8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

一、变为对角标准型（特征值无重根）

当系统矩阵 $A$ 的特征方程没有重根（即具有 $n$ 个互不相同的特征值）时，系统必可通过线性非奇异坐标变换化为对角标准型（Diagonal Canonical Form），使各状态变量之间实现完全解耦。

1. 情况一： $A$ 阵为一般任意形式

设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，对应的特征矢量分别为 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ （满足 $AP_i = \lambda_i P_i$ ）。构造非奇异坐标变换矩阵：

T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & \cdots & P_n \end{bmatrix}

则经坐标变换 $x = Tz$ 后，系统矩阵转化为对角阵：

\Lambda = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

变换后的系统状态空间表达式为：

\begin{cases} \dot{z} = \Lambda z + \bar{B}u \\ y = \bar{C}z + Du \end{cases} \quad \text{其中 } \bar{B} = T^{-1}B, \; \bar{C} = CT

Step 1：求 $A$ 的特征值与特征向量

计算特征方程：

|\lambda I - A| = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0 \implies \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2, \; \lambda_3 = -3

分别求解 $( \lambda_i I - A ) P_i = 0$ ，求得各特征值对应的特征矢量为：

P_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad P_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad P_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}

Step 2：构造变换矩阵 $T$ 并求逆矩阵 $T^{-1}$

T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & P_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

行列式 $\det T = 1(18 - 24) + 1(6 - 2) = -6 + 4 = -2 \neq 0$ 。伴随矩阵法求逆得：

T^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & \frac{5}{2} & -2 \\ -3 & -4 & 3 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的系统各矩阵

\Lambda = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}

\bar{B} = T^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 & \frac{5}{2} & -2 \\ -3 & -4 & 3 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}

\bar{C} = CT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：写出对角型状态空间表达式

\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2 \\ \dot{z}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} \end{cases}

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（友元阵/伴随型）

当系统矩阵 $A$ 本身已经为能控标准型：

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}

且其特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 互不相同时，特征向量矩阵恰好构成范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）：

T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}

关键前提：该性质**仅在系统矩阵 $A$ 为能控标准型（友矩阵）**时成立。一般任意矩阵 $A$ 不满足此递推关系。

详细推导：设特征值 $\lambda_i$ 对应的特征向量为 $P_i = \begin{bmatrix} p_{1i} & p_{2i} & \cdots & p_{ni} \end{bmatrix}^T$ ，由特征向量定义 $AP_i = \lambda_i P_i$ ：

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1i} \\ p_{2i} \\ p_{3i} \\ \vdots \\ p_{ni} \end{bmatrix} = \lambda_i \begin{bmatrix} p_{1i} \\ p_{2i} \\ p_{3i} \\ \vdots \\ p_{ni} \end{bmatrix}

将矩阵逐行展开对比两端：

第 1 行： $p_{2i} = \lambda_i p_{1i}$
第 2 行： $p_{3i} = \lambda_i p_{2i} = \lambda_i^2 p_{1i}$
$\cdots$
第 $n-1$ 行： $p_{ni} = \lambda_i p_{n-1, i} = \lambda_i^{n-1} p_{1i}$
第 $n$ 行： $-a_0 p_{1i} - a_1 p_{2i} - \cdots - a_{n-1} p_{ni} = \lambda_i p_{ni} \implies (\lambda_i^n + a_{n-1}\lambda_i^{n-1} + \cdots + a_0) p_{1i} = 0$ （因 $\lambda_i$ 是特征方程的根，最后一行自动满足恒等式）。

故自由未知量仅有 $p_{1i}$ 一个，取 $p_{1i} = 1$ ，则第 $i$ 个特征向量天然为 $P_i = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_i & \lambda_i^2 & \cdots & \lambda_i^{n-1} \end{bmatrix}^T$ 。将各列拼合即得到范德蒙德矩阵！

Step 1：求系统特征值

|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 6 & 11 & \lambda + 6 \end{vmatrix} = \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0

特征根为： $\lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2, \; \lambda_3 = -3$ 。

Step 2：直接写出范德蒙德变换矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$

P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

计算求逆：

P^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2.5 & 0.5 \\ -3 & -4 & -1 \\ 1 & 1.5 & 0.5 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的矩阵

