数字信号处理入门：数字信号及其基本运算

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写在前面：数字信号处理到底学什么

“数字信号处理”可以拆成三个词理解：信号、数字、处理。

信号是承载信息的对象。人的语音、手机录音、温度变化、压力变化、图像亮度、传感器测量值，都是信号。数字表示这些信号最终要用离散的数字序列来记录。处理则表示我们要对这些数字进行分析、变换、滤波、压缩、识别或重建。

因此，数字信号处理研究的核心问题是：如何把现实世界中的连续信息表示成数字序列，并用数学方法对它进行处理。

本文先建立两个基本观念：一是常见数字信号序列长什么样；二是数字信号序列可以做哪些基本运算。掌握这两点，后面的傅里叶变换、Z 变换、数字滤波器才有基础。

学习路线：先认识序列，再学习运算

本讲内容可以分为两条主线。

第一条主线是常用数字信号序列，包括单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列、复指数序列、正弦序列和周期序列。这些序列相当于数字信号处理中的“基本词汇”。

第二条主线是数字信号序列的基本运算，包括移位、翻折、相加、相乘、累加、尺度变换和卷积和。这些运算相当于数字信号处理中的“基本语法”。

后续的系统分析，本质上就是用这些基本序列和基本运算描述输入、输出与系统之间的关系。

从“信号”开始理解

信号是传递信息的函数，可以表示成一个或几个独立变量的函数，例如：

$$f(x),\qquad f(t),\qquad f(x,y)$$

其中，$t$ 常用来表示时间，$x,y$ 常用来表示空间坐标。语音信号通常随时间变化，因此常写作 $x(t)$；图像信号随二维空间位置变化，因此可以写作 $f(x,y)$。

