根轨迹绘制八大法则推导

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一、根轨迹的起点和终点（规则 1）

根轨迹本质上画的是闭环特征根随开环增益 $K$ 从 $0$ 变到 $\infty$ 的变化轨迹。

设开环传递函数为

$$G(s)H(s)=K\frac{B(s)}{A(s)}$$

其中 $A(s)=0$ 是开环极点方程，$B(s)=0$ 是开环零点方程。闭环特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

代入后整理得

$$A(s)+KB(s)=0$$

这就是根轨迹真正研究的方程。

当 $K=0$ 时：

$$A(s)+0\cdot B(s)=0 \implies A(s)=0$$

闭环特征根刚好等于开环极点，所以根轨迹的起点是开环极点。

当 $K\to\infty$ 时：

两边除以 $K$，得

$$\frac{A(s)}{K}+B(s)=0$$

因为 $K\to\infty$，所以 $\dfrac{A(s)}{K}\to 0$，于是 $B(s)=0$，闭环特征根趋向开环零点，所以根轨迹的终点是开环零点。

但要注意：闭环特征方程的阶数由开环极点数 $n$ 决定，所以根轨迹共有 $n$ 条分支。如果开环零点数为 $m$ 且 $n>m$，则只有 $m$ 条分支终止于有限零点，剩下的 $n-m$ 条分支没有有限零点可去，只能趋向无穷远处，终止于无限零点。

$K=0$ 时闭环特征方程退化为开环分母，根轨迹从开环极点出发；$K\to\infty$ 时方程主要由开环分子决定，根轨迹终止于开环零点；不够的零点看作在无穷远处。

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二、根轨迹的分支数与对称性（规则 2）

根轨迹画的是闭环特征根随增益 $K$ 变化的轨迹。

设开环传递函数为

$$G(s)H(s)=K\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}$$

闭环特征方程整理得

$$\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)+K\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)=0$$

根轨迹分支数等于该方程的根的个数。

当 $n>m$ 时，方程最高次由 $\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)$ 决定，为 $n$ 次，有 $n$ 个根，因此

$$\text{根轨迹分支数}=n$$

当 $m>n$ 时，方程最高次由 $K\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)$ 决定，为 $m$ 次，有 $m$ 个根，因此

$$\text{根轨迹分支数}=m$$

统一记为

$$\text{根轨迹分支数}=\max(n,m)$$

实际控制系统中通常 $n\ge m$，所以更常见的是根轨迹分支数等于开环极点数。

对称性： 根轨迹关于实轴对称，原因是闭环特征方程为实系数方程。若 $s=\sigma+j\omega$ 是特征根，则其共轭 $s=\sigma-j\omega$ 也必是特征根，二者关于实轴对称。

根轨迹分支数由闭环特征方程的次数决定，等于 $\max(n,m)$；由于方程是实系数方程，复根必成共轭对出现，根轨迹关于实轴对称。

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三、根轨迹的渐近线（规则 3）

这里默认 $n>m$。根轨迹共 $n$ 条，其中 $m$ 条终止于有限零点，剩下 $n-m$ 条趋向无穷远，对应 $n-m$ 条渐近线。

渐近线交角

根轨迹满足相角条件

$$\sum_{j=1}^{m}\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^{n}\angle(s-p_i)=(2k+1)\pi$$

当根轨迹上的点 $s$ 趋向无穷远时，所有有限极点和零点看去方向几乎相同，每个角度都近似等于 $\varphi_a$，代入相角条件得

$$m\varphi_a-n\varphi_a=(2k+1)\pi$$

即

$$-(n-m)\varphi_a=(2k+1)\pi$$

整理后得

$$\varphi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\quad k=0,1,\cdots,n-m-1$$

共取 $n-m$ 个不同方向。

渐近线交点

考察 $K\to\infty$ 时无穷远分支的中心位置，研究

$$\frac{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}$$

当 $s$ 很大时展开，最高次部分近似为

$$s^{n-m}-\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j\right)s^{n-m-1}+\cdots$$

令 $q=n-m$，设平移 $s=w+\sigma_a$，为使渐近线围绕某中心点对称展开，需消去 $w^{q-1}$ 项，其系数为

$$q\sigma_a-\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j\right)=0$$

解得

$$\sigma_a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i-\displaystyle\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}$$

