8.3.2 线性变换：变为能控标准型，变为能观标准型

一、变为能控标准型（Controllable Canonical Form）

1. 能控标准型的结构形式

若线性定常单输入单输出系统：

\begin{cases} \dot{x} = Ax + bu \\ y = cx \end{cases}

是完全状态能控的，则必存在非奇异坐标变换 $x = T_c \bar{x}$ ，将系统变换为如下的能控标准型：

\begin{cases} \dot{\bar{x}} = \bar{A}\bar{x} + \bar{b}u \\ y = \bar{c}\bar{x} \end{cases}

其中：

\bar{A} = T_c^{-1}AT_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix}_{n \times n}

\bar{b} = T_c^{-1}b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}_{n \times 1}, \quad \bar{c} = c T_c = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_{n-2} & \beta_{n-1} \end{bmatrix}_{1 \times n}

系统特征多项式为：

|\lambda I - A| = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0

2. 能控变换矩阵 $T_c$ 构造方法

Step 1：判别能控性 计算系统能控性判别矩阵：

M = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix}

若 $\operatorname{rank}(M) = n$ （满秩），则系统能控，可进行变换；否则不可化为单一的能控标准型。

Step 2：求系统特征多项式系数 计算行列式 $|\lambda I - A| = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ ，提取各阶多项式系数 $a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$ 。

Step 3：构造变换矩阵 $T_c$

T_c = \begin{bmatrix} A^{n-1}b & A^{n-2}b & \cdots & Ab & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-2} & a_{n-1} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

亦可写为等价形式：

T_c = \begin{bmatrix} b & Ab & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_2 & a_3 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}

Step 4：直接写出能控标准型

$\bar{A}$ 矩阵的第一副对角线全为 $1$ ，最后一行直接填入 $[-a_0, -a_1, \cdots, -a_{n-1}]$ ；
$\bar{b}$ 矩阵固定为 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}^T$ ；
$\bar{c} = c T_c$ 。

3. 能控标准型例题精讲

Step 1：判别系统的能控性

计算各阶向量：

b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Ab = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}

A^2b = A(Ab) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 8 \\ 12 \end{bmatrix}

能控性矩阵为：

M = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 16 \\ 1 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 12 \end{bmatrix}

行列式：

\det M = 2(72 - 16) - 4(12 - 8) + 16(2 - 6) = 112 - 16 - 64 = 32 \neq 0

$\operatorname{rank} M = 3 = n$ ，故系统状态完全能控。

Step 2：计算系统的特征多项式

\begin{aligned} |\lambda I - A| &= \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 & 0 \\ -3 & \lambda + 1 & -1 \\ 0 & -2 & \lambda \end{vmatrix} \\ &= (\lambda - 1)\begin{vmatrix} \lambda + 1 & -1 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} \\ &= (\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2) + 2(-3\lambda) \\ &= (\lambda^3 - 3\lambda + 2) - 6\lambda \\ &= \lambda^3 - 9\lambda + 2 \end{aligned}

对照标准特征多项式 $|\lambda I - A| = \lambda^3 + a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0$ ：

a_2 = 0, \quad a_1 = -9, \quad a_0 = 2

Step 3：直接写出 $\bar{A}$ 与 $\bar{b}$

\bar{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{bmatrix}

\bar{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Step 4：计算变换矩阵 $T_c$ 与输出矩阵 $\bar{c}$

由构造公式：

T_c = \begin{bmatrix} A^2b & Ab & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a_2 & 1 & 0 \\ a_1 & a_2 & 1 \end{bmatrix}

代入数据：

T_c = \begin{bmatrix} 16 & 4 & 2 \\ 8 & 6 & 1 \\ 12 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -9 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 \\ -1 & 6 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}

则输出矩阵：

\bar{c} = c T_c = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 \\ -1 & 6 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 5：写出系统的能控标准型

\begin{cases} \dot{\bar{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{bmatrix}\bar{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\bar{x} \end{cases}

Step 1：判别系统的能控性

b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Ab = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