信号可以从不同角度分类。

按照载体，信号可以分为电信号、磁信号、声信号等。比如麦克风把声音变成电压变化，这个电压变化就是电信号。

按照变量个数，信号可以分为一维、二维和多维信号。语音是一维信号，图像是二维信号，视频可以看作二维图像随时间变化形成的三维信号。

按照周期性，信号可以分为周期信号和非周期信号。周期信号会按固定间隔重复，非周期信号则不会严格重复。

按照是否为确定函数，信号可以分为确定信号和随机信号。正弦信号可以由明确公式描述，属于确定信号；噪声具有不确定性，常作为随机信号处理。

按照能量或功率是否有限，信号还可以分为能量信号和功率信号。这一分类在信号分析中非常常见。

连续时间信号：现实世界常见的原始形态

在连续时间范围内定义，并且幅值连续变化的信号，称为模拟信号，也常称为连续时间信号，通常记作：

$$x(t)$$

这里的 $t$ 是连续时间变量，可以取任意实数。例如 $t=0.1$、$t=0.15$、$t=2.367$ 都是允许的。

现实世界中很多原始信号都接近连续信号。声音、温度、压力、电压、电流、图像亮度等，都可以在连续时间或连续空间中变化。用电压或电流去模拟这些物理量，就得到模拟信号。

连续时间信号的图像通常是一条连续曲线。它强调的是“任意时刻都有取值”。

离散时间信号与数字信号：从曲线变成点列

当时间变量不再连续，而只在一个个离散时刻取值时，信号称为离散时间信号，通常写作：

$$x(n)$$

这里的 $n$ 是整数，表示第 $n$ 个采样点。也就是说，离散时间信号不是一条连续曲线，而是一串按整数编号排列的数据点：

$$\cdots,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),\cdots$$

如果时间和幅值都被离散化，就称为数字信号。离散时间信号强调时间离散；数字信号进一步强调幅值也用有限精度数字表示。

例如，电脑中的音频文件不是连续曲线，而是一串采样值。每一个采样值都由二进制数字存储，这就是数字信号。

A/D 与 D/A：模拟世界和数字世界之间的桥

模拟信号可以通过 A/D 变换得到数字信号。A/D 是 Analog-to-Digital，即模数转换。它通常包括采样、量化和编码三个步骤。

数字信号也可以通过 D/A 变换重新变成模拟信号。D/A 是 Digital-to-Analog，即数模转换。

可以把二者关系写成：

$$x(t)\xrightarrow{A/D}x(n)$$ $$x(n)\xrightarrow{D/A}x(t)$$

一个生活例子是录音与播放。人说话产生模拟声音，麦克风把声音转成模拟电信号，声卡通过 A/D 把它转成数字音频文件；播放时，数字音频文件再经过 D/A 转换，驱动扬声器发声。

单位抽样序列：离散信号中的“一个点”

单位抽样序列又称单位冲激序列，记作：

$$\delta(n)$$

其定义为：

$$\delta(n)= \begin{cases} 1, & n=0\\ 0, & n\ne0 \end{cases}$$

它只在 $n=0$ 处取值为 $1$，其他位置都为 $0$。

如果把它平移到 $n=m$ 处，就得到：

$$\delta(n-m)= \begin{cases} 1, & n=m\\ 0, & n\ne m \end{cases}$$

单位抽样序列很重要，因为它是离散序列中的“单点构件”。任何复杂离散序列都可以拆成许多个不同位置、不同高度的单位抽样序列之和。

连续时间冲激信号：理想化的瞬时作用

连续时间中的单位冲激信号记作：

$$\delta(t)$$

它不是普通意义下的函数，而是一种理想化模型。其核心性质是：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,dt=1$$

并且：

$$\delta(t)=0,\qquad t\ne0$$

可以从三点理解连续冲激信号：除了 $t=0$ 之外处处为零；在 $t=0$ 处可以理解为无穷大；在包含冲激位置的任意区间内，面积为 $1$。

延时冲激信号写作：

$$\delta(t-t_0)$$

它只在 $t=t_0$ 处发生冲激，并满足：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)\,dt=1$$

现实中不存在真正无限窄、无限高的信号，但可以用很窄、很高且面积保持为 $1$ 的脉冲来近似冲激信号。

冲激函数的基本性质

冲激函数最重要的性质是抽样性：

$$f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)\,dt=f(0)$$

它的含义是：冲激函数可以从连续函数中“挑出”某一点的值。

冲激函数还是偶函数：

$$\delta(-t)=\delta(t)$$

比例性质为：

$$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$$

卷积性质为：

$$f(t)*\delta(t)=f(t)$$

这说明单位冲激信号在卷积中相当于“单位元”。一个信号和单位冲激卷积，结果还是原信号。

用单位抽样序列表示任意离散序列

任意离散序列 $x(n)$ 都可以表示为：

$$x(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)\delta(n-m)$$

这个公式的含义是：把序列中每一个点单独拿出来，用一个平移后的单位抽样序列表示，再把所有点加起来，就恢复原序列。

例如某序列在 $n=-1,0,1,2,3$ 处的值分别为 $1,2,1,-2,1.5$，则它可以写成：

$$x(n)=\delta(n+1)+2\delta(n)+\delta(n-1)-2\delta(n-2)+1.5\delta(n-3)$$

这里每一项都表示一个位置上的点。例如 $-2\delta(n-2)$ 表示在 $n=2$ 处有一个高度为 $-2$ 的样本点。

冲激响应：系统特性的“身份证”

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，通常记作：

$$h(t)$$

若系统记作 $H$，则可以写成：

$$\delta(t)\rightarrow H\rightarrow h(t)$$

零状态响应表示系统初始状态为零，只考虑输入信号产生的响应。

冲激响应之所以重要，是因为它能反映系统自身特性。不同系统在同样的单位冲激输入下通常会产生不同响应。对于线性时不变系统，只要知道冲激响应，就可以通过卷积求出任意输入下的输出。

