8.3.1 线性变换基础知识

一、线性变换（坐标变换）的定义与基本关系

1. 变换关系与系统矩阵推导

设原系统的状态空间表达式为：

\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}

其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 为原状态向量， $u \in \mathbb{R}^p$ 为控制输入， $y \in \mathbb{R}^q$ 为系统输出。

引入线性非奇异坐标变换：

x = Tz \quad \Longleftrightarrow \quad z = T^{-1}x

其中 $T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为任意非奇异矩阵（ $\det T \neq 0$ ），称为坐标变换矩阵； $z \in \mathbb{R}^n$ 为新状态向量。

将 $x = Tz$ 代入原状态空间方程：

\begin{aligned} T\dot{z} &= A(Tz) + Bu \implies \dot{z} = T^{-1}ATz + T^{-1}Bu \\ y &= C(Tz) + Du = CTz + Du \end{aligned}

二、基础计算例题

Step 1：求变换矩阵 $T$ 的逆矩阵 $T^{-1}$

计算行列式 $\det T = 6 \times 0 - 2 \times 2 = -4 \neq 0$ 。伴随矩阵法求逆：

T^{-1} = \frac{1}{\det T} \operatorname{adj}(T) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

Step 2：计算变换后的系统矩阵 $\bar{A}$

\begin{aligned} \bar{A} = T^{-1}AT &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned}

Step 3：计算变换后的输入矩阵 $\bar{B}$ 与输出矩阵 $\bar{C}$

\bar{B} = T^{-1}B = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

\bar{C} = CT = \begin{bmatrix} 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \end{bmatrix}

Step 4：写出变换后的状态空间表达式

\begin{cases} \dot{z} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}z + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 6 & 0 \end{bmatrix}z \end{cases}

三、线性变换的核心不变量性质

线性变换改变了系统内部状态的描述坐标，但系统的内在本质动态特性（输入-输出外部特性及结构特征）保持不变。

1. 特征多项式与特征值不变性

经非奇异线性变换后，系统矩阵 $\bar{A}$ 与原矩阵 $A$ 具有完全相同的特征多项式和特征值。

数学证明：

\begin{aligned} |\lambda I - \bar{A}| &= |\lambda I - T^{-1}AT| \\ &= |\lambda T^{-1}IT - T^{-1}AT| \\ &= |T^{-1}(\lambda I - A)T| \\ &= |T^{-1}| \cdot |\lambda I - A| \cdot |T| \\ &= |T^{-1}| \cdot |T| \cdot |\lambda I - A| \\ &= |T^{-1}T| \cdot |\lambda I - A| \\ &= |I| \cdot |\lambda I - A| = |\lambda I - A| \end{aligned}

证毕。

2. 传递函数（传递矩阵）不变性

经非奇异线性变换后，系统的传递函数矩阵保持不变，即 $G'(s) = G(s)$ 。

数学证明： 变换后系统的传递函数矩阵为：

G'(s) = \bar{C}(sI - \bar{A})^{-1}\bar{B} + \bar{D}

将 $\bar{A} = T^{-1}AT, \; \bar{B} = T^{-1}B, \; \bar{C} = CT, \; \bar{D} = D$ 代入：

\begin{aligned} G'(s) &= CT\left(sI - T^{-1}AT\right)^{-1}T^{-1}B + D \\ &= CT\left(T^{-1}sIT - T^{-1}AT\right)^{-1}T^{-1}B + D \\ &= CT\left[T^{-1}(sI - A)T\right]^{-1}T^{-1}B + D \\ &= CT \cdot \left[ T^{-1} (sI - A)^{-1} (T^{-1})^{-1} \right] T^{-1}B + D \\ &= C \underbrace{(T T^{-1})}_{I} (sI - A)^{-1} \underbrace{(T T^{-1})}_{I} B + D \\ &= C(sI - A)^{-1}B + D = G(s) \end{aligned}

证毕。

3. 能控性与能观性不变性

线性变换不改变系统的能控性与能观性。即原系统完全能控（能观），变换后的系统也必完全能控（能观）。

证明要点：

能控性判别矩阵： $\begin{aligned} \bar{M} &= \begin{bmatrix} \bar{B} & \bar{A}\bar{B} & \bar{A}^2\bar{B} & \cdots & \bar{A}^{n-1}\bar{B} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T^{-1}B & (T^{-1}AT)(T^{-1}B) & \cdots & (T^{-1}A^{n-1}T)(T^{-1}B) \end{bmatrix} \\ &= T^{-1} \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} = T^{-1}M \end{aligned}$ 由于 $T^{-1}$ 为非奇异矩阵，故 $\operatorname{rank}(\bar{M}) = \operatorname{rank}(M)$ 。
能观性判别矩阵： $\begin{aligned} \bar{N} &= \begin{bmatrix} \bar{C} \\ \bar{C}\bar{A} \\ \vdots \\ \bar{C}\bar{A}^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} CT \\ CT(T^{-1}AT) \\ \vdots \\ CT(T^{-1}A^{n-1}T) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} T = NT \end{aligned}$ 由于 $T$ 为非奇异矩阵，故 $\operatorname{rank}(\bar{N}) = \operatorname{rank}(N)$ 。

