自动控制原理

0° 根轨迹来自正反馈系统的特征方程 1-G(s)H(s)=0，相角条件由 (2k+1)π 变为 2kπ。本文整理其相角/模值条件，以及实轴根轨迹、渐近线交角、起始角终止角三条与常规根轨迹不同的法则。

自动控制做相角、相位裕度时常要手算 arctan，本文按 x 大小分四个区间，分别用小角近似、三阶泰勒、折半公式、余角公式给出 ≤1° 的快速估算方法，并解释每条公式的来源。

把开环重极点的起始角理解成 K=0 处的分离角，把开环重零点的终止角理解成 K→∞ 处的汇合角，由此统一推导公式、对照普通复极/复零情形，给出计算步骤。

从闭环特征方程出现重根这一本质出发，整理实轴/复数分离点的求法、重数判断、分离角公式以及考试速查流程。

从闭环特征方程与相角条件出发，逐一推导根轨迹八条绘制法则的来源，包括起终点、分支数、渐近线、实轴分布、分离点、起始角与终止角、虚轴交点及根之和。

汇总根轨迹图绘制的八条核心法则，涵盖起点终点、渐近线、分离点、起始角与终止角、虚轴交点及根之和。

从闭环特征方程出发推导根轨迹方程，介绍根轨迹增益与"首1"型，并给出判断根轨迹上点的相角条件与求对应增益的模值条件。

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以习题14为例，展示求解前馈控制器Gc(s)的五种方法：终值定理、等效开环传函、误差传函零点阶数、完全补偿、闭环传函为1法。

通过误差传递函数分子零点阶数判断系统型别的核心技巧。