闭环传函为1法技巧

习题 14

已知系统结构图如图所示，且 $K_1$、$K_2$、$T_1$、$T_2$ 均大于零。

（1） 当 $G_c(s)=0$ 时，求出系统稳定时 $K_1$、$K_2$、$T_1$、$T_2$ 要满足的条件；

（2） 当 $r(t)=R\cdot t$ 时，如何选择 $G_c(s)$ 能使稳态误差为 0。

---

解

（1）稳定条件

闭环传函：

$$\Phi(s)=\frac{K_1K_2}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}$$

特征方程：

$$D(s)=T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2$$

$n=3$，各项系数 $a_0=K_1K_2$，$a_1=1$，$a_2=T_1+T_2$，$a_3=T_1T_2$ 均为正，由劳斯判据，还需满足

$$a_1a_2-a_0a_3=(T_1+T_2)-T_1T_2K_1K_2>0$$

因此稳定条件为：

$$\boxed{T_1+T_2-T_1T_2K_1K_2>0}$$

---

（2）选取 $G_c(s)$ 使稳态误差为 0

含 $G_c(s)$ 的闭环传函：

$$\Phi(s) =\frac{\left(G_c(s)+\dfrac{K_1}{T_1s+1}\right)\dfrac{K_2}{s(T_2s+1)}}{1+\dfrac{K_1K_2}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}} =\frac{K_2G_c(s)(T_1s+1)+K_1K_2}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}$$

---

法一（终值定理法）

当 $r(t)=R\cdot t$ 时，$R(s)=\dfrac{R}{s^2}$。

误差：

$$E(s)=R(s)[1-\Phi(s)]=R(s)\Phi_e(s) =R(s)\frac{[T_2s^2+s-K_2G_c(s)](T_1s+1)}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}$$

由终值定理：

$$e_{ss}=\lim_{s\to 0}sE(s) =\lim_{s\to 0}\frac{R}{s}\cdot\frac{[T_2s^2+s-K_2G_c(s)](T_1s+1)}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}$$ $$=\lim_{s\to 0}R\cdot\frac{1-\dfrac{K_2G_c(s)}{s}}{K_1K_2}=0$$

令 $e_{ss}=0$，则需

$$\lim_{s\to 0}\frac{K_2G_c(s)}{s}=1$$

满足此条件的 $G_c(s)$ 例如：

$$G_c(s)=\frac{s}{K_2},\quad G_c(s)=\frac{s}{K_2(Ts+1)},\quad G_c(s)=\frac{s(Ts+1)}{K_2}$$

---

法二（等效开环传函法）

对斜坡函数稳态误差为零，需要系统至少为 Ⅱ 型。

等效单位负反馈系统开环传函：

$$G'(s)=\frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)} =\frac{K_2G_c(s)(T_1s+1)+K_1K_2}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+[1-K_2T_1G_c(s)]s-K_2G_c(s)}$$

Ⅱ 型系统要求分母含 $s^2$ 因子，即令

$$[1-K_2T_1G_c(s)]\,s-K_2G_c(s)=0$$

解得

$$G_c(s)=\frac{s}{K_2(T_1s+1)}$$

---

法三（误差传递函数零点阶数法）

对斜坡函数稳态误差为零，需要系统至少为 Ⅱ 型。

误差传函：

$$\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{[T_2s^2+s-K_2G_c(s)](T_1s+1)}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}$$

Ⅱ 型系统要求误差传函分子含 $s^2$ 因子，令

$$s-K_2G_c(s)=0$$

解得

$$G_c(s)=\frac{s}{K_2}$$

---

法四（完全补偿法）

若误差传函为 0，则对任意输入稳态误差均为 0：

$$\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{[T_2s^2+s-K_2G_c(s)](T_1s+1)}{s(T_1s+1)(T_2s+1)+K_1K_2}=0$$

分子为 0（分母 $\neq 0$），故

$$T_2s^2+s-K_2G_c(s)=0 \implies G_c(s)=\frac{T_2s^2+s}{K_2}$$

---

法五（闭环传函为 1 法）

令闭环传函等于 1（输出完全复现输入）：

$$\Phi(s)=\frac{K_2G_c(s)(T_1s+1)+K_1K_2}{T_1T_2s^3+(T_1+T_2)s^2+s+K_1K_2}=1$$ $$K_2G_c(s)(T_1s+1)=s(T_1s+1)(T_2s+1)$$ $$G_c(s)=\frac{s(T_1s+1)(T_2s+1)}{K_2(T_1s+1)}=\frac{s(T_2s+1)}{K_2}$$

---

此类题目由于 $G_c(s)$ 可以自行选取，答案常不唯一，满足题目要求即可。

当误差传函为 0 时，等效开环传函

$$G'(s)=\frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)}=\frac{\Phi(s)}{\Phi_e(s)}$$

分母为 0，此时闭环传函为 1（表示输出完全复现输入，对任意输入误差恒为 0），因此完全补偿法与闭环传函为 1 法两种方法求解出的答案相同。