单位阶跃序列：从某一时刻开始一直存在

单位阶跃序列记作：

$$u(n)$$

定义为：

$$u(n)= \begin{cases} 1, & n\ge0\\ 0, & n<0 \end{cases}$$

它表示序列从 $n=0$ 开始取值为 $1$，在 $n<0$ 时取值为 $0$。

单位阶跃序列与单位抽样序列之间有密切关系：

$$\delta(n)=u(n)-u(n-1)$$

因为 $u(n)$ 从 $n=0$ 开始为 $1$，而 $u(n-1)$ 从 $n=1$ 开始为 $1$，两者相减后只在 $n=0$ 处留下 $1$。

反过来，单位阶跃序列可以看作从 $n=0$ 开始无穷多个单位抽样序列之和：

$$u(n)=\sum_{m=0}^{\infty}\delta(n-m)$$

即：

$$u(n)=\delta(n)+\delta(n-1)+\delta(n-2)+\cdots$$

连续时间单位阶跃信号

连续时间单位阶跃信号记作：

$$u(t)$$

定义为：

$$u(t)= \begin{cases} 0, & t<0\\ 1, & t>0 \end{cases}$$

延时单位阶跃信号写作：

$$u(t-t_0)$$

定义为：

$$u(t-t_0)= \begin{cases} 0, & t<t_0\\ 1, & t>t_0 \end{cases}$$

它表示阶跃发生的位置从 $t=0$ 移到了 $t=t_0$。工程中，开关从关闭变为打开、系统突然加上恒定输入，都可以用阶跃信号描述。

矩形序列：有限长度的窗口

矩形序列记作：

$$R_N(n)$$

定义为：

$$R_N(n)= \begin{cases} 1, & 0\le n\le N-1\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

它只在 $0$ 到 $N-1$ 之间取值为 $1$，其他位置为 $0$。

矩形序列可以用单位阶跃序列表示：

$$R_N(n)=u(n)-u(n-N)$$

这个公式可以理解为“先打开，再关闭”。$u(n)$ 从 $n=0$ 打开，$u(n-N)$ 从 $n=N$ 打开，两者相减后，只保留 $0\le n\le N-1$ 这一段。