四、特征值与特征向量求解法

Step 1：求 $A$ 的特征多项式与特征根

计算特征行列式：

\begin{aligned} |\lambda I - A| &= \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 1 \\ 6 & \lambda + 11 & -6 \\ 6 & 11 & \lambda - 5 \end{vmatrix} \end{aligned}

行初等变换化简（第 2 行减去第 3 行）：

\begin{aligned} |\lambda I - A| &= \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 1 \\ 0 & \lambda & -(\lambda + 1) \\ 6 & 11 & \lambda - 5 \end{vmatrix} \\ &= \lambda \begin{vmatrix} \lambda & -(\lambda+1) \\ 11 & \lambda-5 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 0 & -(\lambda+1) \\ 6 & \lambda-5 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & \lambda \\ 6 & 11 \end{vmatrix} \\ &= \lambda [\lambda(\lambda-5) + 11(\lambda+1)] + [6(\lambda+1)] + [-6\lambda] \\ &= \lambda (\lambda^2 + 6\lambda + 11) + 6 \\ &= \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 \end{aligned}

因式分解得：

(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0

解得 3 个互异特征根为：

\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = -2, \quad \lambda_3 = -3

Step 2：求对应于 $\lambda_1 = -1$ 的特征矢量 $P_1$

设 $P_1 = \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix}$ ，按定义 $A P_1 = \lambda_1 P_1$ （即 $A P_1 = -P_1$ ）：

\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -6 & -11 & 6 \\ -6 & -11 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -p_{11} \\ -p_{21} \\ -p_{31} \end{bmatrix}

展开为齐次线性方程组：

\begin{cases} p_{21} - p_{31} = -p_{11} &\implies p_{11} + p_{21} - p_{31} = 0 \\ -6p_{11} - 11p_{21} + 6p_{31} = -p_{21} &\implies -6p_{11} - 10p_{21} + 6p_{31} = 0 \\ -6p_{11} - 11p_{21} + 5p_{31} = -p_{31} &\implies -6p_{11} - 11p_{21} + 6p_{31} = 0 \end{cases}

由方程 2 减去方程 3 可得：

p_{21} = 0

代入方程 1 得：

p_{11} = p_{31}

令自由未知量 $p_{11} = p_{31} = 1$ ，则求得特征矢量：

P_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Step 3：求对应于 $\lambda_2 = -2$ 的特征矢量 $P_2$

设 $P_2 = \begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix}$ ，由 $A P_2 = -2 P_2$ ：

\begin{cases} p_{22} - p_{32} = -2p_{12} &\implies 2p_{12} + p_{22} - p_{32} = 0 \\ -6p_{12} - 11p_{22} + 6p_{32} = -2p_{22} &\implies -6p_{12} - 9p_{22} + 6p_{32} = 0 \\ -6p_{12} - 11p_{22} + 5p_{32} = -2p_{32} &\implies -6p_{12} - 11p_{22} + 7p_{32} = 0 \end{cases}

解此方程组可得比例关系： $p_{12} : p_{22} : p_{32} = 1 : 2 : 4$ 。取自由未知量 $p_{12} = 1$ ，求得特征矢量：

P_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}

Step 4：求对应于 $\lambda_3 = -3$ 的特征矢量 $P_3$

设 $P_3 = \begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix}$ ，由 $A P_3 = -3 P_3$ ：

\begin{cases} p_{23} - p_{33} = -3p_{13} &\implies 3p_{13} + p_{23} - p_{33} = 0 \\ -6p_{13} - 11p_{23} + 6p_{33} = -3p_{23} &\implies -6p_{13} - 8p_{23} + 6p_{33} = 0 \\ -6p_{13} - 11p_{23} + 5p_{33} = -3p_{33} &\implies -6p_{13} - 11p_{23} + 8p_{33} = 0 \end{cases}

解此方程组可得比例关系： $p_{13} : p_{23} : p_{33} = 1 : 6 : 9$ 。取自由未知量 $p_{13} = 1$ ，求得特征矢量：