\bar{A} = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}

\bar{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 & 2.5 & 0.5 \\ -3 & -4 & -1 \\ 1 & 1.5 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{bmatrix}

\bar{C} = CP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：写出对角标准型

\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{\bar{x}}_1 \\ \dot{\bar{x}}_2 \\ \dot{\bar{x}}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \\ \bar{x}_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \\ \bar{x}_3 \end{bmatrix} \end{cases}

二、变为约旦标准型（特征值有重根）

当系统矩阵 $A$ 存在重特征值且线性无关的特征向量个数不足时， $A$ 无法相似对角化，只能化为约旦标准型（Jordan Canonical Form）。

1. 情况一： $A$ 阵为任意形式（广义特征矢量链法）

约旦标准型 $J$ 是由若干个约旦块构成的分块对角阵：

J = \begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & & & 0 \\ & J_2(\lambda_2) & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & J_k(\lambda_k) \end{bmatrix}

其中每个 $q \times q$ 阶约旦块的形式为（主对角线上为特征值 $\lambda_i$ ，第一上副对角线上全为 $1$ ）：

J_i(\lambda_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}_{q \times q}

设矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1$ 具有 $q$ 重重根，其余 $(n-q)$ 个为互异单根。变换矩阵构造为：

T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & \cdots & P_q & P_{q+1} & \cdots & P_n \end{bmatrix}

针对 $q$ 重重根 $\lambda_1$ ，建立广义特征矢量链（Jordan Chain）：

\begin{cases} (A - \lambda_1 I)P_1 = 0 &\Longleftrightarrow AP_1 = \lambda_1 P_1 \quad (P_1 \text{ 为普通特征向量}) \\ (A - \lambda_1 I)P_2 = P_1 &\Longleftrightarrow AP_2 = \lambda_1 P_2 + P_1 \quad (P_2 \text{ 为 1 阶广义特征向量}) \\ (A - \lambda_1 I)P_3 = P_2 &\Longleftrightarrow AP_3 = \lambda_1 P_3 + P_2 \quad (P_3 \text{ 为 2 阶广义特征向量}) \\ \quad \vdots \\ (A - \lambda_1 I)P_q = P_{q-1} &\Longleftrightarrow AP_q = \lambda_1 P_q + P_{q-1} \quad (P_q \text{ 为 } q-1 \text{ 阶广义特征向量}) \end{cases}

对其余互异单根 $\lambda_j$ （ $j = q+1, \cdots, n$ ），按常规方法求解普通特征向量 $(A - \lambda_j I)P_j = 0$ 。

Step 1：求系统特征值

|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 3\lambda - 2 = 0

因式分解得：

(\lambda + 1)^2(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_{1,2} = -1 \text{（二重根）}, \quad \lambda_3 = 2 \text{（单根）}

Step 2：求对应于 $\lambda_1 = -1$ 的特征矢量 $P_1$

由 $(A - \lambda_1 I)P_1 = 0 \iff (A + I)P_1 = 0$ ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} p_{11} + p_{21} = 0 \implies p_{21} = -p_{11} \\ p_{21} + p_{31} = 0 \implies p_{31} = -p_{21} = p_{11} \end{cases}

令 $p_{11} = 1$ ，得：

P_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Step 3：求对应于 $\lambda_2 = -1$ 的广义特征矢量 $P_2$

由广义特征链方程 $(A - \lambda_1 I)P_2 = P_1 \iff (A + I)P_2 = P_1$ ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

展开方程组：

\begin{cases} p_{12} + p_{22} = 1 \\ p_{22} + p_{32} = -1 \\ 2p_{12} + 3p_{22} + p_{32} = 1 \end{cases}

取自由未知量 $p_{22} = 0$ ，解得 $p_{12} = 1, \; p_{32} = -1$ 。故广义特征矢量为：

P_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}

Step 4：求对应于单根 $\lambda_3 = 2$ 的特征矢量 $P_3$

由 $(A - 2I)P_3 = 0$ ：

\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} p_{23} = 2p_{13} \\ p_{33} = 2p_{23} = 4p_{13} \end{cases}

取 $p_{13} = 1$ ，得：

P_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}

Step 5：构造变换矩阵 $T$ 并求逆

T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & P_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}