矩形序列也可以用单位抽样序列表示：

$$R_N(n)=\sum_{k=0}^{N-1}\delta(n-k)$$

也就是：

$$R_N(n)=\delta(n)+\delta(n-1)+\delta(n-2)+\cdots+\delta[n-(N-1)]$$

这说明矩形序列本质上是有限个单位抽样序列的叠加。

实指数序列：衰减与发散

实指数序列通常写作：

$$a^n u(n)$$

其中 $a$ 是实数，$u(n)$ 表示序列从 $n=0$ 开始存在。

当：

$$|a|<1$$

序列随 $n$ 增大逐渐趋近于 $0$，称为收敛序列。

当：

$$|a|>1$$

序列随 $n$ 增大不断变大，称为发散序列。

例如，当 $a=\frac12$ 时，序列为：

$$1,\frac12,\frac14,\frac18,\cdots$$

它是典型的衰减序列。若 $a=2$，则序列为：

$$1,2,4,8,\cdots$$

它是典型的增长序列。系统自然响应中经常出现指数序列，稳定系统常对应衰减指数项，不稳定系统可能出现增长指数项。

复指数序列：指数与正弦的统一表达

复指数序列可写作：

$$x(n)=e^{(\sigma+j\omega_0)n}$$

根据指数运算性质：

$$x(n)=e^{\sigma n}e^{j\omega_0 n}$$

再利用欧拉公式：

$$e^{j\omega_0 n}=\cos(\omega_0 n)+j\sin(\omega_0 n)$$

得到：

$$x(n)=e^{\sigma n}\left[\cos(\omega_0 n)+j\sin(\omega_0 n)\right]$$

这里，$\sigma$ 控制幅值增长或衰减，$\omega_0$ 控制振荡频率。

如果 $\sigma<0$，幅值衰减；如果 $\sigma>0$，幅值增长；如果 $\sigma=0$，幅值不变，只保留纯振荡。

复指数序列是傅里叶分析、Z 变换和频率响应的基础。数字信号处理中很多复杂信号都可以分解为复指数信号的组合。

正弦型序列与数字频率

正弦型序列可以写作：

$$x(n)=A\cos(n\omega_0+\varphi)$$

其中，$A$ 是幅值，$\omega_0$ 是数字角频率，$\varphi$ 是初相位。

如果正弦序列由模拟信号采样得到，例如模拟信号为：

$$x_a(t)=\sin(\Omega t)$$

采样周期为 $T$，在 $t=nT$ 处取样，则：

$$x_a(t)|_{t=nT}=\sin(\Omega nT)$$

数字序列可写为：

$$x(n)=\sin(\omega n)$$

其中数字频率和模拟角频率满足：

$$\omega=\Omega T$$

这个公式非常重要。它说明数字频率不仅由模拟频率 $\Omega$ 决定，也由采样周期 $T$ 决定。采样周期越大，同一模拟频率对应的数字频率越大；采样周期越小，对应的数字频率越小。

周期序列的判断标准

如果存在一个最小的正整数 $N$，使得：

$$x(n)=x(n+N),\qquad -\infty<n<+\infty$$

则称 $x(n)$ 为周期序列，$N$ 为周期。

注意，离散时间序列的周期必须是正整数。因为 $n$ 只能取整数，不存在“半个采样点”的序号。

以序列

$$x(n)=\sin\left(\frac{\pi}{4}n\right)$$

为例。若令 $n$ 变为 $n+8$，则：

$$x(n+8)=\sin\left[\frac{\pi}{4}(n+8)\right] =\sin\left(\frac{\pi}{4}n+2\pi\right)$$

由于 $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$，所以：

$$x(n+8)=x(n)$$

因此该序列周期为 $N=8$。

一般正弦序列的周期性

设一般正弦序列为：

$$x(n)=A\sin(\omega_0 n+\varphi)$$

若它是周期序列，则应满足：

$$x(n+N)=x(n)$$

代入得到：

$$x(n+N)=A\sin[\omega_0(n+N)+\varphi]$$

即：

$$x(n+N)=A\sin(\omega_0 n+\omega_0N+\varphi)$$

要使它等于原序列，需要：

$$\omega_0N=2\pi k$$

其中 $k$ 为整数。于是：

$$N=\frac{2\pi}{\omega_0}k$$

由于 $N$ 必须是正整数，所以并不是所有离散正弦序列都是周期序列。

具体分三种情况。

若 $\frac{2\pi}{\omega_0}$ 是整数，取 $k=1$，则周期为：

$$N=\frac{2\pi}{\omega_0}$$

若 $\frac{2\pi}{\omega_0}$ 不是整数，而是有理数，设：

$$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{P}{Q}$$

其中 $P,Q$ 互素。取 $k=Q$，则：

$$N=P$$

因此序列仍然是周期序列。

若 $\frac{2\pi}{\omega_0}$ 是无理数，则没有任何整数 $k$ 能使 $N$ 成为正整数，所以该正弦序列不是周期序列。

周期求解例题

判断下列序列的周期。

第一，

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}n\right)$$

这里 $\omega_0=\frac{\pi}{8}$，所以：

$$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi/8}=16$$

周期为：

$$N=16$$

第二，

$$\sin\left(\frac{4\pi}{5}n\right)$$

这里 $\omega_0=\frac{4\pi}{5}$，所以：

$$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{4\pi/5}=\frac52$$

写成 $\frac{P}{Q}$ 时，$P=5,Q=2$，所以周期为：

$$N=5$$

第三，

$$\cos\left(\frac15 n\right)$$

这里 $\omega_0=\frac15$，所以：

$$\frac{2\pi}{\omega_0}=10\pi$$

因为 $\pi$ 是无理数，所以 $10\pi$ 也是无理数，因此该序列不是周期序列。

第四，

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}n\right)-\sin\left(\frac{4\pi}{5}n\right)$$

