8.4.1 状态转移矩阵的求解及其性质

[TOC]

一、状态转移矩阵的定义与时域意义

1. 状态转移矩阵的定义

二、状态转移矩阵的求解方法体系

求解状态转移矩阵分为两大核心分类：

基本求解方法：
1. 定义法（幂级数法）
2. 拉氏变换法（最通用、考研最常用）
利用特殊矩阵进行求解： 3. 对角矩阵法（特征值互异 / 可对角化系统） 4. 约旦矩阵法（含重特征值且不可对角化系统）
考研王牌提速补充： 5. Cayley-Hamilton 定理多项式法 6. Sylvester 插值公式法

1. 基本方法一：定义法（幂级数展开法）

【讲义原版例题】定义法展开展示

步骤 1：计算 $A$ 的各次幂

A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}

A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ -14 & -15 \end{bmatrix}

步骤 2：代入定义式

\begin{aligned} e^{At} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} t + \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \frac{t^2}{2!} + \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ -14 & -15 \end{bmatrix} \frac{t^3}{3!} + \cdots \\ &= \begin{bmatrix} 1 - t^2 + t^3 - \cdots & t - \frac{3}{2}t^2 + \frac{7}{6}t^3 - \cdots \\ -2t + 3t^2 - \frac{7}{3}t^3 + \cdots & 1 - 3t + \frac{7}{2}t^2 - \frac{5}{2}t^3 + \cdots \end{bmatrix} \end{aligned}

(由此可见，一般矩阵采用此法极难直接看出收敛初等函数，必须采用后续解析方法！)

2. 基本方法二：拉氏变换法（考研首选万能法）

💡 【PROOF】 $\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left[ (sI - A)^{-1} \right]$ 的简明推导

考虑齐次状态方程 $\dot{x}(t) = Ax(t)$ ，两边取拉氏变换： $sX(s) - x(0) = AX(s) \implies (sI - A)X(s) = x(0)$

两边左乘 $(sI - A)^{-1}$ 并取拉氏反变换： $X(s) = (sI - A)^{-1}x(0) \implies x(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[ (sI - A)^{-1} \right] x(0)$

由状态转移矩阵定义 $x(t) = \Phi(t)x(0) = e^{At}x(0)$ ，对比系数矩阵即得： $\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left[ (sI - A)^{-1} \right]$

【讲义原版例题】拉氏变换法求解 $2 \times 2$ 矩阵

步骤 1：构造特征矩阵 $sI - A$

sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix}

步骤 2：计算行列式与伴随矩阵 行列式（特征多项式）：

|sI - A| = s(s+3) - (-1)(2) = s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2)

伴随矩阵（二阶口诀：主对角互换，副对角变号）：

\operatorname{adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}

步骤 3：写出逆矩阵并进行部分分式裂项

\begin{aligned} (sI - A)^{-1} &= \frac{1}{|sI - A|} \operatorname{adj}(sI - A) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} & \frac{1}{(s+1)(s+2)} \\ \frac{-2}{(s+1)(s+2)} & \frac{s}{(s+1)(s+2)} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} & \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \\ \frac{-2}{s+1} + \frac{2}{s+2} & \frac{-1}{s+1} + \frac{2}{s+2} \end{bmatrix} \end{aligned}

步骤 4：逐项求拉氏反变换 由 $\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s-a} \right] = e^{at}$ 得：

e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left[ (sI - A)^{-1} \right] = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}

3. 利用特殊矩阵求解之一：对角矩阵法

对角阵的指数矩阵：若 $A = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ ，则其状态转移矩阵为各对角元素的指数函数： $\Phi(t) = e^{\Lambda t} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & & 0 \\ & e^{\lambda_2 t} & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}$
一般可对角化矩阵的求解步骤：若存在变换矩阵 $T$ 满足 $T^{-1} A T = \Lambda$ （即 $A = T \Lambda T^{-1}$ ），则： $e^{At} = \Phi(t) = T e^{\Lambda t} T^{-1} = T \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} T^{-1}$

