int_0^Tf=0$ 时才以 $T$ 为周期。
对称性的翻译： $f(1+x)=f(1-x)$ 说明关于 $x=1$ 对称，不是关于 $y$ 轴对称。
反函数二阶导：公式带负号、分母是三次方。
$f^{-1}(f(x))=x$ 的定义域条件：越界使用是最常见的失分点。
积分值为 $0$ ：不能直接推出积分上下限相等，需要被积函数不变号。
取整函数：分段时注意整数点处的跳跃与端点归属。

我的总结

这一节的落脚点是”把函数的结构性条件翻译成可操作的形式”。

定义域、复合、换元这几节，我记的是同一件事： $f(\ )$ 括号里整体的范围是固定的，所有操作都要围绕这个不变量做。遇到 $f(x+1/x)$ 、 $f(1/x)$ 这类题，先凑出对称式或再写一个方程联立，比硬猜 $f$ 的形式快得多。

连续性、有界性、奇偶性、周期性这四节属于”性质传递”：连续性和有界性看运算与端点，奇偶性和周期性看求导与积分。我把两类结论单独抽出来记：偶函数的原函数只在 $0$ 至 $x$ 的积分下才是奇函数，周期函数的原函数只在整周期积分为 $0$ 时才是周期函数——这两个条件一旦漏掉就会出错。周期加积分的题，工具只有 $\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^Tf$ 和它的 $n$ 倍推广，把积分区间按周期切开基本就做完了。

反函数部分我给自己定的检查顺序是：先看单调区间（三角函数必须先截断），再写表达式，最后核对定义域与值域是否互换；用 $f^{-1}(f(x))=x$ 之前先确认 $x$ 在定义域里。二阶导那个负号和三次方我单独抄了一遍，避免临场记混。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）
常见考研数学教材与辅导资料
李林《880 题》系列、李艳芳《900 题》、张宇《基础三十讲》、武忠祥《高数辅导讲义》（题号后已标注出处）
本人课程学习笔记；其中「分段（分区域）讨论去取整符号」「偶函数原函数的奇性条件」等表述整理自本人课堂笔记，本笔记只保留结论的成立条件与检验方式。

ギターと孤独と蒼い惑星

1.3 函数性质

1.3 函数性质

核心结论

1.3.1 函数的定义域

1.3.2 函数的连续性

1.3.3 函数的有界性

1.3.4 函数的奇偶性

1.3.5 函数的周期性

1.3.6 函数的对称性（仅 18 年数一、数三概率论中考察过）

1.3.7 函数的单调性和凹凸性

1.3.8 替换 $f()$ 括号内表达式求解函数

1.3.9 复合函数

1.3.10 取整函数

1.3.11 反函数（重点！）

1.3.11.1 反函数的基本概念

1.3.11.2 反函数的求导与二阶导

1.3.11.3 三角函数的反函数

1.3.11.4 反函数中非常容易被忽略的性质！

易错点汇总

我的总结

参考资料

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1.3 函数性质

核心结论

1.3.1 函数的定义域

1.3.2 函数的连续性

1.3.3 函数的有界性

1.3.4 函数的奇偶性

1.3.5 函数的周期性

1.3.6 函数的对称性（仅 18 年数一、数三概率论中考察过）

1.3.7 函数的单调性和凹凸性

1.3.8 替换 f()f()f() 括号内表达式求解函数

1.3.9 复合函数

1.3.10 取整函数

1.3.11 反函数（重点！）

1.3.11.1 反函数的基本概念

1.3.11.2 反函数的求导与二阶导

1.3.11.3 三角函数的反函数

1.3.11.4 反函数中非常容易被忽略的性质！

易错点汇总

我的总结

参考资料

1.3.8 替换 $f()$ 括号内表达式求解函数