A^2b = A(Ab) = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}

能控性矩阵：

M = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}

行列式 $\det M = 2(1 + 15) - 4(3 - 1) = 32 - 8 = 24 \neq 0$ 。 $\operatorname{rank} M = 3$ ，系统完全能控。

Step 2：计算特征多项式

\begin{aligned} |sI - A| &= \begin{vmatrix} s & -2 & 2 \\ -1 & s-1 & 2 \\ -2 & 2 & s-1 \end{vmatrix} \\ &= s[(s-1)^2 - 4] - (-2)[-(s-1) + 4] + 2[-2 + 2(s-1)] \\ &= s(s^2 - 2s - 3) + 2(-s + 5) + 2(2s - 4) \\ &= s^3 - 2s^2 - 3s - 2s + 10 + 4s - 8 \\ &= s^3 - 2s^2 - s + 2 \end{aligned}

提取特征多项式系数：

a_2 = -2, \quad a_1 = -1, \quad a_0 = 2

Step 3：直接写出系统的能控标准型

\dot{\bar{x}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}\bar{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\bar{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)

二、变为能观标准型（Observable Canonical Form）

1. 能观标准型的结构形式

若线性定常系统：

\begin{cases} \dot{x} = Ax + bu \\ y = cx \end{cases}

是完全状态能观的，则必存在非奇异坐标变换 $\bar{x} = T_o^{-1}x$ （即 $x = T_o \bar{x}$ ），将系统变换为如下的能观标准型：

\begin{cases} \dot{\bar{x}} = \bar{A}\bar{x} + \bar{b}u \\ y = \bar{c}\bar{x} \end{cases}

其中：

\bar{A} = T_o^{-1}AT_o = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}_{n \times n}

\bar{b} = T_o^{-1}b = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_{n-1} \end{bmatrix}_{n \times 1}, \quad \bar{c} = c T_o = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}_{1 \times n}

2. 能观变换矩阵逆矩阵 $T_o^{-1}$ 构造方法

Step 1：判别能观性 计算系统能观性判别矩阵：

N = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ cA^2 \\ \vdots \\ cA^{n-1} \end{bmatrix}

若 $\operatorname{rank}(N) = n$ （满秩），则系统能观。

Step 2：求系统特征多项式系数 计算 $|\lambda I - A| = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ 。

Step 3：直接构造变换矩阵的逆矩阵 $T_o^{-1}$

T_o^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & a_1 \\ 0 & 1 & a_{n-1} & \cdots & a_3 & a_2 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & a_4 & a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cA^{n-1} \\ cA^{n-2} \\ \vdots \\ cA \\ c \end{bmatrix}

Step 4：计算 $\bar{b}$ 并写出表达式

$\bar{A}$ 第一子对角线全为 $1$ ，最后一列为 $[-a_0, -a_1, \cdots, -a_{n-1}]^T$ ；
$\bar{c}$ 固定为 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ ；
$\bar{b} = T_o^{-1}b$ 。

3. 能观标准型例题精讲

Step 1：判别系统的能观性

计算各行向量：

c = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

cA = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}

cA^2 = (cA)A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}

能观性矩阵：

N = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ cA^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}

行列式 $\det N = 1 \times (0 - 12) = -12 \neq 0 \implies \operatorname{rank} N = 3$ ，系统完全能观。

Step 2：计算特征多项式系数

|\lambda I - A| = \lambda^3 - 9\lambda + 2 \implies a_2 = 0, \quad a_1 = -9, \quad a_0 = 2

Step 3：直接写出 $\bar{A}$ 与 $\bar{c}$

\bar{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & -a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

\bar{c} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：构造 $T_o^{-1}$ 并计算 $\bar{b}$

由三阶系统公式：

T_o^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & a_2 & a_1 \\ 0 & 1 & a_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cA^2 \\ cA \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

计算 $\bar{b} = T_o^{-1}b$ ：

\bar{b} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 2 - 7 \\ 0 + 2 + 0 \\ 0 + 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

Step 5：写出系统的能观标准型

\begin{cases} \dot{\bar{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\bar{x} + \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\bar{x} \end{cases}