第一项周期为 $16$，第二项周期为 $5$。整体重复必须同时满足两项都重复，因此周期为二者最小公倍数：

$$N=\operatorname{lcm}(16,5)=80$$

序列运算的学习重点

认识常见序列之后，就要学习序列的基本运算。数字信号处理不只是看一个序列本身，还要研究它经过移动、翻转、叠加、相乘、累加、抽取、插值和卷积以后会发生什么变化。

这些运算是后续滤波器、系统响应、频域分析和 Z 变换的基础。

移位：左移和右移不要记反

当 $m$ 为正整数时：

$$x(n-m)$$

表示序列 $x(n)$ 右移 $m$ 位。

而：

$$x(n+m)$$

表示序列 $x(n)$ 左移 $m$ 位。

初学者最容易在这里记反。可以用一句话记忆：括号里是 $n-m$，图像向右移；括号里是 $n+m$，图像向左移。

原因是，若原来在 $n=0$ 的特征点出现在新序列的 $n=m$ 处，需要满足 $n-m=0$，所以 $x(n-m)$ 是右移。

考虑序列：

$$x(n)= \begin{cases} \frac12\left(\frac12\right)^n, & n\ge -1\\ 0, & n<-1 \end{cases}$$

代入几个点可以得到：

$$x(-1)=1,\qquad x(0)=\frac12,\qquad x(1)=\frac14,\qquad x(2)=\frac18$$

因此它从 $n=-1$ 开始，是一个向右衰减的序列。

现在求 $x(n+1)$。将原式中的 $n$ 替换为 $n+1$，有：

$$x(n+1)= \begin{cases} \frac12\left(\frac12\right)^{n+1}, & n+1\ge -1\\ 0, & n+1<-1 \end{cases}$$

条件 $n+1\ge -1$ 等价于 $n\ge -2$，并且：

$$\frac12\left(\frac12\right)^{n+1}=\frac14\left(\frac12\right)^n$$

所以：

$$x(n+1)= \begin{cases} \frac14\left(\frac12\right)^n, & n\ge -2\\ 0, & n<-2 \end{cases}$$

这说明原序列向左移动了 $1$ 位。

翻折：以 n=0 为镜像轴

如果有一个序列 $x(n)$，那么：

$$x(-n)$$

表示将 $x(n)$ 以 $n=0$ 为对称轴翻折。

原来在 $n=1$ 的值会翻到 $n=-1$；原来在 $n=2$ 的值会翻到 $n=-2$；原来在 $n=-1$ 的值会翻到 $n=1$。

仍以前面的序列为例：

$$x(n)= \begin{cases} \frac12\left(\frac12\right)^n, & n\ge -1\\ 0, & n<-1 \end{cases}$$

求 $x(-n)$ 时，将 $n$ 替换为 $-n$：

$$x(-n)= \begin{cases} \frac12\left(\frac12\right)^{-n}, & -n\ge -1\\ 0, & -n<-1 \end{cases}$$

由 $-n\ge -1$ 得：

$$n\le 1$$

所以：

$$x(-n)= \begin{cases} \frac12\left(\frac12\right)^{-n}, & n\le 1\\ 0, & n>1 \end{cases}$$

