8.2.7 系统的传递函数（矩阵）

一、核心公式与理论推导

设线性定常系统状态空间表达式为：

\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\[4pt] y(t) = Cx(t) + Du(t) \end{cases}

在零初始条件 $x(0) = 0$ 下，取 Laplace 变换：

\begin{cases} sX(s) = AX(s) + BU(s) \implies (sI - A)X(s) = BU(s) \\[4pt] Y(s) = CX(s) + DU(s) \end{cases}

由于 $(sI - A)$ 在复平面上几乎处处可逆，解得状态向量频域解：

X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)

代入输出方程，得传递函数矩阵：

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI - A)^{-1}B + D

二、矩阵伴随法求逆与特征多项式

三、经典例题规范解析

第一步：计算特征矩阵 $(sI - A)$ 及其行列式

sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix}

|sI - A| = s(s + 3) - (-1)(2) = s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

第二步：计算伴随矩阵 $(sI - A)^* = \operatorname{adj}(sI - A)$ 二阶矩阵伴随公式： $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

(sI - A)^* = \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}

第三步：矩阵连乘计算分子

(sI - A)^* B = \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ s \end{bmatrix}

C(sI - A)^* B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ s \end{bmatrix} = s + 1

第四步：装配传递函数并化简

G(s) = \frac{s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{1}{s + 2}

ギターと孤独と蒼い惑星

8.2.7 系统的传递函数（矩阵）

8.2.7 系统的传递函数（矩阵）

一、核心公式与理论推导

二、矩阵伴随法求逆与特征多项式

三、经典例题规范解析

四、MIMO 多输入多输出系统传递函数矩阵

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