【讲义原版例题】对角矩阵法求解

步骤 1：求特征值与对角阵 $\Lambda$ 特征方程 $|\lambda I - A| = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2$ 。故对角矩阵为：

\Lambda = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

步骤 2：求变换矩阵 $T$ 及其逆矩阵 $T^{-1}$

当 $\lambda_1 = -1$ 时，由 $(-I - A)v_1 = 0 \implies \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = 0$ ，取特征向量 $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ （讲义选法，亦可取 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ）；
当 $\lambda_2 = -2$ 时，由 $(-2I - A)v_2 = 0 \implies \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = 0$ ，取特征向量 $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ 。

构造相应的变换矩阵及其逆矩阵：

T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}, \quad T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

步骤 3：矩阵连乘求解 $e^{At}$

\begin{aligned} e^{At} = \Phi(t) &= T e^{\Lambda t} T^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2e^{-t} & e^{-2t} \\ -2e^{-t} & -2e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix} \end{aligned}

4. 利用特殊矩阵求解之二：约旦矩阵法

约旦块的矩阵指数：设 $n$ 阶约旦块为 $J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & 0 \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda \end{bmatrix}_{n \times n}$ ，其矩阵指数解析式为上三角 Toeplitz 结构： $e^{Jt} = \Phi(t) = e^{\lambda t} \begin{bmatrix} 1 & t & \frac{1}{2!} t^2 & \cdots & \frac{1}{(n-1)!} t^{n-1} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{1}{(n-2)!} t^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & t \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}$
相似变换求解原矩阵指数：若存在变换矩阵 $T$ 使得 $T^{-1} A T = J$ ，则： $e^{At} = \Phi(t) = T e^{Jt} T^{-1}$

【讲义原版例题】三阶含二重根系统的约旦矩阵法求解

步骤 1：求特征值与约旦标准型 $J$ 计算特征方程：

|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & 5 & \lambda - 4 \end{vmatrix} = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2 = (\lambda - 1)^2 (\lambda - 2) = 0

解得特征值为： $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ （二重根）， $\lambda_3 = 2$ （单根）。

由于重根 $\lambda = 1$ 的几何重数为 $3 - \operatorname{rank}(I - A) = 3 - 2 = 1 < 2$ ，系统无法对角化，对应一个二阶约旦块。约旦标准型及其指数矩阵为：

J = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \implies e^{Jt} = \begin{bmatrix} e^t & t e^t & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^{2t} \end{bmatrix}

步骤 2：构造变换矩阵 $T$ 与 $T^{-1}$ 设 $T = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}$ ，满足 $A T = T J$ ：

$A v_1 = 1 \cdot v_1 \implies (I - A)v_1 = 0 \implies v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （主特征向量）
$A v_2 = v_1 + 1 \cdot v_2 \implies (A - I)v_2 = v_1 \implies v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ （广义特征向量）
$A v_3 = 2 v_3 \implies (2I - A)v_3 = 0 \implies v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ （特征值 2 对应的特征向量）

求得相应的变换矩阵及其逆矩阵：

T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad T^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 5 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}

步骤 3：矩阵连乘求 $e^{At}$ 先计算 $T e^{Jt}$ ：

T e^{Jt} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^t & t e^t & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^{2t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^t & (t-1)e^t & e^{2t} \\ e^t & t e^t & 2e^{2t} \\ e^t & (t+1)e^t & 4e^{2t} \end{bmatrix}