翻折在卷积图解法中非常重要，因为卷积计算中要对一个序列进行反转和平移。

序列的和与乘积

两个序列的和，是指同一序号 $n$ 上的序列值逐项相加。若有 $x_1(n)$ 和 $x_2(n)$，则：

$$y(n)=x_1(n)+x_2(n)$$

也就是说，对每一个 $n$，都有：

$$y(n)=x_1(n)+x_2(n)$$

两个序列的乘积，是指同一序号 $n$ 上的序列值逐项相乘：

$$y(n)=x_1(n)x_2(n)$$

例如，若 $x_1(2)=3$，$x_2(2)=4$，那么乘积序列在 $n=2$ 处的值为：

$$y(2)=3\times4=12$$

序列相乘常用于加窗处理。所谓加窗，就是把原信号乘以一个窗口序列，从而只保留或强调某一段信号。

累加：到当前为止的总和

设某一序列为 $x(n)$，它的累加序列 $y(n)$ 定义为：

$$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$$

这个公式表示 $y(n)$ 等于从负无穷到当前时刻 $n$ 为止所有 $x(k)$ 的和。

可以把累加理解成“到当前为止一共积累了多少”。如果 $x(n)$ 表示每天的收入，那么 $y(n)$ 就表示到第 $n$ 天为止的总收入。

累加与单位阶跃序列密切相关。后面卷积性质会说明：

$$x(n)*u(n)=\sum_{m=-\infty}^{n}x(m)$$

也就是说，和单位阶跃序列卷积可以实现累加。

尺度变换：抽取与插值

尺度变换改变的是序列在时间轴上的疏密程度。

抽取可以表示为：

$$x(n)\rightarrow x(mn)$$

其中 $m$ 是正整数。例如 $m=2$ 时，得到：

$$x(2n)$$

它相当于两个点取一个点。因为新序列的 $n=0,1,2,\cdots$ 对应原序列的 $0,2,4,\cdots$ 点，原序列中一部分点被跳过了。

抽取在实际系统中常称为降采样。降采样可以减少数据量，但如果处理不当，可能造成频谱混叠，因此通常要先进行低通滤波。

插值可以表示为：

$$x(n)\rightarrow x\left(\frac{n}{m}\right)$$

其中 $m$ 是正整数。例如 $m=2$ 时，得到：

$$x\left(\frac{n}{2}\right)$$

它可以理解为在两个点之间插入新的点，使序列变得更密。

严格来说，$x(n/2)$ 只有当 $n/2$ 是整数时才直接对应原序列的值；对于新增位置，需要通过某种插值规则补充数值。常见方法包括零插值、线性插值和滤波插值。

卷积和：数字信号处理中最重要的运算

两个离散序列 $x(n)$ 和 $h(n)$ 的卷积定义为：

$$x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)h(n-m)$$

卷积有两种常用计算方法。

第一种是图示法，也叫图解法。基本步骤为：换元、反转、平移、相乘、求和。

第二种是解析法，也就是直接按照定义式计算。

卷积的物理意义可以理解为：系统输出等于输入信号与系统冲激响应的综合叠加。若 $x(n)$ 是输入，$h(n)$ 是系统冲激响应，则输出为：

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

这就是线性时不变系统分析的核心公式。

卷积的图像理解：滑动、重叠、求和

卷积可以理解为“滑动重叠求和”。

当两个信号没有重叠时，逐点相乘结果全为 $0$，卷积值也为 $0$。

当一个信号开始滑入另一个信号时，重叠区域逐渐变大，卷积值也可能逐渐增大。

当重叠区域最大时，卷积值通常达到较大值。

继续滑动后，重叠区域逐渐减小，卷积值也随之减小。

这种理解有助于解释滤波器为什么能够平滑信号、改变信号形状，或者产生延迟效果。

卷积的矩阵表示

卷积也可以用矩阵与向量相乘表示。若：

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

且 $x(n)$ 长度为 $n_x$，$h(n)$ 长度为 $n_h$，则卷积结果长度为：

$$n_y=n_x+n_h-1$$

矩阵法的思想是：把 $h(n)$ 按卷积移位规律排成一个矩阵，再与 $x(n)$ 构成的向量相乘，得到输出向量 $y(n)$。

这说明卷积本质上是一种线性运算。计算机程序中实现卷积时，也常常利用这一思想。

卷积计算例题

设：

$$x(n)= \begin{cases} \frac{n}{2}, & 0\le n\le3\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ $$h(n)= \begin{cases} 3-n, & 0\le n\le2\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