行列式 $\det T = 1(0 + 2) - 1(-4 - 2) + 1(1 - 0) = 2 + 6 + 1 = 9$ 。伴随矩阵求逆得：

T^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 6：计算各变换矩阵并写出约旦型表达式

J = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

\bar{B} = T^{-1}B = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{9} \end{bmatrix}

\bar{C} = CT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

最终得到约旦标准型：

\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2 \\ \dot{z}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{9} \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} \end{cases}

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（广义范德蒙德矩阵导数法）

若矩阵 $A$ 为伴随/能控标准型矩阵，且特征值 $\lambda_1$ 为 $q$ 重重根，其余为互异单根：

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}

则对应的变换矩阵可通过对范德蒙德基向量关于 $\lambda_1$ 求逐阶导数构造（以三重根 $\lambda_1$ 为例）：

T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & 1 & 0 & \cdots & \lambda_4 & \cdots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 & \cdots & \lambda_4^2 & \cdots & \lambda_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \frac{d}{d\lambda_1}(\lambda_1^{n-1}) & \frac{1}{2!}\frac{d^2}{d\lambda_1^2}(\lambda_1^{n-1}) & \cdots & \lambda_4^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}

设系统为 $n$ 阶能控标准型，基础范德蒙德向量函数为 $v(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda & \lambda^2 & \cdots & \lambda^{n-1} \end{bmatrix}^T$ ：

特征值重数	对应的列向量构造公式	对应生成的约旦块
单根 $\lambda_i$	$P_i = v(\lambda_i)$	$1\times 1$ 单元素 $[\lambda_i]$
二重根 $\lambda_1$	$P_1 = v(\lambda_1)$ $P_2 = \frac{d}{d\lambda_1}v(\lambda_1) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\lambda_1 & 3\lambda_1^2 & \cdots \end{bmatrix}^T$	$2\times 2$ 约旦块 $\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}$
三重根 $\lambda_1$	$P_1 = v(\lambda_1)$ $P_2 = \frac{d}{d\lambda_1}v(\lambda_1)$ $P_3 = \frac{1}{2!}\frac{d^2}{d\lambda_1^2}v(\lambda_1) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 3\lambda_1 & \cdots \end{bmatrix}^T$	$3\times 3$ 约旦块 $\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}$

💡 重要提醒：更高阶重根求导时，第 $k$ 阶广义向量务必除以阶乘系数 $\frac{1}{k!}$ （如 2 阶广义向量除以 $2! = 2$ ，3 阶广义向量除以 $3! = 6$ ），否则约旦块上方副对角线上的元素无法归一化为 $1$ 。

Step 1：求特征值

|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 1 & 3 & \lambda + 3 \end{vmatrix} = \lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1 = (\lambda + 1)^3 = 0

得到三重重根： $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = -1$ 。

Step 2：构造广义范德蒙德变换矩阵 $Q$ 及求逆

Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \lambda_1 & 1 & 0 \\ \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\lambda_1 = -1} Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}

下三角矩阵求逆：

Q^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的约旦阵 $J$

\begin{aligned} J = Q^{-1}AQ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}

成功化为一个 $3 \times 3$ 阶约旦块！

ギターと孤独と蒼い惑星

8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

一、变为对角标准型（特征值无重根）

1. 情况一： $A$ 阵为一般任意形式

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（友元阵/伴随型）

二、变为约旦标准型（特征值有重根）

1. 情况一： $A$ 阵为任意形式（广义特征矢量链法）

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（广义范德蒙德矩阵导数法）

三、考研核心总结与易错避坑

本节链接与知识导航

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8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

一、变为对角标准型（特征值无重根）

1. 情况一：AAA 阵为一般任意形式

2. 情况二：AAA 阵为能控标准型（友元阵/伴随型）

二、变为约旦标准型（特征值有重根）

1. 情况一：AAA 阵为任意形式（广义特征矢量链法）

2. 情况二：AAA 阵为能控标准型（广义范德蒙德矩阵导数法）

三、考研核心总结与易错避坑

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1. 情况一： $A$ 阵为一般任意形式

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（友元阵/伴随型）

1. 情况一： $A$ 阵为任意形式（广义特征矢量链法）

2. 情况二： $A$ 阵为能控标准型（广义范德蒙德矩阵导数法）