再乘以 $T^{-1}$ ：

\begin{aligned} e^{At} = \Phi(t) &= T e^{Jt} T^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} e^t & (t-1)e^t & e^{2t} \\ e^t & t e^t & 2e^{2t} \\ e^t & (t+1)e^t & 4e^{2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 5 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2te^t + e^{2t} & 3te^t + 2e^t - 2e^{2t} & -te^t - e^t + e^{2t} \\ 2(e^{2t} - te^t - e^t) & 3te^t + 5e^t - 4e^{2t} & -te^t - 2e^t + 2e^{2t} \\ -2te^t - 4e^t + 4e^{2t} & 3te^t + 8e^t - 8e^{2t} & -te^t - 3e^t + 4e^{2t} \end{bmatrix} \end{aligned}

三、状态转移矩阵的基本性质与反求系统矩阵 $A$

1. 状态转移矩阵的基本性质表（讲义原版对照）

设系统矩阵为 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，其状态转移矩阵 $\Phi(t) = e^{At}$ 满足以下 5 大基本性质（讲义 p.652 表格）：

性质编号	状态转移矩阵形式 $\Phi(t)$	矩阵指数形式 $e^{At}$	物理与数学意义
性质一	$\Phi(t \pm \tau) = \Phi(t) \Phi(\pm \tau) = \Phi(\pm \tau) \Phi(t)$	$e^{A(t \pm \tau)} = e^{At} e^{\pm A\tau} = e^{\pm A\tau} e^{At}$	可交换半群性：同系统矩阵的转移具有可交换性
性质二	$\Phi(0) = I$	$e^{A(0)} = I$	初始状态同一性：零时刻状态不发生改变（验算准则）
性质三	$[\Phi(t)]^{-1} = \Phi(-t)$	$[e^{At}]^{-1} = e^{-At}$	时间反演可逆性：逆矩阵等于时间取负号
性质四	$\dot{\Phi}(t) = A \Phi(t) = \Phi(t) A$	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{At} = A e^{At} = e^{At} A$	微分换位性：求导可从左边或右边提 $A$ 阵
性质五	$\Phi(t_2 - t_0) = \Phi(t_2 - t_1) \Phi(t_1 - t_0)$	$e^{A(t_2 - t_1)} e^{A(t_1 - t_0)} = e^{A(t_2 - t_0)}$	状态传递性（分段转移）：多段连续转移等价于总转移

2. 【讲义原版例题】已知状态转移矩阵反求系统矩阵 $A$

解题原理：根据状态转移矩阵的微分性质：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi(t) = \Phi(t) A

在 $t=0$ 处求值，因为 $\Phi(0) = I$ ，可得：

\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi(t) \right|_{t=0} = \Phi(0) A = A

求导与代入计算：对 $\Phi(t)$ 中各元素分别对时间 $t$ 求一阶导数：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{-t}) = -e^{-t} \xrightarrow{t=0} -1$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[(1-2t)e^{-2t}\right] = -2e^{-2t} - 2(1-2t)e^{-2t} = (-4 + 4t)e^{-2t} \xrightarrow{t=0} -4$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[4te^{-2t}\right] = 4e^{-2t} - 8te^{-2t} = (4 - 8t)e^{-2t} \xrightarrow{t=0} 4$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[te^{-2t}\right] = e^{-2t} - 2te^{-2t} = (1 - 2t)e^{-2t} \xrightarrow{t=0} 1$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[e^{-2t}\right] = -2e^{-2t} \xrightarrow{t=0} -2$

于是得到：

A = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi(t) \right|_{t=0} = \left. \begin{bmatrix} -e^{-t} & 0 & 0 \\ 0 & (-4+4t)e^{-2t} & (4-8t)e^{-2t} \\ 0 & (1-2t)e^{-2t} & -2e^{-2t} \end{bmatrix} \right|_{t=0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

四、课堂练习与实战演练（讲义 p.653～654）

由系统方程可知系统矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$ 。

(1) 利用对角矩阵：

计算矩阵 $A$ 的特征值： $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2$
此时对角矩阵为： $\Lambda = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$
求得相应的变换矩阵（取标准特征向量）： $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$
求得状态转移矩阵为： $\begin{aligned} e^{At} = P e^{\Lambda t} P^{-1} &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix} \end{aligned}$