这个点称为渐近线交点，也叫渐近线重心。

$n-m$ 条分支跑向无穷远，渐近线角度来自相角条件在无穷远处的简化，渐近线交点来自令展开多项式次高次项系数为零。

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四、根轨迹在实轴上的分布（规则 4）

这条规则同样由根轨迹的相角条件推出。

根轨迹满足

$$\sum_{j=1}^{m}\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^{n}\angle(s-p_i)=(2k+1)\pi$$

即从所有开环零点指向试探点 $s$ 的角度之和，减去从所有开环极点指向试探点 $s$ 的角度之和，必须等于奇数倍 $180^\circ$。

现在只看实轴上的某一点 $s$：

• 若某个开环实零点或实极点在 $s$ 的左边，从它指向 $s$ 的方向向右，角度为 $0^\circ$
• 若某个开环实零点或实极点在 $s$ 的右边，从它指向 $s$ 的方向向左，角度为 $180^\circ$

设 $s$ 右边有 $N_z$ 个开环实零点、$N_p$ 个开环实极点，则总相角贡献为

$$N_z\cdot\pi - N_p\cdot\pi = (N_z-N_p)\pi$$

要满足相角条件，需要

$$(N_z-N_p)\pi=(2k+1)\pi$$

即 $N_z-N_p$ 必须是奇数。而 $N_z-N_p$ 是奇数等价于 $N_z+N_p$ 是奇数，所以结论为：

实轴上某一区域，如果它右方的开环实数零点与实数极点总数为奇数，则该区域是根轨迹。

为什么不用管复数零极点？

实际系统的复数零极点成共轭对出现。对于实轴上的点，一对共轭复零点（或复极点）产生的两个角度大小相等、正负相反，相加为 $360^\circ$，对奇偶判断没有影响，因此只需数实轴上该区域右方的开环实零点和实极点。

左边的点贡献 $0^\circ$，右边的点贡献 $180^\circ$；右边有奇数个零极点时，总相角恰好是奇数倍 $180^\circ$，该实轴区域即为根轨迹。

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五、根轨迹的分离点与分离角（规则 5）

分离点坐标的推导

设开环传递函数为

$$G(s)H(s)=K\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}$$

由闭环特征方程 $1+G(s)H(s)=0$ 整理得

$$K=-\frac{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}$$

在根轨迹上，增益 $K$ 可以看成 $s$ 的函数 $K=K(s)$。

分离点是几条根轨迹分支在实轴上相遇再离开的点，此处闭环根重合，相当于 $K(s)$ 的极值点（转折点），因此分离点满足

$$\frac{dK}{ds}=0$$

分式法推导（对数求导）：

令 $A(s)=\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)$，$B(s)=\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)$，则 $K=-A(s)/B(s)$，两边取对数后对 $s$ 求导：

$$\frac{1}{K}\frac{dK}{ds}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s-p_i}-\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{s-z_j}$$

令 $\dfrac{dK}{ds}=0$，由于 $K\neq 0$，得

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s-p_i}-\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{s-z_j}=0$$

即分离点坐标 $d$ 满足

$$\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{d-z_j}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d-p_i}$$

导数法推导（直接求导）：

直接对 $K=-A(s)/B(s)$ 用商的求导法则：

$$\frac{dK}{ds}=-\frac{A'(s)B(s)-A(s)B'(s)}{[B(s)]^2}$$

令分子为零，得

$$A(s)B'(s)-A'(s)B(s)=0$$

两种方法的关系：

两种方法本质相同，都来自 $\dfrac{dK}{ds}=0$，只是求导方式不同：

• 导数法是直接对商式求导，结论为 $A(s)B'(s)-A'(s)B(s)=0$，适合 $A(s)$、$B(s)$ 已展开为多项式的情形；
• 分式法是对对数形式求导，结论为各极点和零点到 $d$ 的倒数之和相等，适合零极点形式直接给出的情形。