P_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}

五、考研手算技巧：3阶矩阵特征向量速解法

手算求 $3 \times 3$ 矩阵的特征向量时，直接联立消元解方程组耗时且易出错。针对无重根（单特征值）的三阶矩阵，可采用以下两种极速秒杀方法：

1. 代数余子式法（伴随矩阵列向量法，最强手算秒杀）

由伴随矩阵性质 $(\lambda_i I - A) \operatorname{adj}(\lambda_i I - A) = |\lambda_i I - A| I = 0$ 可知：矩阵 $(\lambda_i I - A)$ 的任意一行元素的代数余子式 $(A_{k1}, A_{k2}, A_{k3})^T$ 天然是对应于 $\lambda_i$ 的特征向量（只要不全为 0）。

计算口诀（以取第 1 行为例）：正、负、正

P_i = \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ A_{13} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} +M_{11} \\ -M_{12} \\ +M_{13} \end{bmatrix}

$A_{11}$ ：划去第 1 行第 1 列，算 2 阶行列式，取正号；
$A_{12}$ ：划去第 1 行第 2 列，算 2 阶行列式，取负号（添负号）；
$A_{13}$ ：划去第 1 行第 3 列，算 2 阶行列式，取正号。

原矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -6 & -11 & 6 \\ -6 & -11 & 5 \end{bmatrix}$ ：

当 $\lambda_1 = -1$ 时，写出 $(\lambda_1 I - A) = \begin{bmatrix} \mathbf{-1} & \mathbf{-1} & \mathbf{1} \\ 6 & 10 & -6 \\ 6 & 11 & -6 \end{bmatrix}$ ： $\begin{aligned} A_{11} &= +\begin{vmatrix} 10 & -6 \\ 11 & -6 \end{vmatrix} = -60 - (-66) = 6 \\ A_{12} &= -\begin{vmatrix} 6 & -6 \\ 6 & -6 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{13} &= +\begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 6 & 11 \end{vmatrix} = 66 - 60 = 6 \end{aligned} \implies P_1 = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
当 $\lambda_2 = -2$ 时，写出 $(\lambda_2 I - A) = \begin{bmatrix} \mathbf{-2} & \mathbf{-1} & \mathbf{1} \\ 6 & 9 & -6 \\ 6 & 11 & -7 \end{bmatrix}$ ： $\begin{aligned} A_{11} &= \begin{vmatrix} 9 & -6 \\ 11 & -7 \end{vmatrix} = -63 + 66 = 3 \\ A_{12} &= -\begin{vmatrix} 6 & -6 \\ 6 & -7 \end{vmatrix} = -(-42 + 36) = 6 \\ A_{13} &= \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 6 & 11 \end{vmatrix} = 66 - 54 = 12 \end{aligned} \implies P_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 12 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$
当 $\lambda_3 = -3$ 时，写出 $(\lambda_3 I - A) = \begin{bmatrix} \mathbf{-3} & \mathbf{-1} & \mathbf{1} \\ 6 & 8 & -6 \\ 6 & 11 & -8 \end{bmatrix}$ ： $\begin{aligned} A_{11} &= \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 11 & -8 \end{vmatrix} = -64 + 66 = 2 \\ A_{12} &= -\begin{vmatrix} 6 & -6 \\ 6 & -8 \end{vmatrix} = -(-48 + 36) = 12 \\ A_{13} &= \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 6 & 11 \end{vmatrix} = 66 - 48 = 18 \end{aligned} \implies P_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 18 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}$

2. 向量叉乘法（三维空间几何法）

方程 $(\lambda_i I - A)P_i = 0$ 表明特征向量 $P_i$ 与矩阵 $(\lambda_i I - A)$ 的每一个行向量都正交（点积为 0）。

在三维空间中，两个不共线向量的外积（叉乘）天然同时垂直于这两个向量。因此只需在 $(\lambda_i I - A)$ 中任选两个不成比例的行向量 $\alpha_1, \alpha_2$ ，直接求叉乘即可：

P_i = \alpha_1 \times \alpha_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \end{vmatrix}

ギターと孤独と蒼い惑星

8.3.1 线性变换基础知识

8.3.1 线性变换基础知识

一、线性变换（坐标变换）的定义与基本关系

1. 变换关系与系统矩阵推导

二、基础计算例题

三、线性变换的核心不变量性质

1. 特征多项式与特征值不变性

2. 传递函数（传递矩阵）不变性

3. 能控性与能观性不变性

四、特征值与特征向量求解法

五、考研手算技巧：3阶矩阵特征向量速解法

1. 代数余子式法（伴随矩阵列向量法，最强手算秒杀）

2. 向量叉乘法（三维空间几何法）

本节链接与知识导航

Comments