要求：

$$x(n)*h(n)$$

先列出非零值。

对于 $x(n)$：

$$x(0)=0,\quad x(1)=\frac12,\quad x(2)=1,\quad x(3)=\frac32$$

因此：

$$x=\left\{0,\frac12,1,\frac32\right\}$$

对于 $h(n)$：

$$h(0)=3,\quad h(1)=2,\quad h(2)=1$$

因此：

$$h=\{3,2,1\}$$

卷积结果长度为：

$$4+3-1=6$$

结果为：

$$x(n)*h(n)=\left\{0,\frac32,4,7,4,\frac32\right\}$$

按定义式一步一步求卷积

卷积定义为：

$$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)h(n-m)$$

由于 $x(n)$ 和 $h(n)$ 都是有限长序列，实际只需要计算非零项。

当 $n=0$ 时：

$$y(0)=x(0)h(0)=0\cdot3=0$$

当 $n=1$ 时：

$$y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)$$ $$y(1)=0\cdot2+\frac12\cdot3=\frac32$$

当 $n=2$ 时：

$$y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)$$ $$y(2)=0\cdot1+\frac12\cdot2+1\cdot3=4$$

当 $n=3$ 时：

$$y(3)=x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)$$ $$y(3)=\frac12\cdot1+1\cdot2+\frac32\cdot3=7$$

当 $n=4$ 时：

$$y(4)=x(2)h(2)+x(3)h(1)$$ $$y(4)=1\cdot1+\frac32\cdot2=4$$

当 $n=5$ 时：

$$y(5)=x(3)h(2)=\frac32\cdot1=\frac32$$

所以：

$$y(n)=\left\{0,\frac32,4,7,4,\frac32\right\}$$

这与矩阵法结果一致。

卷积和的常用性质

卷积和具有代数运算性质，包括交换律、结合律和分配律。

交换律：

$$x(n)*h(n)=h(n)*x(n)$$

结合律：

$$[x_1(n)*x_2(n)]*x_3(n)=x_1(n)*[x_2(n)*x_3(n)]$$

分配律：

$$x(n)*[h_1(n)+h_2(n)]=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)$$

卷积还有延迟性质。若：

$$x_1(n)*x_2(n)=y(n)$$

则：

$$x_1(n-m_1)*x_2(n-m_2)=y(n-m_1-m_2)$$

这说明两个序列分别延迟后，卷积结果的延迟量等于两个延迟量之和。

典型信号的卷积也很重要。首先：

$$x(n)*\delta(n)=x(n)$$

这说明单位抽样序列在卷积中是单位元。

其次：

$$x(n)*u(n)=\sum_{m=-\infty}^{n}x(m)$$

这说明与单位阶跃序列卷积相当于对原序列进行累加。

结语：入门阶段最该抓住什么

这一讲的核心可以压缩成三句话。

第一，数字信号通常用离散时间序列 $x(n)$ 表示，它是一串按整数编号排列的数据点。

第二，单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列、指数序列、复指数序列、正弦序列和周期序列，是数字信号处理中最常见的基础序列。

第三，移位、翻折、相加、相乘、累加、尺度变换和卷积，是后续分析系统和设计滤波器的基本工具，其中卷积是线性时不变系统分析的核心。

如果是 0 基础学习者，建议按照下面顺序复习：先区分 $x(t)$ 和 $x(n)$，再掌握 $\delta(n)$、$u(n)$、$R_N(n)$ 三个基础序列，接着练习移位和翻折，最后重点掌握卷积的定义法、图解法和例题计算。

只要把“离散序列是一串点”这个观念建立起来，数字信号处理的入门部分就会清晰很多。