同一个 $\dfrac{dK}{ds}=0$，两种等价的写法。

注意： 两种方法求出的 $d$ 都只是候选分离点，还需验证该点在实轴根轨迹区域内，且对应的 $K>0$。

分离角的推导

设有 $l$ 条根轨迹分支在分离点 $d$ 相遇。在 $d$ 附近，这 $l$ 条分支从同一点向不同方向离开，局部可理解为 $l$ 重根附近的分裂，即

$$(s-d)^l\approx C\quad\text{（某实数）}$$

设离开方向的角度为 $\theta$，令 $s-d=re^{j\theta}$，则

$$(s-d)^l=r^l e^{jl\theta}$$

为满足根轨迹的相角条件，离开方向的总相角必须是奇数倍 $\pi$：

$$l\theta=(2k+1)\pi$$

因此

$$\theta=\frac{(2k+1)\pi}{l},\quad k=0,1,\cdots,l-1$$

最常见的情况是 $l=2$（两条分支相遇），分离角为 $90^\circ$ 和 $270^\circ$，两条分支垂直离开实轴。

分离点处 $K(s)$ 取极值，所以用 $\dfrac{dK}{ds}=0$ 求；对数求导得分式法，直接求导得导数法，两者等价。分离角由相角条件在重根处的局部展开决定，$l$ 条分支均匀分开，角度为 $(2k+1)\pi/l$。

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六、根轨迹的起始角与终止角（规则 6）

这条规则同样来自根轨迹相角条件：

$$\sum_{j=1}^{m}\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^{n}\angle(s-p_i)=(2k+1)\pi$$

起始角

若根轨迹从复数极点 $p_i$ 出发，离开时的方向角称为起始角 $\theta_{p_i}$。

当根轨迹上的点 $s$ 非常靠近 $p_i$ 时，从其他所有零点 $z_j$ 和其他极点 $p_j$（$j\ne i$）指向 $s$ 的角度，可以近似看作它们指向 $p_i$ 的角度。唯一不能近似的，是从 $p_i$ 指向 $s$ 的那个角度——它正是未知的起始角 $\theta_{p_i}$。

将这些角度代入相角条件：

$$\sum_{j=1}^{m}\varphi_{z_jp_i}-\left(\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\theta_{p_jp_i}+\theta_{p_i}\right)=(2k+1)\pi$$

整理，解出 $\theta_{p_i}$：

$$\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+\left(\sum_{j=1}^{m}\varphi_{z_jp_i}-\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\theta_{p_jp_i}\right)$$

根轨迹刚从某复极点出发时，其他零极点对它的角度几乎固定，只有离开的方向未知，代入相角条件即可求出起始角。

终止角

若根轨迹终止于复数零点 $z_i$，进入时的方向角称为终止角 $\varphi_{z_i}$。

当根轨迹上的点 $s$ 非常靠近 $z_i$ 时，从其他零点 $z_j$（$j\ne i$）和所有极点 $p_j$ 指向 $s$ 的角度，可以近似看作它们指向 $z_i$ 的角度。唯一不能近似的，是从 $z_i$ 指向 $s$ 的那个角度——它正是未知的终止角 $\varphi_{z_i}$。

将这些角度代入相角条件：

$$\left(\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{m}\varphi_{z_jz_i}+\varphi_{z_i}\right)-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jz_i}=(2k+1)\pi$$

整理，解出 $\varphi_{z_i}$：

$$\varphi_{z_i}=(2k+1)\pi-\left(\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{m}\varphi_{z_jz_i}-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jz_i}\right)$$

根轨迹快要到达某复零点时，其他零极点的角度几乎固定，只有进入的方向未知，代入相角条件即可求出终止角。

符号含义

符号	含义
$\varphi_{z_jp_i}$	从零点 $z_j$ 指向极点 $p_i$ 的角度
$\theta_{p_jp_i}$	从极点 $p_j$ 指向极点 $p_i$ 的角度
$\varphi_{z_jz_i}$	从零点 $z_j$ 指向零点 $z_i$ 的角度
$\theta_{p_jz_i}$	从极点 $p_j$ 指向零点 $z_i$ 的角度

起始角和终止角本质相同：在目标点附近，其他零极点的角度固定，只有一个未知角，代入相角条件解出即可。

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七、根轨迹与虚轴的交点（规则 7）

根轨迹上的点本质是闭环特征根。虚轴上的点形式为 $s=j\omega$，所以根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程存在纯虚根 $s=\pm j\omega$，系统处于临界稳定状态——虚轴正好是稳定与不稳定的分界线。

方法一：直接代入 $s=j\omega$

将 $s=j\omega$ 代入闭环特征方程

$$1+G(j\omega)H(j\omega)=0$$

这是一个复数方程，复数等于零要求实部和虚部同时为零：

$$\begin{cases} \operatorname{Re}[1+G(j\omega)H(j\omega)]=0\\[4pt] \operatorname{Im}[1+G(j\omega)H(j\omega)]=0 \end{cases}$$