方法：传递函数不变性秒杀法

能观性判定：系统矩阵 $A$ 为对角阵，且对角元素互异（ $\lambda = -1, -2, -3$ ），输出矩阵 $c = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ 的各列元素均非零，由对角线判据可知系统完全能观。
求系统传递函数 $G(s)$ ：
$\begin{aligned} G(s) &= C(sI - A)^{-1}B \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s+1 & 0 & 0 \\ 0 & s+2 & 0 \\ 0 & 0 & s+3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{2}{s+1} \\ \frac{3}{s+2} \\ \frac{4}{s+3} \end{bmatrix} \\ &= \frac{2}{s+1} - \frac{3}{s+2} + \frac{8}{s+3} \end{aligned}$
通分化为有理分式：
$\begin{aligned} G(s) &= \frac{2(s+2)(s+3) - 3(s+1)(s+3) + 8(s+1)(s+2)}{(s+1)(s+2)(s+3)} \\ &= \frac{2(s^2+5s+6) - 3(s^2+4s+3) + 8(s^2+3s+2)}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6} \\ &= \frac{(2-3+8)s^2 + (10-12+24)s + (12-9+16)}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6} \\ &= \frac{7s^2 + 22s + 19}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6} \end{aligned}$
由传递函数直接写出能观标准型：分母多项式系数： $a_2 = 6, \; a_1 = 11, \; a_0 = 6$ 分子多项式系数： $\beta_2 = 7, \; \beta_1 = 22, \; \beta_0 = 19$

直接写出能观标准型：
$\begin{cases} \dot{\bar{x}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & -11 \\ 0 & 1 & -6 \end{bmatrix}\bar{x}(t) + \begin{bmatrix} 19 \\ 22 \\ 7 \end{bmatrix}u(t) \\ y(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\bar{x}(t) \end{cases}$

三、能控与能观标准型的对偶对比与核心避坑

对比维度	能控标准型 (Controllable)	能观标准型 (Observable)
伴随系数 $-a_i$ 位置	位于系统矩阵 $\bar{A}$ 的最后一行	位于系统矩阵 $\bar{A}$ 的最后一列
常数 $1$ 的分布	位于 $\bar{A}$ 的第一主上副对角线	位于 $\bar{A}$ 的第一主下副对角线
输入阵 $\bar{b}$	规范形式： $\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}^T$	包含分子系数： $\begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_{n-1} \end{bmatrix}^T$
输出阵 $\bar{c}$	包含分子系数： $\begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_{n-1} \end{bmatrix}$	规范形式： $\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$
变换矩阵构造核心	直接构造 $T_c = M W$	直接构造 $T_o^{-1} = W N$
代数关系	两者互为转置对偶系统（即 $A_o = A_c^T, \; b_o = c_c^T, \; c_o = b_c^T$ ）

ギターと孤独と蒼い惑星

8.3.2 线性变换：变为能控标准型，变为能观标准型

8.3.2 线性变换：变为能控标准型，变为能观标准型

一、变为能控标准型（Controllable Canonical Form）

1. 能控标准型的结构形式

2. 能控变换矩阵 $T_c$ 构造方法

3. 能控标准型例题精讲

二、变为能观标准型（Observable Canonical Form）

1. 能观标准型的结构形式

2. 能观变换矩阵逆矩阵 $T_o^{-1}$ 构造方法

3. 能观标准型例题精讲

三、能控与能观标准型的对偶对比与核心避坑

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8.3.2 线性变换：变为能控标准型，变为能观标准型

一、变为能控标准型（Controllable Canonical Form）

1. 能控标准型的结构形式

2. 能控变换矩阵 TcT_cTc​ 构造方法

3. 能控标准型例题精讲

二、变为能观标准型（Observable Canonical Form）

1. 能观标准型的结构形式

2. 能观变换矩阵逆矩阵 To−1T_o^{-1}To−1​ 构造方法

3. 能观标准型例题精讲

三、能控与能观标准型的对偶对比与核心避坑

本节链接与知识导航

2. 能控变换矩阵 $T_c$ 构造方法

2. 能观变换矩阵逆矩阵 $T_o^{-1}$ 构造方法