根轨迹重极点的起始角与重零点的终止角

一、本质

开环重极点的起始角就是 $K=0$ 时，几条根轨迹从同一个开环极点同时出发的方向。

若开环极点 $p_0$ 是 $q$ 重极点，则有 $q$ 条根轨迹从 $p_0$ 出发，因此它不止一个起始角，而是 $q$ 个起始角。它本质上就是：

$$\boxed{\text{开环重极点处的分离角，发生在 }K=0\text{ 处}}$$

对偶地，开环重零点的终止角就是 $K\to\infty$ 时，根轨迹进入重零点的方向，即开环重零点处的”汇合角”。

二者共用同一个结论：

$$\boxed{\text{重数为 }q\Rightarrow q\text{ 个方向，相邻间隔 }\frac{360^\circ}{q}}$$

二、重极点起始角公式

设开环传递函数为

$$G(s)H(s)=\frac{\prod_j (s-z_j)}{\prod_i (s-p_i)}$$

根轨迹的相角条件为

$$\sum_j \angle(s-z_j)-\sum_i \angle(s-p_i)=(2k+1)180^\circ$$

设 $p_0$ 是 $q$ 重开环极点，令根轨迹刚从它出发时

$$s=p_0+\varepsilon e^{j\theta},\quad \varepsilon\to 0^+$$

分母里出现 $q$ 个相同的”小向量” $s-p_0$，每个角度都是 $\theta$，总共贡献 $q\theta$。代入相角条件并解出 $\theta$：

$$\boxed{ \theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ+\sum_j\angle(p_0-z_j)-\sum_{i\neq 0}\angle(p_0-p_i)}{q} }$$

其中第二个求和对所有开环零点，第三个求和对除 $p_0$ 本身以外的所有开环极点。$k=0,1,\dots,q-1$，对应 $q$ 个不同方向。

等价的递推形式更好记：

$$\boxed{\theta_k=\theta_0+k\cdot\frac{360^\circ}{q},\quad k=0,1,\dots,q-1}$$

三、重零点终止角公式

完全对偶。设 $z_0$ 是 $q$ 重开环零点，令

$$s=z_0+\varepsilon e^{j\varphi},\quad \varepsilon\to 0^+$$

分子里 $q$ 个小向量 $s-z_0$ 总共贡献 $q\varphi$，代入相角条件解出

$$\boxed{ \varphi_k=\frac{(2k+1)180^\circ+\sum_i\angle(z_0-p_i)-\sum_{j\neq 0}\angle(z_0-z_j)}{q} }$$

同样有

$$\boxed{\varphi_k=\varphi_0+k\cdot\frac{360^\circ}{q},\quad k=0,1,\dots,q-1}$$

四、与普通单极/单零的关系

普通的复极点/复零点其实是 $q=1$ 的特例。

• 单复极点 $p_0$ 的起始角：

$$\theta=(2k+1)180^\circ+\sum_j\angle(p_0-z_j)-\sum_{i\neq 0}\angle(p_0-p_i)$$

• 单复零点 $z_0$ 的终止角：

$$\varphi=(2k+1)180^\circ+\sum_i\angle(z_0-p_i)-\sum_{j\neq 0}\angle(z_0-z_j)$$

所以重极点、重零点不是新规则，只是把普通公式里”一个小向量”变成了”$q$ 个小向量”，最后再除以 $q$。

五、典型例子

二重实极点 $p_0=-1$，无其他零极点

$q=2$，外部贡献为零：

$$\theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{2}\Rightarrow \theta_0=90^\circ,\ \theta_1=270^\circ$$

两条根轨迹从 $-1$ 一上一下离开——这就是为什么二重实极点常常产生一对共轭复根分支。

三重开环极点，无其他零极点

$q=3$：

$$\theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{3}\Rightarrow 60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ$$

三条分支两两相差 $120^\circ$，与三重分离点的分离角完全一致——分离角与 $K=0$ 处的起始角是同一个公式的两面。

六、计算步骤

1. 判断目标点是重极点（求起始角）还是重零点（求终止角），记重数为 $q$
2. 写相角条件
3. 在目标点附近令
   • 重极点：$s=p_0+\varepsilon e^{j\theta}$
   • 重零点：$s=z_0+\varepsilon e^{j\varphi}$
4. 自身的 $q$ 个小向量角度合并为 $q\theta$ 或 $q\varphi$
5. 代入公式解出主方向 $\theta_0$（或 $\varphi_0$）
6. 按 $\dfrac{360^\circ}{q}$ 均分，得到 $q$ 个方向

七、一句话总结

$$\boxed{\text{重极点起始角}=K=0\text{ 处的分离角}\quad\text{重零点终止角}=K\to\infty\text{ 处的汇合角}}$$ $$\boxed{\text{重数为 }q\Rightarrow q\text{ 个方向，相邻方向相差 }\frac{360^\circ}{q}}$$