(2) 拉氏变换法：

频域特征矩阵求逆并裂项： $(sI - A)^{-1} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} & \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \\ \frac{-2}{s+1} + \frac{2}{s+2} & \frac{-1}{s+1} + \frac{2}{s+2} \end{bmatrix}$
求拉氏反变换求得状态转移矩阵为： $\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left[ (sI - A)^{-1} \right] = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

五、考研高分进阶解法拓展（Cayley-Hamilton & Sylvester）

除讲义介绍的四种经典方法外，以下两种方法在考研试卷中能够极大减少矩阵求逆与特征向量计算，属于提速秒杀技巧：

1. Cayley-Hamilton 定理法（多项式待定系数法）

2. Sylvester 插值公式法（互异特征值专用秒杀）

【经典例题实战】Sylvester 插值公式秒杀二阶系统

步骤 1：求特征值 特征方程：

|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 2 & \lambda + 3 \end{vmatrix} = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda + 2) = 0

解得两个互异特征值： $\lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2$ 。

步骤 2：写出二阶 Sylvester 插值展开基矩阵

e^{At} = e^{\lambda_1 t} Z_1 + e^{\lambda_2 t} Z_2

其中：

$Z_1 = \dfrac{A - \lambda_2 I}{\lambda_1 - \lambda_2} = \dfrac{A - (-2)I}{-1 - (-2)} = A + 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$
$Z_2 = \dfrac{A - \lambda_1 I}{\lambda_2 - \lambda_1} = \dfrac{A - (-1)I}{-2 - (-1)} = -(A + I) = -\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$

💡 极速自检验证（完备性）： $Z_1 + Z_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \text{（验证通过！）}$

步骤 3：线性组合直接写出答案

\begin{aligned} e^{At} &= e^{-t} Z_1 + e^{-2t} Z_2 \\ &= e^{-t} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} + e^{-2t} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}} \end{aligned}

(结果与拉氏变换法、对角化法完全一致，耗时不到 1 分钟！)

ギターと孤独と蒼い惑星

8.4.1 状态转移矩阵的求解及其性质

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1. 基本方法一：定义法（幂级数展开法）

【讲义原版例题】定义法展开展示

2. 基本方法二：拉氏变换法（考研首选万能法）

【讲义原版例题】拉氏变换法求解 $2 \times 2$ 矩阵

3. 利用特殊矩阵求解之一：对角矩阵法

【讲义原版例题】对角矩阵法求解

4. 利用特殊矩阵求解之二：约旦矩阵法

【讲义原版例题】三阶含二重根系统的约旦矩阵法求解

三、状态转移矩阵的基本性质与反求系统矩阵 $A$

1. 状态转移矩阵的基本性质表（讲义原版对照）

2. 【讲义原版例题】已知状态转移矩阵反求系统矩阵 $A$

四、课堂练习与实战演练（讲义 p.653～654）

五、考研高分进阶解法拓展（Cayley-Hamilton & Sylvester）

1. Cayley-Hamilton 定理法（多项式待定系数法）

2. Sylvester 插值公式法（互异特征值专用秒杀）

【经典例题实战】Sylvester 插值公式秒杀二阶系统

六、考研复习精要与解题心法（[!tip] & [!pitfall]）

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【讲义原版例题】拉氏变换法求解 2×22 \times 22×2 矩阵

3. 利用特殊矩阵求解之一：对角矩阵法

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4. 利用特殊矩阵求解之二：约旦矩阵法

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三、状态转移矩阵的基本性质与反求系统矩阵 AAA

1. 状态转移矩阵的基本性质表（讲义原版对照）

2. 【讲义原版例题】已知状态转移矩阵反求系统矩阵 AAA

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五、考研高分进阶解法拓展（Cayley-Hamilton & Sylvester）

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【讲义原版例题】拉氏变换法求解 $2 \times 2$ 矩阵

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