根轨迹分离点的求法、重数与分离角

根轨迹的分离点本质上是：闭环特征方程在某个 $K=K_0$ 下出现了重根，几条根轨迹分支因此在同一点相遇后又分开。所有的求法、重数判断、分离角公式，都是围绕”重根”这一条主线展开的。

一、基本求法

设开环传递函数为

$$G(s)H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$$

闭环特征方程为 $1+KG(s)H(s)=0$，整理得

$$A(s)+KB(s)=0$$

把增益写成 $s$ 的函数：

$$K(s)=-\frac{A(s)}{B(s)}$$

分离点是 $K(s)$ 的驻点，满足

$$\frac{dK}{ds}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A'(s)B(s)-A(s)B'(s)=0$$

求出根之后，还要代回 $K(s)$，保留满足根轨迹条件的点（详见第三节复数分离点的筛选）。

二、重数判断

设分离点为 $s_0$，对应增益为 $K_0=K(s_0)$，闭环特征方程记为

$$F(s,K)=A(s)+KB(s)$$

若在 $K=K_0$ 时，$s_0$ 是 $F(s,K_0)=0$ 的 $r$ 重根，则 $s_0$ 是 $r$ 重分离点。

三种判断方法

方法一：因式分解

$$F(s,K_0)=(s-s_0)^r Q(s),\quad Q(s_0)\neq 0$$

方法二：高阶导数

$$F(s_0,K_0)=\frac{\partial F}{\partial s}\bigg|_{s_0,K_0}=\cdots=\frac{\partial^{r-1} F}{\partial s^{r-1}}\bigg|_{s_0,K_0}=0,\quad \frac{\partial^r F}{\partial s^r}\bigg|_{s_0,K_0}\neq 0$$

方法三（最实用）：看 $dK/ds$ 在 $s_0$ 处的零点重数

若 $K(s)-K_0=C(s-s_0)^r+\cdots$（$C\neq 0$），则 $dK/ds$ 在 $s_0$ 处是 $r-1$ 重零点，于是

$$\boxed{\text{分离点重数}=\frac{dK}{ds}\text{ 的零点重数}+1}$$

常见情形

$dK/ds=0$ 的根	分离点重数	几何含义
单根	二重	2 条分支相遇
二重根	三重	3 条分支相遇
三重根	四重	4 条分支相遇

考试中看到一个普通的实轴分离点，默认就是二重分离点——闭环特征方程在该点有二重根，$dK/ds=0$ 通常是单根。

三重分离点不是看图上”有三个方向”随便猜，而是严格按闭环特征方程是否有三重根来判定。

三、复数分离点

复数分离点的本质和实轴分离点完全一样，仍然先解

$$\frac{dK}{ds}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A'(s)B(s)-A(s)B'(s)=0$$

但这个方程通常会同时给出实根与复根，不是所有复根都是分离点。

筛选条件

复数候选点必须同时满足：

1. 驻点条件：$\dfrac{dK}{ds}=0$
2. 根轨迹条件：代回 $K(s)=-\dfrac{A(s)}{B(s)}$ 后，$K$ 必须是正实数

第 2 条等价于满足 $180^\circ$ 根轨迹的相角条件 $\angle G(s)H(s)=(2k+1)180^\circ$。

筛选流程：

• 由 $dK/ds=0$ 求候选点
• 代入 $K(s)$
• 若 $K$ 不是实数 → 舍去
• 若 $K<0$（常规根轨迹） → 舍去
• 剩下的才是复数分离点

极点零点形式（更适合求复数分离点）

若开环传函写成

$$G(s)H(s)=\frac{\prod_j (s-z_j)}{\prod_i (s-p_i)}$$

对 $K=-1/[G(s)H(s)]$ 取对数求导，分离点条件等价于

$$\boxed{\sum_{\text{极点}} \frac{1}{s-p_i}=\sum_{\text{零点}} \frac{1}{s-z_j}}$$

若系统没有有限零点，右边为 $0$，简化为 $\sum_i \dfrac{1}{s-p_i}=0$。这条公式对复数分离点的求解尤其方便。求出候选点后仍需代回 $K(s)$ 验证。

直观与对称性

由于系统系数一般为实数，若 $s_0=a+bj$ 是复数分离点，则其共轭 $\bar{s}_0=a-bj$ 也是分离点。

复数分离点不在实轴上，不能用”实轴右侧开环极点零点个数为奇数”这条规则判断——那条规则只适用于实轴根轨迹区段。

四、分离角

设 $s_0$ 是 $r$ 重分离点，附近有展开 $K(s)-K_0=C(s-s_0)^r$。令 $s-s_0=\rho e^{j\theta}$，则

$$K-K_0=C\rho^r e^{jr\theta}$$

要求 $K$ 为实数，于是 $r\theta$ 取离散值，相邻方向差 $360^\circ/r$。

$$\boxed{r\text{ 重分离点 }\Rightarrow r\text{ 条分支，相邻方向夹角 }\frac{360^\circ}{r}}$$

分离点重数	分支数	相邻夹角
2	2	$180^\circ$
3	3	$120^\circ$
4	4	$90^\circ$

此结论对实轴/复数分离点都成立。

五、考试速查流程

1. 写闭环特征方程 $A(s)+KB(s)=0$
2. 写 $K(s)=-\dfrac{A(s)}{B(s)}$
3. 解 $\dfrac{dK}{ds}=0$，得候选点
4. 筛选：
   • 实轴候选点：判断是否在根轨迹的实轴区段上
   • 复数候选点：代入 $K(s)$，要求 $K$ 为正实数
5. 判重数：看 $dK/ds=0$ 的根的重数 $m$，则分离点重数为 $m+1$；或直接看闭环特征方程在该点的重根数
6. 算分离角：$r$ 重分离点的相邻分支夹角为 $360^\circ/r$

一句话总结：

$$\boxed{\text{分离点由 }\frac{dK}{ds}=0\text{ 求；重数由闭环特征方程重根数判断；复数分离点须满足 }K>0\text{ 且为实数。}}$$