方程中通常含有两个未知量 $K$ 和 $\omega$，联立求解即可得到穿越虚轴时的增益 $K$ 及交点位置 $s=\pm j\omega$。

原理： 既然交点在虚轴上，直接令根等于 $j\omega$，代入特征方程求解。

方法二：劳斯判据

劳斯判据可判断特征根是否全在左半平面。根轨迹穿越虚轴时，系统恰好处于临界稳定，对应劳斯表中的临界情况。

步骤：

1. 写出闭环特征方程 $D(s)=0$，其系数含 $K$
2. 列劳斯表，找使劳斯表出现全零行的 $K$ 值——此时特征方程存在关于原点对称的根，即 $s=\pm j\omega$
3. 用全零行上一行构造辅助方程。例如上一行对应

$$as^2+b=0$$

将 $s=j\omega$ 代入：

$$a(j\omega)^2+b=0 \implies -a\omega^2+b=0 \implies \omega=\sqrt{\frac{b}{a}}$$

从而求出虚轴交点 $s=\pm j\omega$。

两种方法的关系

两种方法本质相同，只是出发点不同：

• 方法一 从根的位置出发：根在虚轴上，令 $s=j\omega$ 代入求解
• 方法二 从稳定性边界出发：根在虚轴上意味着系统临界稳定，用劳斯判据找临界 $K$，再由辅助方程求 $\omega$

虚轴交点就是闭环特征根变成纯虚根的位置。直接法令 $s=j\omega$ 代入求解；劳斯法找临界稳定的 $K$，再用辅助方程求 $\omega$。两者等价。

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八、根之和（规则 8）

这个结论分两层：第一层是韦达定理，第二层是根轨迹中的根之和规则。

闭环极点的和与积（韦达定理）

设闭环特征方程写成首一形式：

$$D(s)=s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+\cdots+a_{n-1}s+a_n=0$$

它的 $n$ 个闭环极点为 $s_1,s_2,\cdots,s_n$，因式分解形式为：

$$D(s)=(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)$$

展开后：

$$D(s)=s^n-(s_1+s_2+\cdots+s_n)s^{n-1}+\cdots+(-s_1)(-s_2)\cdots(-s_n)$$

与 $D(s)=s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n$ 逐项比较：

$s^{n-1}$ 项：$-(s_1+\cdots+s_n)=a_1$，所以

$$\sum_{i=1}^{n}s_i=-a_1$$

常数项：$(-s_1)(-s_2)\cdots(-s_n)=a_n$，所以

$$\prod_{i=1}^{n}(-s_i)=a_n$$

这就是韦达定理在闭环特征方程上的直接应用。

根之和规则的推导

设开环传递函数为：

$$G(s)H(s)=K\frac{B(s)}{A(s)}=K\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}$$

其中 $p_i$ 是开环极点，$z_j$ 是开环零点。闭环特征方程整理为：

$$A(s)+KB(s)=0$$

将 $A(s)=\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)$ 展开，最高两项为：

$$A(s)=s^n-\left(\sum_{i=1}^{n}p_i\right)s^{n-1}+\cdots$$

当 $m\le n-2$（即 $n-m\ge 2$）时，$B(s)$ 的次数不超过 $n-2$，$KB(s)$ 不影响 $s^{n-1}$ 项的系数。因此闭环特征方程 $A(s)+KB(s)=0$ 中 $s^{n-1}$ 的系数始终为

$$-\sum_{i=1}^{n}p_i$$

由韦达定理，闭环特征方程的 $s^{n-1}$ 系数 $a_1$ 满足 $\sum s_i=-a_1$，所以

$$\sum_{i=1}^{n}s_i=\sum_{i=1}^{n}p_i$$

也就是说，闭环极点虽然随 $K$ 变化而移动，但它们的总和不变，始终等于开环极点之和。

注意： 若 $n-m=1$，则 $KB(s)$ 会影响 $s^{n-1}$ 项系数，根之和规则不再成立。

闭环极点的和与积来自韦达定理；根之和规则来自 $A(s)+KB(s)=0$ 中 $s^{n-1}$ 项系数与 $K$ 无关（需 $n-m\ge 2$），故闭环极点之和恒等于开环极点之和。